林燕萍

【摘 要】本文以探索数与运算一致性教学理念的实施策略为目标，丰富教学内容，转变教学策略，从而逐步构建独具特色的小学数学数与运算一致性教学体系。

【关键词】小学数学 运算一致性 核心素养

一、类比融通，体会算法一致性

数学是有结构的，不仅是教学内容，还包括方法、思想、策略等，都是一脉相承的。我们要改变原来一个知识点、一个例题、一组练习匀速前进的教学方式，立足每一节课，又高于每一节课，从“一致性”的视角审视课堂，通过类比推理，不断地把小数与分数的知识纳入整数的认知结构，使学生明白“数与运算”就那么点事，实现数学学习结构化，提高学生的运算能力和推理意识。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）指出在数与运算教学中教师应注重建立运算之间的联系，体会运算的一致性。在教学中，教师应适时组织学生对不同数据类型的运算进行交流，以及探寻不同运算方法之间的联系。在学完人教版五下“分数的加法和减法”后，应引导学生思考分数加减运算方法与整数、小数加减运算方法之间的共性。在探索分数加减法怎样计算的时候，应鼓励学生思考已学过的加减运算的算理，從而迁移运算的一致性。

例如，在教学人教版五下“异分母分数加、减法”时，课堂上学生通过自主探究、分享交流、梳理方法，理解了其中的意义，教师通过追问：“为什么整数加减法计算要求相同数位对齐？而小数加减法要求小数点对齐？异分母分数为什么要通分？”打通整数、小数、分数加减法的关联，即本质都是以计数单位这个核心要素进行相同计数单位的累加或递减。当计数单位不同不能直接相加减时，可以把单位细化成小一点的单位继续加减。在沟通关联中发现它们本质的一致性，建立了数的运算的整体结构，让学生感悟整数、小数、分数加减法运算的一致性。

面对《课程标准》中“一致性”的新要求，教师必须对教材进行统整，建构不同单元、不同运算算理的一致性，将零散的、碎片的数学知识先在自己头脑中形成整体化、系统化、逻辑化的数学知识结构。有了这样的认知与储备，才会产生相应的意识，进而制定与之配套的、具体到每一节运算课的教学目标和教学行为。

二、数形结合，感悟算理与算法的联结

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，而运算能力主要涉及三个问题：一是“如何算”，即对算法与运算过程的运用，指向实施运算的学科能力；二是“为什么可以这样算”，即对算理的理解，表现为运算的合理性，指向理解运算的学科能力；三是“怎样算得更好”，即对算法的优化，表现为运算的灵活性，指向选择运算策略的学科能力。要培养和提高学生的运算能力，就必须让“理”越变越明，让“法”越变越清。理解算理、掌握算法是运算教学的灵魂所在，只有将算理和算法两者相辅相成才能让学生通透理解。

例如，在教学人教版六上“分数除法”时，教学时先让学生回忆整数除法、小数除法的算理，从而引发学生思考：分数除以整数该怎么计算？从知识体系来激发学生的探究欲望。接着，呈现进阶关系的三个核心问题：（1）把一张纸的[45]平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？（2）把一张纸的[45]平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？（3）请你总结出分数除以整数的计算方法。在问题探究中，以学生自主探究为主线，放手让学生独立思考，把更多的时间、空间留给学生。让学生在画一画、涂一涂、算一算、说一说的活动中，探索分数除以整数的运算方法。通过面积模型让算理与算法交融起来，使学生在算法剖析中理解算理，在理解算理的基础上形成算法，做到以数形结合深化算理。

数形结合是学习数学的一种重要方法，借助直观的“形”可以理解抽象的“数”，同理抽象的“数”可以表示直观的“形”，利用它们之间的关系可以有效地帮助学生理解概念、建构知识。因此，在数的运算教学中要巧妙借助图形表征打通算法与算理的联结，感悟数与运算的一致性，探索从知识技能本位走向素养能力本位的教学实践。

