刘加霞

【编者按】在传统观念里，利用圆规与无刻度直尺开展的尺规作图直到中学阶段才会出现。但《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第二学段的“内容要求”中便提出“会用直尺和圆规作一条线段等于已知线段”，正式将与尺规作图有关的内容前置到小学阶段，这对于教师教学是一个不小的挑战。尺规作图在小学阶段出现有何深意？需要在哪些方面加以落实？对于学生几何直观、推理意识等素养的提升作用如何显现等，这些问题都值得大家展开探讨。

【摘 要】在小学数学课程中，整体设计与有效实现“尺规作圖”的育人价值首先要厘清它的功能定位、逻辑层次，然后再基于小学生的认知需求与难点，创设能够引发学生思考的问题情境，教师适时并恰当地示范作图。

【关键词】尺规作图 功能定位 内容逻辑 教学建议

一、小学阶段增加尺规作图的功能定位

虽然尺规作图的实质并不在画图，而是一种严格的逻辑分析与论证的锻炼与修养”［1］，但在小学阶段尺规作图的目标定位并不在于此。《义务教育数学课程标准》（以下简称《课程标准》）中小学阶段的“用直尺和圆规作图”内容不同于欧几里得《几何原本》中的尺规作图。《几何原本》是以五条“作图公法”为基础，每一步都必须以定义、公设或已被证明的命题为依据进行。尺规作图一直是构建几何学演绎体系的基础，是认识几何概念及其关系的基础，但需要重新审视该内容在小学课程中的功能定位。

1.提供了认识图形的新途径，把握图形的本质特征。

尺规作图为小学生认识几何图形提供了另一条路径。认识图形的特征主要有两种途径：静态抽象、动态画图。图形的认识主要是对图形的抽象［2］，即学生经历从实际物体抽象出几何图形的过程，是从整体感知的角度抽象并认识图形的特征与关系。认识图形还可以从要素构成角度，经历图形的边与角的动态生成过程。例如，认识“圆”，可以对圆形实物进行静态抽象（描出圆形实物的轮廓形成圆），再折叠圆形纸片感悟圆的“万能对称性”；也可以用标准或非标准圆规（甚至只用直尺）在画圆过程中经历圆的生成过程，感悟“圆，一中同长”这一本质。两种途径都能把握圆的本质与特征。小学阶段所学图形主要通过静态抽象、直观操作（例如折叠、测量）实物来认识，较为符合学生的认知特点。但作（画）图的过程能让学生经历由“点”到“线”，再到“图形”的全过程，这一过程往往揭示图形的本质特征，动态画图也是小学生认识图形的重要渠道。

通过尺规作图的学习，学生不仅更深刻地认识图形特征，更是培养他们几何直观、空间观念、推理意识的重要载体。对很多学生来说，看似简单的尺规作图在实际操作过程中存在难度，需要他们具备较强的空间想象能力与推理能力。正因为“有难度”才更能激发学生强烈的探究愿望，但不排除部分学生因“不知从哪儿入手作图”“没有强烈的作图动机”而放弃思考与完成作图任务，育人目标难以实现。

2.初步认识尺规的基本功能，促进构造性思维的发展。

几何作图是将想象的几何概念构造（存在性）出来的基本途径。作图的过程实质是“构图”的过程：首先构造出图形的核心要素“点”与“线”。例如，学生在用尺规画等长线段的过程中，逐步理解作图的根本，初步感悟“构图”的基本要素：“规”的核心是能构造出无数条“看不见”的、共用同一个端点的等长线段。“看得见”的是圆规的针尖确定不动的圆心，“带铅笔”的一脚确定无数个到圆心距离都相等的点，“点动形成弧线”。“尺”的核心是把两点连起来构成线段，其背后的道理是线段的长度是由两个端点的距离决定的，将抽象的“距离”可视化为有长度的“线段”。尺规作图的本质就是“找到两点”再连线，即可作出满足要求的线段或图形。

尺规作图让学生经历几何图形的从“无”到“有”的构造过程，形成认识的视觉过程，建立相应的几何表象与空间知觉等，都有助于学生认识图形的组成元素及其位置关系，对图形的结构特征形成直观感知与理解，探究并发现图形各要素之间的联系，培养学生的几何直观与空间观念，体现出构造性思维，为逻辑推理积累经验。

