孙 露 方辉平 胡建伟

(黄山学院 数学与统计学院，安徽 黄山 245041)

微积分作为高等数学中一个重要的分支，是高等院校理、工、管理类等专业的必修课程。其作为大学数学与中学数学的重要衔接部分，不仅是随后专业知识学习的基础，也是培养学生逻辑思维、数学素养的重要平台。因而，对微积分教学的研究一直以来受到广大一线教师和学者的关注，在CNKI数据库中以“微积分教学”为主题的相关论文就有800余篇。如此丰富的研究成果给教师在微积分教学时提供了一定有益、可行的借鉴范本，但梳理发现，文献中鲜有关于我国微积分教学这一主题的研究综述，仅有一篇以美国学者Chappell围绕微积分概念教学研究的述评[1]。鉴于此，本研究基于科学计量学视角，运用Citespace软件对文献中的关键词进行分析，借助可视化手段对我国微积分教学研究的研究热点、研究前沿及演进历程与趋势等进行梳理与揭示，以期为开展更深层次的研究提供一定的参考与启示。

一、研究方法

(一)研究工具

本文借助美国学者陈超美所研发的CitespaceⅢ软件进行计量分析。此工具“主要基于共引分析理论和寻径网络算法等，对特定领域文献(集合)进行计量，以探寻出学科领域演化的关键路径及知识转折点，并通过一系列可视化图谱的绘制来形成对学科演化潜在动力机制的分析和学科发展前沿的探测。”[2]12

(二)研究样本

选取CNKI为数据检索平台，以“微积分教学”为主题，以“期刊、硕士、博士”库为搜索范围，共检索到1975年到2019年(截止到8月31日)相关文献807篇。对其中有关数学名人简介、书籍介绍及重复发表等不符合标准的文献进行剔除后，最终得到有效样本量728篇。参考Citespace Manual及中文手册对以上文献进行格式转化并导入CitespaceⅢ软件中，通过设置每2年为一个时间区间及每个时间片段出现频次最高的20个节点数据，依次对其关键词进行词频、中介中心性、突变检测及聚类等分析。

二、结果分析

(一)我国微积分教学的研究热点分析

1.共词图谱整体分析

图1展示了CitespaceⅢ所绘制的1975—2018年我国微积分教学研究的共词图谱，“此网络可以反映出某一领域当前研究热点及过去产生过哪些热点研究。”[2]65纵观整个图谱可知，与此主题相关的关键词有739个，关键词之间的连线共有2 001条。可见，我国微积分教学研究所涉及的面非常广，从时间跨度上囊括了高中、高职、大学三个不同的阶段；从内容上不仅有对微分、积分、导数、极限、中值定理、复合函数、曲边梯形、微元法等具体知识教学的探讨，也有对案例教学、数学建模、数学文化等教学方法、教学策略、教学改革方面的研究。

图1 1975—2018年我国“微积分教学研究”的共词图谱

2.关键词词频分析

关键词作为“表达文献主题概念的自然语言”[3]。因而，“如果某一关键词或主题词在其所在的领域的文献中反复出现，则可反映出该关键词或主题词所表征的研究主题是该领域的研究热点。”[4]图1中的节点代表了所分析的对象——关键词，且其大小与其出现的频次成正比例。可见，出现频次TOP10的关键词依次为微积分、微积分教学、导数、教学改革、极限、教学方法、定积分、积分、教学策略和课堂教学，各关键词的频次如表1所示。

表1数据显示，前10个高频关键词出现频次共计375次，占总频次的29.1%。其中，“微积分”这一关键词的频次最高，达到了213次，占总频次的16.6%，占前10个高频词频次总计的56.8%，而“微积分教学”则排在第二，占前10位高频词频次总计的10.7%。可见，“微积分”和“微积分教学”作为研究对象一直以来是研究者关注的焦点。剔除研究对象的其他8个关键词虽然所占频次比例不高，但反映出国内有关微积分教学的研究热点主要聚焦于两个方面，一是有关导数、极限、积分等重难点知识内容本身的教学，二是有关课堂教学方法的改革方面。