三、聚焦核心，凸显运算一致性

数的运算以计数单位为核心概念，将整数、小数、分数的四则混合运算统领在一起。在与“乘法运算”相关的课堂中围绕着“计数单位的个数相乘得到新的计数单位个数；计数单位相乘，得到新的计数单位；得到新的计数单位及其个数，这样就产生了一个新的数，这个数就是乘法算式的结果”。如果说所有的加法运算都是相同计数单位的累加，那么乘法运算依然是计数单位的累加和聚合。建立这样的认识，再用这一理念组织教学，并贯穿各个学段的乘法运算教学之中，然后通过知识间的关联和学生学习经验的积累，让学生感悟到数的运算的一致性。

以“整数乘法”和“小数乘法”为例，比如：5×3表示3个5、5个3或者5的3倍。从计数单位出发，它就表示5个1的3倍是多少？所以5×3=（5×1）×（3×1）=（5×3）×（1×1）=15×1=15，很明显这里单位的总个数是15，而计数单位是1。

依此类推，50×30是5个10的30倍，即5个10乘3个10，（5×10）×（3×10）=（5×3）×（10×10）=1500，同样的道理，这里新单位的个数依然是15，但是计数单位是10个10，即100。

若拓展到小数0.5×0.3，教师可以引导学生加上单位，创设情境：客厅铺的地砖长是0.5米，宽是0.3米，求它的面积。学生自然会把0.5米转化成5分米，把0.3米转化成3分米，然后用5×3=15（平方分米），再将15平方分米化成0.15平方米。教师也可以尝试引导学生从计数单位出发，结合运算的意义和运算律，培养学生的迁移类推能力：0.5×0.3=（5×0.1）×（3×0.1）=（5×3）×（0.1×0.1）=15×0.01=0.15，在这里5×3依然统计的是计数单位的总个数，而0.01则是新的计数单位。所以，落实到算法就是小数乘法按照整数乘法的法则算出积，这个积统计的就是计数单位的总个数；再观察两个乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点，则是确定新的计数单位。

这样看来整个小学阶段的乘法运算是一脉相承的：其一寻找新的计数单位，其二统计有多少个这样的单位。因此，乘法运算具有跨学段的内在一致性。那么教师在实际教学的过程中，除了结合实际情境，关注直观操作，让学生感悟算理，明晰算法，更应该将计数单位这个一致性的灵魂种子植入学生的心中，逐步渗透，从推理的角度沟通关联、整体建构，持续发展学生的数感、运算能力和推理意识。

再以“分数除法”为例，《课程标准》在教学建议中进一步提出：“在进行除法计算的过程中，进一步理解除法是乘法的逆运算。在这样的过程中，感悟如何将未知转为已知，形成初步的推理意识。”分数除法法则是利用“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”来进行计算，这与整数除法的算法和算理似乎有明显差异，也容易引起学生的质疑。因此，很有必要打通整数除法与分数乘法的关系，帮助学生学会整体思考、自觉迁移，并发展学生的运算能力和推理意识。从学生开始学习整数除法到小数除法的算理时，教师要以“计数单位”这一核心概念为抓手，真正理解除法就是求“计数单位个数之间的包含关系”，让学生形成除法运算之间的一致性和整体性的意识。

总而言之，学生对数的运算的一致性的感悟是一个循序渐进的过程，在教学中教师要引导学生以联系的视角看待数的认识与数的运算，沟通不同阶段数的意义的一致性以及不同类数的运算之间的联系。教师应在数的认识、数与运算的每节课中渗透，在单元学习结束时进行融会贯通的复习，实现算理贯通、算法统整，让学生会用整体的、联系的、发展的眼光看数学、想问题，促进学生的思维进阶，让数学核心素养落地生根。

（作者单位：福建省安溪县第三实验小学 责任编辑：宋晓颖）

［1］巩子坤，史宁中，张丹.义务教育数学课程标准修订的新视角：数的概念与运算的一致性［J］.课程·教材·教法，2022，42（06）：45-51，56.

［2］赵莉，吴正宪，史宁中.小学数学教学数的认识与运算一致性的研究与实践——以“数与运算”总复习为例［J］.课程·教材·教法，2022，42（08）：122-129.