3.渗透并让学生初步感悟数学精神的力量。

欧几里得几何建立了最简单、最直观、最能为学生所接受的数学模型：点、线、面、三角形、圆，又能让学生通过操作尺规亲身体验数学推理的力量。柏拉图认为直线和圆是最简洁、最清楚的图形，因此只有直线、圆以及由它们得出的图形才是最清楚的；直线和圆的对称性反映了部分与部分之间的统一性，而将这种统一性推而广之，便可探寻到整个宇宙的奥秘［3］，看似简单的尺规作图蕴含着几何学的精髓。

以“尺规作图活动育德”应该指的是智者的，与理想、信念、行动相关的，令世人称颂并仿效的那些闪烁着人伦光辉的事迹。［4］教学中，教师可通过讲故事的方式介绍古希腊数学家以及《几何原本》，让学生感受其中的尺规作图竟会如此严谨，像古希腊“三大不能”作图问题竟然不能用尺规作图解决。初步感知这些富于挑战性的问题是促进数学发展的动力，感悟数学家们不畏困难、不言放弃的探究精神，培养学生对数学的积极情感。作为数学文化启蒙的载体，尺规作图对数学学科的发展价值，以及它所蕴含的数学美学价值、数学理性精神等应该尽早在教学中渗透，让学生初步感悟数学来源于生活也超越生活，数学是一种精神力量。

二、小学阶段尺规作图内容的逻辑层次

《课程标准》要求的尺规作图共有19处，分为基本作图与复合作图，有16处的尺规作图源自《几何原本》［5］，其中基本作图有5个，复合作图是有限次地运用基本作图方法作出其他图形。小学阶段的作图内容较少，但由于是第一次进入小学，需要首先弄清楚其内容的逻辑层次与作图本质。

1.小学阶段尺规作图的内容及其逻辑层次。

在小学阶段，“用直尺和圆规作图”主要包括：（1）作一条线段等于已知线段（感知线段长度与两点间距离的关系，增强几何直观。（2）将三角形的三条边画到一条直线上（直观感受三角形的周长）。（3）作三角形，直观感受三角形中任意两边之和大于第三边。

这三个作图内容可以分为两类：第一类是“作等长线段”，通过作图认识三角形周长是其简单运用，属于基本作图内容。第二类是“已知三条线段，作三角形”，即给出几组线段（每组三条），有的能构成三角形，有的不能，能构成三角形的要用直尺和圆规画出来，该任务属于复合作图内容。通过作图“理性地”认识图形的周长与三角形的三边关系。作图任务比“度量边长再相加（或用线围一围再测量线的长度）”“拼摆三根小棒”等直观操作活动更抽象，但寻找“点”的过程充满探究意蕴。第二类作图能凸显尺规作图的本质：用圆规寻找满足条件的两点，用直尺连接两点形成满足条件的图形。它比直观操作任务难很多，也比第一类作图任务更难。

2.《课程标准》中的“作等長线段”与《几何原本》相关命题的差异。

小学阶段的“作与已知线段等长的线段”，无论是“过已知一点作等长线段”，还是“已知两条不等长的线段，在较长的线段上取与较短线段等长的线段”，其作图内容与方法跟《几何原本》第一卷命题1.2、命题1.3都不同。小学阶段的“作等长线段”是在已知直线上“截取”线段，即已存在直线，在其上用圆规截取与已知线段等长的线段。该作图任务表面上好像是命题1.3，但作图方法并不相同。《课程标准》中对“作等长线段”的内容表述与作法较为简单且直观：根据《几何原本》公理4确保了圆规两脚间的距离等于已知线段a的长度，根据公设3作圆，再根据作图公法4（线圆有交点）找到点B，线段AB即为所求。