表1 我国微积分教学研究热点词汇一览表

3.关键词中介中心性分析

中介中心性作为衡量社会网络中个体具有媒介能力的有效指标，应用于知识图谱中即为度量图中某一节点与其他节点间的联通性程度。陈超美博士提出：“当中介中心性大于0.1时则表明其具有较强的影响力，是一个研究热点转向另一个研究热点的重要拐点。”[5]可见，中心度这一指标不仅能够探测某学科的研究热点还能识别其未来的发展趋势。表1数据表明，微积分、教学方法、导数、定积分、微积分教学、微积分课程、函数、教学改革、数学、数学方法是排在前10位的高中介中心性关键词。其中排在第一的“微积分”中心性值为0.68，体现出其具有很强的影响力，虽然随后的4位关键词中心性值与之有一定的差距，但也均超过了0.1，表明其具有较强的纽带作用。

进一步对表1中关键词的频次及中心性数据进行比对，可以发现：虽然两组关键词存在一定的差异，但重合部分呈现出高词频、高中心性的特征。因而，综合以上词频与中心度两个指标可以得到：微积分、微积分教学、导数、定积分、教学方法这5个关键词不仅是四十多年来我国微积分教学研究的热点词汇，同时围绕导数、定积分等重点内容的教学方法研究将仍然是未来一段时间的研究方向与趋势。

(二)我国微积分教学的研究前沿探析

1.研究前沿知识基础分析

聚类分析能够通过谱聚类算法提取标签词对当前我国微积分教学研究领域进行归类，用以表征一定知识基础的研究前沿。在对关键词共现分析的基础之上进一步对其进行聚类分析，图1左上角的模块性值(Q=0.774 8)以及平均轮廓值(Mean silhouette=0.822 7)均满足陈超美博士所提出的可视化效果评价标准[2]24，这也反映出本研究的聚类是高效的，其所划分出来的结构是显著的。

图2 我国微积分教学研究的聚类分析图谱

图2直观展示了我国微积分教学研究的聚类分析结果，共生成18个聚类，按照LLR法则从原文献关键词中提取聚类名称，且以其排序最高的特征词用以表示，各聚类的标签词依次为：微积分、极限、分科教学法、曲边梯形、微积分课程、教学模式、复合函数、教学方法、数列极限、被积函数、定义、导数与微分、数学理论、AP微积分、学时、极限思想、成人高校、比较。可见，以上18个方面是我国微积分教学研究所涉及的主要领域。从聚类的范围来看，“#0微积分”的规模最大，共有124篇文献构成，主要包含“微积分”“教学策略”“高中生”“导数”“学习困难”等关键词，但从结构的轮廓值来看，其值(Mean silhouette=0.778)是18个聚类中最小的，这表明了对其的研究主要围绕高中生学习的困难及微积分的教学策略等方面进行展开，同时也反映出每个聚类均具有较高的信度。从聚类生成的时间来看，微积分教学的研究最早从数学理论的分析开始，随后到20世纪90年代对教学方法、教学模式的探讨，逐步过渡到21世纪初对极限、积分等具体对象如何教学的探究，到2009年时形成了最新的聚类“#13 AP微积分”，这与《普通高中数学课程标准(实验稿)》将极限、导数、定积分纳入高中数学课程内容的时间相吻合的，且自2005年起部分研究者开展了对美国AP微积分课程的介绍及与我国课程比较的相关研究[6]。进一步结合时间线视图可知，数学理论、教学方法等研究领域自21世纪以来关注度较低，AP微积分与微积分课程等领域近年来成果不断丰富，微积分、积分、教学模式等领域则表现出持续较高的关注度。

2.研究前沿分析

Citation Burst(突变性探测)是Citespace所特有的功能，能够通过对文献中频次变化率或是增长率高的突显词进行提取，由此确定出某学科的研究前沿。运用突变性探测技术对文献中的关键词爆发性进行探索，绘制出我国微积分教学研究突显关键词分布图(图3)。图3数据表明，在所有关键词中共有2个突显词——“高中生”和“导数”，其均始于2011年终于2015年。可见，在2011—2015年间，我国微积分教学研究主要围绕着高中生微积分的学习及微积分的重点内容——导数。进一步的文献梳理结果也验证了这一结论，基于微积分知识纳入高中数学课程这一背景在持续突变的4年期间有关高中生微积分知识理解、导数学习障碍或是困难等现状调查及有关导数概念与应用的教学研究增长较快[7]。同时，图3也反映出我国前期微积分教学研究所表现出的零散性、暂时性与不连贯性等特征，虽然相关文献始于1975年，但就前沿演进这一视角而言其涌现的文献稳定性不足，缺乏不断演进的共性特征。

