元认知视角下初中生数学问题解决能力的评价分析

2022-09-29杨晓蝶

新教育时代电子杂志(学生版) 2022年4期

杨晓蝶

（重庆师范大学重庆 401331）

人们称元认知为认知的认知，实际上是指不断地自我反思与行为修正，是人所特有的能力，从幼年小孩到普通成人，每个人都具有元认知，但是人与人之间的元认知能力又具有很大的差异，即使是从同一个角度去理解某个问题，不同的人也会有或浅显、或深奥的看法。而一个学生的数学问题解决能力与其元认知能力是相贴合的，因此，笔者尝试利用元认知起作用的阶段性来反映学生的数学问题解决能力。

一、问题背景

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》提出了初中生问题解决能力的层次要求：第一，初中生要能从数学的角度出发，在具体情境中发现问题和提出问题；第二，能综合运用数学知识解决简单的实际问题；第三，在经历了从不同方向分析解决问题的过程后，初中生要能掌握分析和解决问题的一些基本方法；第四，理解他人的思考方法和结论，能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。[1]因此，教育者们想要了解学生的问题解决能力，就需要建立相应的评价指标，而元认知能力恰好就是学生对问题思考过程的认知与反思能力。可以通过感知学生在解决问题过程中的元认知能力，依据SOLO 分类理论评价其数学问题解决能力。

二、评价工具

（一）SOLO 分类理论

SOLO 分类评价法源于皮亚杰的认知发展阶段论，SOLO将学生学习的结果由低到高分为五个不同的层次，即：前结构、单点结构、多点结构、关联结构、拓展抽象结构。五个层次在SOLO 水平特征表现层层递进，其中前结构是最基本的能力层次，表现为不明白题目所指，没有任何的理解；或者可能已获得零散的信息碎片，但它们是无组织结构的，且与实际内容没有必然联系。相反地，拓展抽象结构则是最好的能力层次，表现为能利用所有可用数据，将其相互关联起来，得出合理抽象结构；超越所给信息，进行从具体到一般的逻辑推理；能归纳并做出假设，在开放结论中使用组合的推理结果；能用新的、抽象的功能来拓展知识结构；寻找控制可能变化的方法及这些变化之间的相互作用；可注意来自不同观念的结构，并进行迁移。[2]依据这五个层次，将初中生的数学问题解决能力也细化为五个层次。

（二）元认知的作用阶段

克鲁尔在1982 年修正并发展了元认知理论，将元认知分为元认知知识和元认知策略两大块，元认知知识即陈诉性知识，元认知策略则指的是程序性知识，这一观点被称为元认知结构的二分法。纳尔逊则在此基础上提出了动态的认识模型，将心理过程分为认知和元认知两个层次，从认知走向元认知的过程被称为元认知监控，而将元认知走向认知的过程则称为控制。控制和监控理所当然被认为是元认知策略的重要组成部分。[3]随着近年来关注元认知这一领域的学者们越来越多，逐渐发展到将元认知运用到各个学科中，本文便将元认知分为被动元认知与主动元认知，元认知的实质是对认知活动的自我意识和自我调节。为了反映初中生的数学问题解决能力层次，这里将元认知分为以下三个阶段：

1.元认知知识

学生对数学问题有初步印象，可以区分表面与实质，能在情境中提炼出零碎的相关信息。这是一种记忆能力和基础的思维导向，也是达到元认知体验阶段的大前提。

2.元认知体验

学生通过再感知、再记忆、再思维，在解决问题的过程中体验自我认知。这是贯穿整个问题解决过程中的，包括知与不知的体验。

3.元认知监控

学生能够自我检查，确认自己的解题能力是否达到预期。这是问题解决能力的考查核心，代表学生能否自我进行监视、控制与调节。

三、课堂测验设计

（一）设计理念及原则

设计以考查学生数学问题解决能力为目的，以数学发现、函数思想、信息整理等学习理论，任务驱动法、自主学习法等教学方法为理论基础，以SOLO 分类与元认知的作用阶段为工具，在评价初中生的数学问题解决能力时，可代化为考查初中生们从数学情境中发现和提出问题的能力以及对数学情境的关联、逆向思考、反推能力。最后构建出与数学问题解决能力的对应关系，从而给出评价。

设计以直观性、理论联合实际、科学性与教育性为原则，课堂教学知识符合逻辑，教师需要在教学过程中引导学生处理好直接经验与间接经验，运用理论知识去分析和解决问题。

（二）测验流程

第一步，教师在课前引入数学问题，逐步引导学生，为学生解决该问题指明方向。

第二步，学生体验情境模式，将情境问题抽象成数学问题，回忆数学模型，寻找解决问题的方法。

第三步，引导学生深入反思，提出问题变式，层层递进、循序渐进，观察学生们所具有的问题解决的能力程度，从而给出相应的评价。

设计流程图

四、中学生数学问题解决案例分析

通过综合考量初中生在日常生活中通常会接触到的数学问题以及学生们的心智活动、数学思维方式，将本次用于考评的教学案例确定为：二元一次方程求最值模型在实际生活中的应用问题。

（一）创设情境，提出问题

师：同学们，我们上周学习了二元一次方程求最值的数学模型，这个模型可以用来解决许多生活中的实际问题，小明昨天就向老师提出了一个很有意思的问题，有请小明同学起来给大家讲一讲。