“作等长线段”关涉《几何原本》［6］第一卷的前三个命题。命题1.1：在一个已知有限直线上作一个等边三角形。设AB是已知有限直线，要求在AB上作一等边三角形（作法省略）。命题1.2：由一个已知点（作为端点）作一线段等于已知线段。设A是已知点，BC是已知线段，要求由A（作为端点）作一线段等于BC。具体作法为：（1）从点A到点B连直线（公设1）。（2）在AB上作等边三角形ABD（命题1.1）。（3）延长DA、DB成直线DE、DF（公设2）。（4）以B为圆心，BC为距离作圆CGH（公设3）。（5）以D为圆心，DG为距离作圆GLK（公设3）。（6）由于点B为圆心，所以BC=BG；点D为圆心，所以DG=DL，而DA=DB，因此，余量AL等于余量BG（公理3）。（7）而BG=BC，因此AL、BC都等于BG，等于同量的量彼此相等，因此AL=BC（公理1）。如图1所示。

图1

命题1.3：已知两条不相等的线段，试由大的上边截取一条线段使它等于另外一条。设AB、C是两条不相等的线段，且AB大于C，要求由较大的AB上截取一段等于C。具体作法如图2所示。

命题1.3与《课程标准》所给方法的最大不同是：首先“根据命题1.2作出与C等长的线段AD”，然后再以A为圆心，AD为半径作圆A（公设3）与线段AB相交于点E，AE=AD（定义15），而AD=C，所以AE=C（公理1），而《课程标准》所给方法是“简化版”，更为直观。

由前述分析可知，《课程标准》中的“作等长线段”不同于《几何原本》中的作图方法，也不同于传统课程中用有刻度直尺画出给定长度的线段。以往课程中的“画5厘米长的线段”凸显的仍然是“度量思想”，这条线段是由5条“1厘米线段”不改变线段方向前提下首尾相连构成的，强调直观操作不强调推理；《课程标准》提出的作法则有较为简单的推理成分（例如根据公设3、公理4、作图公法4），作图直观易于学生理解。《几何原本》中的作法则是严谨的推理过程，每一步操作都必须有定义、公理、公设或已知命题作为作图依据。义务教育阶段的作图方法不能完全按照《几何原本》。

三、小学阶段落实尺规作图育人目标的教学建议

1.创设有必要展开尺规作图的问题情境。

好的问题情境是激发学生好奇心、增强探究意愿的前提。问题情境既可以是现实生活情境，也可以是脱离现实的纯数学情境。例如，学习“作等长线段”时有的教师创设了如下情境。［7］

教师首先播放了巩立姣在东京奥运会铅球比赛中的录像，引出本节课的第一个学习活动：出示三位同学投铅球的轨迹图和“能入选校队的标准长度”（如图3），请学生判断：谁能够达到入选校队的标准。

学生用无刻度的直尺和圆规有多种方法解决“谁能入选校队”问题，其关键步骤是用直尺或圆规“搬动”一条线段与另外的线段“重合”来比较长短，而本质就是命题1.3——在较长线段上截取较短线段。

在解决该问题过程中，学生逐步感悟圆与线段的本质。圆的本质——一中同长，进而理解为何现实生活中铅球场地上画了很多圆弧，同一圆弧到中心点的距离都相同、不同圆弧到中心点的距离不同，便于快速判断选手的比赛成绩。线段的本质——有限长度，可比较长度或累加，让学生体会到用圆规可以将不同长度的线段“重叠”（或首尾累加），更便于比较长短（或求线段之和），进而感悟到“作等长线段”的现实价值和数学意义。在解决现实问题基础上再进一步作图并概要归纳作图步骤，初步感悟这样作图的合理性。

小学阶段尺规作图的问题情境可以从现实问题导入，让学生感悟作图的必要性和多样性。但是自古以来尺规作图都是纯数学问题，更要脱离现实情境解决纯粹数学问题。例如，判断三条边能否构成三角形，已知三条边画出三角形等，让小学生也初步感受数学来源于生活更超越现实生活，纯粹数学问题也能吸引他们不断探究。

2.精准把握学生作图过程中的难点。

如前所述，尺规作图的核心是找到满足条件的“点”，然后“连点成线”再构成所作的目标图，即使小学阶段最为简单的作图也是如此。按照作图公法的第三、四、五条可知，点产生于“线线相交、线圆相交、圆圆相交”，小学生作图的难点是不知道“弧线与直线、弧线与弧线”相交成的点即是满足条件的点。例如，在画三角形时，学生知道以其中一条边为底（已知两点顶点），目标是找到三角形的另一个顶点，但学生不知道或不理解“两弧的交点就是三角形的第三个顶点”。学生习惯用直尺画出两组等长线段，不断调试来寻找“交点（顶点）”（图4），不能直接想到分别画两条圆弧相交（图5），其难点是“看不见”圆规能画出无数条长度相等但方向不同的线段。