图3 我国微积分教学研究突显关键词分布图

(三)我国微积分教学的研究演进剖析

为了能够清晰地展示知识演进的过程，特绘制了关键词的时区视图(图4)。结合关键词所处二维坐标的时间横轴信息，不仅能获取文献更新的相关信息，还能对研究的演变历程进行刻画。图4表明，随着时间的不断推进，我国微积分教学研究所探讨的对象群体、研究内容等均不断扩大，就对象而言，由早期对成人微积分教学的探讨逐步过渡到对大学生、高职学生及高中学生；就内容来看，由初期对数学理论的思考逐步扩大到对教学方法、教学模式的探究。

图4 我国微积分教学研究时区视图

基于时区视图所展示的文献增长情况，可以将我国微积分教学研究的研究历程大致分为四个阶段：

1.萌芽阶段(1975—1990年)

此阶段文献相对较少，仅有9篇文献，主要围绕成人教育中一元微积分部分教学及微积分中数学的本质进行探究[8]。

2.发展阶段(1991—2000年)

由图4可知，自1990年以来文献发表量有了一定的上升，且在前10位高频关键词中有“微积分教学”“教学改革”“极限”“教学方法”等均聚集在此时期。对于微积分教学的研究主要集中于一线教师对微积分教学改革的思考与经验，如运用辩证法指导微积分教学，或是在教学时运用课堂讨论、类比等方法[9]。

3.繁荣阶段(2001—2008年)

此时期文献的增长速度非常快，如图4所示，大量的高频关键词聚集在此阶段，如“课堂教学”“教学模式”“课程改革”“高中生”“数学史”等。可见，由于新一轮课程改革的需要，在这一时期对于微积分教学的研究不再局限于成人及大学生，开始对高中阶段的微积分教学进行探讨，并及时将数学史、信息技术[10]等新理念、新理论融入到课堂教学改革的探索之中，寻求新的教学模式。

4.稳定阶段(2009年至今)

图4表明，2009—2010年这一时间片段文献量较少，也表明对于微积分教学研究进入了一个稳定且理智的发展时期。在此阶段，研究者仍然保持着对于诸如“案例教学”[11]等教学方法及策略这些传统研究领域的探究，同时对于“留学生”“AP微积分课程”“MOOC”等新领域的探究也开始不断涌现[12]。

三、研究结论

本文对从CNKI数据库中所检索到以微积分教学为主题的728篇文献的关键词进行可视化分析，得到有关我国微积分教学研究领域热点、前沿与历程的如下结论：

第一，通过绘制关键词共现图谱，并结合关键词词频与中介中心性的分析，“微积分”“微积分教学”“导数”“定积分”“教学方法”是当前我国微积分教学的研究热点词汇，主要关注有关微积分重难点知识内容本身的教学及教学方法的改革两个方面。

第二，基于聚类分析对我国微积分教学研究前沿的知识基础进行剖析，共划分为18个种类，分别是微积分、极限、分科教学法、曲边梯形、微积分课程、教学模式、复合函数、教学方法、数列极限、被积函数、定义、导数与微分、数学理论、AP微积分、学时、极限思想、成人高校、比较。进一步的突变性探测分析可知，高中生是研究者近期关注的主要人群，同时有关导数教学研究的文献于2009—2015年间大量涌现，文献梳理表明这与高中数学课程改革的大背景是相一致的。

第三，对所绘制的关键词时区视图进行探析，我国微积分教学研究经历了萌芽(1975—1990年)、发展(1991—2000年)、繁荣(2001—2008年)、稳定(2009年至今)四个阶段。随着时间的推移，我国微积分教学研究的对象和内容均不断扩大，在对大学微积分教学方法、教学模式探讨的基础上逐步向高中、高职阶段扩展；同时，有关“AP微积分课程”“MOOC”等新领域的探究也开始不断涌现。