梁金花

（河北省晋州市第二中学 河北晋州 052260）

引言

数形结合思想，属于数学思想方法的一种，结合数与形的对应关系，把抽象数学语言与数学关系、易于理解的几何图形与位置关系进行联系，进而实现以形助数和以数解形的目的，使抽象问题变得更加具象，使复杂问题变得更加简单。在高中数学解题中，利用数形结合思想，可以帮助学生快速找到简捷的解题途径，避免了复杂的推理与计算，通过把数学规律性与灵活性进行充分结合，有效简化解题过程，节约学生解题思想。在高中数学解题中，和其他解题思想相比，数形结合思想具有显著的优势，因此加强对学生数形结合思想的培养是非常重要的，直接影响着学生的学习效果和解题能力。因此，在实际教学中，教师应结合学生实际情况，科学合理指引学生利用数形结合思想解决数学问题，进而有效提升学生解题效率和水平，促进学生整体素养的发展。

一、高中数学解题中数形结合思想的实践应用方法

（一）由数变形

在高中数学问题中，部分数量问题较为抽象，若仅仅凭借代数办法，是很难快速、正确解决的，或者是解决方法过于复杂。这时，学生可以利用数与形之间的对应关系，把数转化成为形象、直观的形的问题。把数量问题转变成为图形问题可以通过平面几何知识、立体几何知识、解析几何知识，然后分析和推理转化出的图形[1]。首先，需要对题目要求与所求结果进行明确；其次需要结合已给条件或者是结论，对是否可以利用所学基本公式、某种图形表达式归类进行分析和观察；最后，构造出和其相对应的图形，结合图形性质与几何意义等，并根据题干要求与所求目标解答问题。

（二）以形变数

在解决图形问题时需要定量或者是图形较为复杂时，可以把图形问题转变成为代数问题，并且需要对图形特点进行仔细观察，对题目中已知条件、隐含条件进行分析，保证转化准确性。首先，需要对题目中要求和所求目标进行明确，分析其特点与性质。其次，对出题目条件与所求目标代表的几何意义进行分析[2]。再次，把所给图形利用代数式进行表达。最后，利用所学公式、定理，对问题进行解答。

（三）数形互变

数形互变，实质就是把数变形和形变数进行融合。在解答数学问题时，有可能需要同时利用这两种方法转化，但是需要熟练具备以形变数的严密与以数变形的直观[3]。在解答该类数学问题时，需要对题目中的数、形关系和隐含条件进行认真分析，做到见数变形，见形思数。

二、高中数学解题中数形结合思想的实践应用案例

（一）在高中集合问题中数形结合思想的实践应用

例如，已知有两个集合，分别是M={（x，y）|x2+y2=1，x∈R，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x∈R，y∈R}，求集合M∩N中有多少个元素？在解答该道题时，常常都是利用简单的数学关系得出答案，先把已知的两个方程合并成为方程组，解方程组后得出x和y的值。该种解题思路虽然可以得到正确答案，但是解题过程较为繁琐和复杂，解题效率相对较低。因此，在解题时可以利用数形结合思想，把题目中已知的x2+y2=1比作是一个圆，x2-y=0比作是抛物线，把问题转变成为圆：x2+y2=1和抛物线：x2-y=0有几个交点。在该种解题思路下，可以利用图形辅助解题，可以在较短时间得到正确答案，简化了解题过程，提升解题效率。

（二）在高中函数问题中数形结合思想的实践应用

例如，已知方程sin2=sin，那么在区间x∈（0,2π）中，具有多少个解？在解答该道函数问题时，可以利用数形结合思想，结合已知方程绘制和其对应的方程图形，利用实际方程图形对函数问题进行解决。在解题过程中，可以把不同三角函数图形放到相同坐标系中，对坐标系三角函数图形进行仔细观察，可以发现有三个解。通过这样的解题方法，可以有效避免解题错误情况出现，提升解题质量与效率，还可以有效提升学生函数学习能力。

（三）在高中几何问题中数形结合思想的实践应用

例如，已知P是圆（x-3）2+（y+1）2=4上的东电，Q是直线x=-3上的东电，求|PQ|的最小值。在解答该道几何问题时，可以利用数形结合思想，结合体重已知条件，可以画出圆和坐标系图形（图1）。然后结合图形进行解题，过圆心A作AQ垂直直线x=-3，和圆相交在点P，这时|PQ|是最小值。根据题目中圆的方程可以知道A（3，-1），半径r=2，所以|PQ|=|AQ|-r=6-2=4。

图1

三、结束语

总而言之，在新课改背景下，在高中数学解题中应用数形结合思想是非常重要的，可以简化复杂的数学问题，有效提升学生解题能力和效率，还可以为以后的数学学习和发展奠定良好基础。目前，由于受到多种因素影响，在高中数学解题教学中，教师忽略了培养学生数形结合思想，严重影响到了学生的发展。因此，在教学过程中教师需要结合学生实际情况，利用科学合理的教学手段，指引学生在解题时使用数形结合思想，把抽象的数学语言与直观图形进行结合，把几何问题变得代数化，把代数问题变得几何化，促使学生深入理解数学问题，更加便捷明了的解决数学问题，从根本上提升学生解题水平。