林碧智

摘 要 数列是高中数学课程中的重点和难点知识，其在高考中的考查方式多种多样，其中，运用错位相减法对数列进行求和是一个非常重要的考查方式。本文先简单介绍了错位相减法的背景，并对错位相减求和在高中数学中的运用做了简单分析，旨在探究该方法的有效运用。

关键词 错位相减求和;高中数学;运用探究

中图分类号：G632                                                      文獻标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）13-0184-01

高中数列求和的基本方法有很多，比如：求和公式法，倒序相加法，裂项相消法，错位相减法，累加法等等。其中，错位相减法是一种非常重要的、要求学生必须熟练掌握的求和方法，也是高考中的一个热点内容。现笔者就错位相减法在高中教材中的设计与其应用进行简单论述，希望能为广大数学教师的教学提供一些理论性的支持。

一、错位相减法的背景

高中阶段的教材中，错位相减法最先出现在推导等比数列前n项和公式的一节中：假设等比数列{an}的公比为q，那么其前n项和就为S_n=a₁+a₂+a₃+……+a_n=a₁+a₁q+a₁q²+……+a₁q^n-2+a₁q^n-1，此时在该等式两边同时乘以公比q，就能得到式子qS_n=a₁q+a₁q²+……+a₁q^n-1+a₁qⁿ，把这两个式子作差，如果q的值不是1，那么就能得到式子（1-q）S_n=a₁-a₁q ⁿ，从而推导出公式（）。在这个过程中，我们可以在将求和等式两边同时乘以一个数，并将得到的新等式和原等式进行作差时，发现如果错开一位项，那么两个等式之间就会有一部分是完全相同的，这样一来，就会更加方便地计算。这样的方法就是错位相减法，即错开一位再进行两式相减。

二、错位相减求和方法在高中数学中的运用

（一）运用错位相减法解决数列求和问题

对于由一个等比数列和一个等差数列的乘积构成的数列，运用错位相减法进行计算往往是最快捷有效的方法。

例如，在数列{an}中，a_n=（n+1）·10ⁿ，可以明显看出这个数列是由等差数列b_n=n+1和等比数列c_n=10ⁿ的乘积构成的。那么要求这个数列的前n项和，就可以先列出其前n项和的展开式：S_n=2·10+3·10²+4·10³+……+n·10^n-1+（n+1）·10ⁿ，在此基础上在等式两边同时乘以公比10，就得到了10·S_n=2·10²+3·10³+……+n·10ⁿ+（n+1）·10ⁿ⁺¹，然后进行错位相减，就能快速求出解。

（二）运用错位相减法拓展对数列结构的认识

高考的问题往往考查的是综合性的知识，因此，对于有些灵活性比较高的数列问题，往往需要先去分析数列的结构，有时就会发现这个结构是“换汤不换药”，依然可以用错位相减求解。

例如，在问题“设a_n=2n+1，b_n=4ⁿ，S_n=a_nb₁+a_n-1b₂+……+a₂b_n-1+a₁b_n，求S_n”中，因为这个求和等式并不是常见的到按照顺序相乘即S_n=a₁b₁+a₂b₂+……+a_n-1b_n-1+a_nb_n的形式，所以很多学生认为这个问题不能再用错位相减法去进行求解，从而便没有了思路，觉得无从下手。这时，教师可以引导学生去思考：a_n是否是一个等差数列，b_n是否是一个等比数列，学生都给出了肯定的回答。接着教师再引导，由于等差数列和等比数列的通项公式都已经给出来了，那么是否可以将这些具体数字代入等式中，让等式更具体明晰一点。这样一来，学生会发现这种新结构还是可以应用错位相减法来解决。

（三）错位相减法的变式应用

很多数列问题具有灵活性，有些数列在错位相减之间之后会得到另一种形式，就是我们常说的“裂项相消”形式，姑且可以把这种新形式看作是错位相减法的变式应用。以下是其具体的推导过程和具体应用。

假设数列{a_n}是一个等差数列，数列{b_n}是一个等比数列，由于a_n+1b_n+1=（a_n+d）b_nq=qa_nb_n+dqb_n=a_nb_n+（q-1）a_nb_n+dqb_n，那么通过移项之后，可以得到（q-1）a_nb_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n-dqb_n，当时，可以发现，，这样数列{a_nb_n}就被拆分成了两个部分，前面的部分明显可以用裂项相消法进行求和，后面的部分直接用公式求和即可。那么这个形式就可以用来去求解诸如“等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的通项分别为a_n=2n+1，b_n=3ⁿ，求数列{a_nb_n}的前n项和”这样的问题。在求解时，可以直接根据推导公式写出，这样一来，等式就被分作了两个部分，第一个部分明显可以用裂项相消法来求和，裂项之后可以得到和为T_n=，后面的部分直接用求和公式求解即可。

通过以上对错位相减法的由来分析和例题探究，我们可以看到错位相减法的应用是非常灵活且广泛的。因此，教师在数列教学中一定要注重该方法的讲解，并且多去分析实际学情，找到学生容易犯错的地方，比如学生在做题时往往由于格式不正确导致项数不正确等问题，然后多设置具有针对性的经典问题，让学生在有效的练习中牢固地掌握错位相减求和方法。

参考文献：

[1]王永成.錯位相减求和方法在高中数学教学中的拓展[J].数学学习与研究，2016（07）：93-94.

[2]李志辉.数列求和的几种常用方法和技巧[J].中国高新区，2018（11）：73.