教学时教师要在适当时机“揭秘”（如图6）：“看得见”的圆弧上的无数个点与圆心相连构成等长线段。例如，教学中这样处理。［8］

师：这组同学的方法（图5）真巧妙，借助这两条弧让我们一下就找到了第三个顶点。为什么当我们确定了这两条弧的交点就确定了三角形的第三个顶点了呢？

生1：这条弧上的任意一点，到线段c的端点距离都是相等的。这条弧可以看作是这些点运动的轨迹。那这个交点就是线段a和线段b相交的位置。

生2：这条弧其实就是线段a所有的可能性，然后再把线段b也画出来，那这两条弧的交点就既满足了线段a的长度又满足了线段b的长度。

师：看来这个点可真神奇呀！同学们，比较一下这两个小组的作品，你有什么发现吗？

生3：我发现这些点连起来就是这条弧。

需要提及的是，在小学阶段完全放手让学生构思作图、实际作图、归纳作图步骤非常困难，必须有教师的适当引导、启发式追问，以及教师示范规范的作图步骤。教材如何编写这部分内容也很有挑战性，稍有不慎就容易变成“告知作图步骤、学生模仿作图”的状况，这样便背离了《课程标准》将该内容“下放”到小学阶段的初衷。如何避免“照葫芦画瓢”的现状是教材编写者与一线教师的挑战。

3.让学生初步体会尺规在数学发展中的价值。

在古代的生产、生活中，较直的树枝就是“尺”，树杈就是“规”，尺与规是实用性工具。加之线与圆是最基本的两种图形，因此，尺规能够脱离实际、剥离实用属性，完成一个从物或器跃升为概念的思想飞跃，使其成为《几何原本》第一卷公设1～3的内容，以它们为前提生成丰富的、具有逻辑关系的内容，使得难以穷尽的各种间接想法得以实现。没有刻度的尺和任意确定的圆或弧犹如人的左膀右臂，所画之图跃然平地、纸草或泥板之上，画出来可以方便思考，不画出来也能想出来，尺规所能，尽在脑中！［9］

历史上罕有数学家未探究过尺规作图，其简便易行却内涵丰富，能够激发人本能的好奇心与求知欲。例如，可以给小学生讲述阿基米德无惧持刀的罗马士兵仍专注于几何作图，尺规作图三大“不能问题”看似简单却激发无数数学家来探究并推动数学发展；讲述中国古代伏羲手执“矩”，女娲手执“规”，用来画圆、直线与量直角，进而演变为“规矩”一词，表示行为要有规范；也可以介绍有的数学家提出运用“生锈圆规”（两脚间固定不能叉开）仍可以完成很多作图问题，同时介绍中国现代数学家的贡献等等。

（作者单位：北京教育学院数学与科学教育学院）

［1］梅向明，周春荔.尺规作图话古今［M］.长沙：湖南教育出版社，2000：185.

［2］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：27.

［3］向坤，宁连华.从尺规作图看古希腊数学观及其对教育的启示［J］.数学教育学报，2013，22（01）：100-102.

［4］方运加.聊聊“尺规作图”［J］.中小学数学（初中），2021（11）：4-7.

［5］骆文娟.从《原本》与“课标”谈尺规作图教学［J］.数学通报，2022，61（12）：17-21.

［6］［古希腊］欧几里得. 几何原本［M］.兰纪正，朱恩寬，译. 梁宗巨，张毓新，徐伯谦，校.西安：陕西科学技术出版社，2003：3-5.

［7］曹翰麟，贾福录，范存丽等.任务导行，常思启智——“用尺规作等长线段”教学实践与思考［J］.小学教学（数学），2022（05）：8-10.

［8］张丹，刘延革，于国文等.尺规作图成就思维的精彩——“画一个三角形”教学实践与思考［J］.小学教学（数学），2022（05）：11-13.

［9］方运加.聊聊“尺规作图”［J］.中小学数学（初中），2021（11）：4-7.