小明：我昨天去超市买可乐，发现原味的罐装可乐有两种，并且都是350 毫升的，但是价钱却不一样，我想知道是不是因为包装成本不一样，那么哪一种包装成本更低呢？

【设计意图】学生已经对一元二次函数的概念、图像、基本性质和应用有了一定的认识，但真正用这些理论知识来解决生活中实际问题的经历却很匮乏。这样设计可以建立起函数与实际生活的联系，激起学生学习兴趣，提高行动力，以便考查学生元认知知识能力。

生1：如果是包装成本的原因，我认为可以从包装材料和材料的面积入手。

生2：材料都是铝制的，就是看材料的尺寸。可以用上周学的一元二次函数求最值来计算包装成本。

教师活动：引导学生将实际问题转化成数学问题“怎样设计可乐罐的包装可以使用料最少？”通过组织学生自主活动后，同学展示思考结果。

生3：现在的问题就是要求出可乐罐的表面积，体积是350 毫升，我们可以先假设半径，再求出相应的高，进而求出表面积。

生4：这样估算起来工作量太大。我认为我们可以写出一元二次函数表达式，通过底面半径r与表面积S的关系求出函数表达式，再直接代入r的值就行了。

问题解决能力分析：学生1 有发现生活与数学之间联系的能力，具有良好的元认知知识能力。学生2 能够将生活中的问题转化成数学问题，将实际问题与学习过的数学模型结合起来，具备优秀的元认知知识能力。学生3 明确数学问题，应用了方程问题模型，但没有考虑到问题解决的可操作性，具有良好的元认知知识、元认知体验能力。学生4 从问题的情境中抓取到了核心，明晰应该用什么数学模型最节约时间，提高效率，并且正确运用了数学模型解决问题，涉及了具体数字、数学运算。目的明确，有优秀的元认知知识、元认知体验能力。

（二）问题求解与反思

教师引导学生通过底面半径r与表面积S的关系建立平面直角坐标系，让学生多计算几组数据使得结果更加精准，考查学生元认知监控能力。

师：同学们完成得很好，计算出了这么多组数据，可是你们发现了什么问题吗？仔细看看你们得到的数据呢？

学生5：我发现我取的r值计算出来的结果一直存在误差，所以我认为现在的问题应该是要准确计算出可乐罐表面积最小时的半径r的值。

学生6：我们可以求解证明：

可是求不出最值。难道人力无法计算出准确值，需要计算机才可以吗？

（教师活动：借助几何画板向学生展示取得最小值的点，总结问题求解的过程，如运用函数公式变换以及工具的利用等。）

师：我们利用数学知识求出了最节省材料的包装半径，同学们结合生活实际看看，你们还有什么疑问吗？

学生7：为什么商家所用的包装半径不是我们求出来的最优半径呢？是我们模型建立错误了还是影响因素不只包装材料的尺寸呢？再添加影响因素的话是不是需要建立二元或者三元方程模型来计算了呀？

师：是的，没想到超市里一个不起眼的可乐罐竟能蕴含如此多的数学知识，同学们下课后可以试着自己设计一个函数相关的数学问题并解决它。

【设计意图】引导学生在解决问题后多加反思，数学问题解决是一个不断优化的过程，学生不仅要掌握理论知识，还要学会实践与模拟，反思理论知识与生活的联系。考查学生元认知监测能力，即在认知后的回溯中，反思认知过程，修正认知结果。

问题解决能力分析：学生7 具有良好的元认知监控能力，通过不断的自我检查、自我提问，会反思解决过程有无错误，明确问题思考方向以及问题解决目的，掌握了函数的应用，能协调运用不同板块的数学知识，举一反三，融会贯通，知识的迁移能力强，具有优秀的数学问题解决能力。

五、数学问题解决能力与SOLO 理论评价对应关系

学生在课堂上的主体性表现各不相同，一些学生能动性很强，能在日常生活中自主地联想到数学课堂知识，有高昂的学习热情；一些学生自主性很强，能把教材中的内容吸收消化，纳入自己的精神领域中并能够运用它们解决实践问题；一些学生创造性很强，他们思维活跃，但是表现不同，一部分思维跳跃总是找不到关键点，有想法但是没有清晰的思路；一部分思维灵活，有想法还能付诸实践。通过观察学生在课堂上运用理论知识解决问题时的能力表现，分析他们所能达到的元认知能力阶段，将学生划分为以下五类层次。

表1 基于SOLO 分类理论的数学问题解决能力评价标准表

六、总结与反思

（一）教师应重视学生元认知知识能力的培养

人是积极主动的机体，其主体意识监控现在、计划未来，有效地控制自己的思维和学习过程。[4]学生元认知知识能力是数学问题解决的基础，也是学生较其他元认知能力中最容易提高的能力，教师可以注重培养学生对一个问题中有效信息的提取能力以及数学的敏锐感。让学生对知识多加复习，引导反思，经常反思才能提高学习效果，学生看见有效果才会自觉、积极地去开展反思活动，养成反思的习惯，不断提升自己。

（二）教师应多鼓励学生直面错误，加强元认知体验，激发反思

弗拉维尔认为，在认知活动中，元认知知识和元认知体验是相互作用的。[4]首先，学生拥有良好的元认知知识能力才能体验到问题解决的过程，从而能够进一步理解元认知体验的意义。其次，学生有了元认知体验后，能加深他们对知识的印象和理解，刺激再记忆，达到巩固知识的效果，从而导致元认知知识的增加、不断修订；鼓励学生在错误中增强问题解决的过程体验，在反思中强化元认知能力。