摘要：一次函数是学生在初中阶段学习的第一个函数，它是最基础的函数，是初中数学中的重要内容之一。而一次函数中的动点问题又是一个难点。在解决动点问题时，首先必须要把握好“动中有静”的解题思想，通过动中有静，确定问题中的不变关系，动静互化，把握运动中的特殊信息，以动制动，建立图形中变量的函数关系，进而探索出问题的解题策略。

关键词：一次函数;动点问题;解题策略

一次函数与动点问题相结合充分体现了数形结合的思想，运动观点，方程思想，分类思想，转化思想蕴合其中。学生在经历探索一次函数动点问题过程中，需要在动点过程中观察图形的变化情况，理解图形不同位置的情况，在变化中找到不变的性质。通过画图，合情推理与演绎推理相结合，从而有效地解决一次函数的动点问题。下面就从单动点，多动点，单边，多边上运动不同情况的例题进行解决问题策略的研究分析。

例1如圖，直线y=kx+6与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）。

（1） 求k的值;

（2） 若点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;

（3） 探究：当点P运动到直线EF什么位置时，△OPA的面积为278，并说明理由。

思路分析：（1）由题意可知，E点在直线上，所以我们将E点代入直线可得k=34。

（2）从问题入手，△OPA中有两个定点O和A点，而P点是动点。再深入阅读题，看这个动点在位置上的特殊要求，第一在直线EF上，第二在第二象限内。由第一问可得解析式为y=34x+6，所以P（x，34x+6）。由于比较抽象，学生可以画出大致图使问题转化成我们所熟悉的面积问题。∴S△OPA以OA为底的边上的高是|34x+6|，当点P在第二象限时，|34x+6|=34x+6。∵点A的坐标为（-6，0），∴OA=6。从而△OPA的面积S就可求出。只是一定要注意P点在第二象限这个条件。

（3）对比第二问和第三问最大的区别就是已知面积求动点坐标，但是此刻P点在限制在第二象限，那我们可以考虑到P点在x轴的上方和x轴的下方两种情况进行分类讨论，还是需要画出示意图。

刚才在上述题目中，我们讲述的是如何去解决一个单动点问题。在一次函数与动点问题相结合的问题中，还会有翻折，旋转这些动态问题，并且还在一个背景下研究。可以说一次函数的动态问题是学生中学阶段解析几何的开端。

【模型建立】

（1） 如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E。

求证：△BEC≌△CDA;

【模型应用】

（2） ①已知直线l1：y=43x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转45度至直线l2，如图2，求直线l2的函数表达式;

②如图3，长方形ABCO，O为坐标原点，点B的坐标为（8，-6），点A、C分别在坐标轴上，点P是线段BC上的动点，点D是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限。若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标。

分析：可以说本题是一道综合性比较强的问题，当学生阅读完题，看到图1后，能看出K字模型。但看到第2问第1小题，有60%学生都觉得特别茫然，他们也会先看问题结论，如果要写出l2的函数表达式，待定系数法需要两个点，

可这里只有一个A点，这里要注意45度角还未使用，这里可以设想在l2上有一个C点。联系到第一问模型，思路转向直角，再和45度结合起来看，方向应该确定为等腰直角三角形。既然是动点问题，运用假设，作图，如图4过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，根据△CBD≌△BAO，得出BD=AO=3，CD=OB=4，求得C（-4，7），最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式;第2小问是标准的动点问题，阅读完题还是双动点问题，根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y=-2x+6上的动点且在第四象限时，这时有两个动点，设D（x，-2x+6）。而分点两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时（图5），当点D在矩形AOCB的外部时（图6），设D（x，-2x+6），分别根据△ADE≌△DPF，得出AE=DF，据此列出方程进行求解即可。分析完这题，我们不难发现，作图对动点问题起一个引导作用，此外还要善于从结论出发，根据条件假设。

对于一次函数与动点问题相结合的问题，学生所需要以一次函数的表达式，性质，图像为基础采取有效策略。学生可以采取以下几种有效的方法。通过长期实践，学生可以试着尝试以下几种方法有针对性地解决一次函数的动点问题。首先学生在阅读完题后需要快速地处理信息，把重要的信息在图中标识出来，再清晰地找到坐标和距离之间的关系之后，学生有时可以试着用未知数来表示点的坐标，再用点的坐标来表示线段的长度或者距离。当然这也需要学生能找出变量与不变量，自变量与因变量的关系。将已知条件和结论初步建立知识体系。其次这类问题经常涉及函数关系式，其中还会涉及一些几何面积公式、相似、勾股定理等知识，解决这类问题不可忽视的还有数学模型。比如点P运动到哪个位置使三角形为等腰直角三角形，这时如果联想到K字模型，这一定会对思路上有了深层次的理解。第三，一般这类一次函数与动点问题相结合的问题一般都要三到四问，这几小问可能是递进的关系，第二三问一般以最值问题和存在性问题形式出现。如果这几问是并列的，那么第一问的解答思路延续到第二三问。

对于动点问题与一次函数相结合的问题，作为教师，也没有找到固定的教法，只能说通过不断研究与实践中，找到一些普遍的规律与方法，有效地解决动点问题与一次函数相结合问题，在教学中总结以下几个关键点：

从动点本身角度上：（1）让学生充分理解题意，点与点相互牵制引起图形的变化，有些点在特殊位置，这就是特殊关键点，通过特殊关键点理解运动过程。（2）找出动点个数，归纳出动点运动方向，运动速度以及运动距离。

从问题本身：（1）既然在一次函数大背景下必然含有常量与变量。自变量与因变量的关系引起位置变化。（2）在理解题意后，学会归类信息，筛选关键有用信息，从而找到解决问题的突破点。（3）动中找静，动静互化，以动制动，是解决一次函数的关键方法，“静”就是指不变的量，动中找静就是在运动过程中找不变的量，动静互化就是在整个变化过程中抽象出不变的时刻。用方程或函数等代数方法来表达变化过程。

一次函数的动点问题可以说是解析几何的开端，为今后反比例函数，二次函数与动点问题结合奠定了方法基础，关于初中数学中动点问题还需要长久研究下去。

参考文献：

[1]汪元清.浅谈初中数学动点问题[J].新课程学习，2015（4）.

[2]王祝荣.2013年中考客观题中动点函数图像问题赏析[J].数学学习，2014（03）.

作者简介：

徐臻，江苏省常州市，江苏省常州市新北实验中学。