昌明

摘要：高中数学学科直接影响着学生核心素养的发展。如何建构适合高中生学习的教学方式则是新课程改革面临的重大选择。在课题研究的基础上，系统总结了高中数学发现学习教学中的导学内容的六条设计原则，并通过实践证明能够有效促进学生进行发现学习，培养学生自主学习能力、发现问题及解决问题能力，提高创新能力。

关键词：发现学习；高中数学；导学案；内容设计

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2017）09B-0018-04

基于“导学案”中高中数学发现学习教学范式，是建立在布鲁纳发现学习理论基础上并结合当前高中数学教学改革实际而进行的一种整合教学样式，是学生利用导学案，通过自己再发现数学知识形成的过程，以获取数学新知并发展探究性思维的一种学习方式，为学生数学核心素养达成而进行的一种教学建构，其教学范式基本流程如下：

该范式以导学案始终贯穿学生的整个学习过程，指导学生发现学习，培养学生自主学习与合作学习能力、发现问题及解决问题能力、反思能力。通过导学案将学习前置、问题前置，课堂则成为讨论争论、展示交流、引导发现、探究学习的舞台，课后巩固知识，反思总结学习经验。

如何呈现给学生行之有效的导学内容为学生创设一种学习情境产生认知矛盾，激发学生对新问题的学习兴趣，潜在地教给学生自主学习的方法则是该范式施行的关键要素。这对高中生的问题意识，提高创新能力至关重要。笔者认为，建构适合当下高中数学教学改革及关注学生数学素养的导学案 必须坚持以下原则。

一、循序渐进原则

所谓循序渐近原则，是指依据学生的认知规律与智力水平，按照数学知识逻辑体系由易到难、由简到繁有阶段、有次序地设计导学内容。学生发现问题的能力随着社会经验的不断丰富以及学习的不断深入逐渐提升，进入中学阶段，学生“能够运用抽象概念进行思考。运用逻辑和实事求是的方法思考。”[1]但是，抽象的逻辑思维需要经历一个发展过程。“从初二年级开始，中学生的抽象逻辑思维即由经验型水平向理论型水平转化，到了高中二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。”[2]因而，在设计导学内容时要遵循学生的认知发展规律引导学生发现学习。高一年级导学内容的设计要注意初、高中的衔接，借助学生已有经验、图形直观等适度降低抽象程度，综合运用抽象概念和形象直观发现问题、解决问题，并逐步提升学生抽象思维能力。高二、高三年级导学内容的设计逐渐提高抽象化程度，逐步培养学生运用抽象的概念、定理、法则进行思考，减少对直观与具体的依赖，并合乎逻辑地进行推理、预测。

设计导学内容应充分理解教材意图，尊重学情，在学习内容与学生认知能力之间构建引导学生自主探索、发现问题的桥梁。例如，“对应说”函数概念对于刚进入高一的学生来说过于抽象。一是函数概念的定义中包含了集合、元素、对应等多个概念，与初中“变量说”函数概念相比缺少直观的物理背景；另一方面学生对于用量词“每一个、唯一”表达的关系缺少经验、直观的支撑。苏教版《数学必修1》选择了通过三个实例让学生体会两个非空数集之间的一种特殊的对应关系。教材首先以生活中的实例为背景引出3个问题，每个问题都涉及一个确定的函数，这3个函数分别以图表、解析式、图象的形式呈现，然后提出：如何用集合语言来阐述上述3个问题的共同特点？这个问题是本节课的引领性问题，但学生很难直接回答这个问题。为此，导学内容可进行如下设计：

请你回顾初中所学的函数概念，并阅读教材（苏教版《数学必修1》）第23页内容，完成下列问题：

问题1：每个问题的两个变量变化范围能否用集合表示，如何表示？

问题2：两个变量和之间是一种对应关系，如何对应的？可用图形、符号或文字表述。

问题3：能否用集合语言来阐述上述3个问题？可用图形或文字表述。

通过课前导学，让每位学生都能有足够时间思考问题，上课前教师对学生自学情况进行诊断，准确了解学情，课堂第一部分让学生交流展示问题3的答案。问题3要求学生用图形或文字表述，一方面给学生自由表达的空间，另一方面引导学生画出“映射图”，借助图形构建函数概念并加深理解。

二、情境创设原则

所谓情境创设原则，是指根据教学的内容，为落实教学目标，设定适合学生主动积极建构性学习的具有学习背景、景象和学习活动条件的导学内容。情境创设帮助学生进一步增强对数学知识的理解，引发学生对问题感兴趣，使学生在此情境中产生认知矛盾，从而提出要求解决的或必须解决的问题。生活中数学无处不在，新课程注重数学知识与实际的联系，《普通高中数学课程标准（实验）》在教学建议中指出：“通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。”新课程呼唤科学世界向生活世界的回归。

数学起源于人类的社会实践和生产活动，并在人类社会的发展中发挥着越来越重要的作用。在导学内容中创设情境，提供有助于形成概括结论的实例，让学生对现象进行观察分析，逐渐缩小观察范围，将注意力集中在某些要點上。模拟生活，贴近现实，使学习更接近现实生活，使学生如临其境，感知真实世界，培养学生用数学的眼光观察世界。创设学习情境是强化数学知识与实际的联系，有利于“帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学。”情境的创设除了追求自然、真实、与学科知识紧密相联的实际事物或实际事物的相关背景外，还应追求趣味性、挑战性、有故事、有丰富的文化内涵等引人入胜的元素，有情趣的学习场景有利于激发学生自主学习的兴趣，激发学生自动探索数学的奥秘。

“圆锥曲线”是苏教版《数学（选修2-1）》2.1节的教学内容，如何发现在圆锥面和截面之间嵌入双球是证明定理的关键，也是师生感到困惑的教学难点。为了更自然地引导学生进行探究性学习，在导学内容中创设情景：

问题1：在公元前3世纪前后，古希腊学者梅内赫莫斯、欧几里德、阿基米德、阿波罗尼奥斯等发现并研究了一类曲线——用一个平面截圆锥面所得到的曲线。很显然，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆。用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？

问题2：一个球在点光源S的照射下的投影，当点光源S的位置变化时，投影有哪些变化？

问题3：你能发现问题1与问题2之间有某种联系吗？

问题4：我们已经知道圆上的点到圆心的距离等于定长，其他曲线有类似性质吗？你能借助问题2这一生活实例探索古希腊人用平面截圆锥面所得曲线上的点具有的几何特征吗？

以联想圆具有的几何特征为基础、以实验活动为抓手引导学生对椭圆等圆锥曲线几何特征进行探究，有意识地引导学生对球与截面的切点的关注并能提出相关猜测，在课堂教学中根据对称性等特点进一步引导学生发现双球并证明圆锥曲线的截线定义与轨迹定义的一致性。

三、方法渗透原则

所谓方法渗透原则，是指在导学内容中有意识地渗透数学猜测的方法帮助学生对提出的问题建立各种假设，并进行推测，探寻数学知识联系，培养学生的数学思维能力。

匈牙利数学家伊姆雷·拉卡托斯指出我们的讨论是在“问题与猜想的阶段过去以后”开始的，这就是说，朴素的猜想构成了数学的发现的逻辑的实际出发点。[3]一般说来，提出数学猜测主要有以下几种方法：第一，通过类比来提出猜测；第二，通过归纳来提出猜测；第三，通过减弱或强化定理条件提出猜测；第四，通过想象和直觉提出猜测；第五，通过逆向思维提出猜测。[4]《普通高中数学课程标准（实验）》要求学生：“能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的应用。”新一轮课改中，数学教学增添了合情推理教学内容，但只占5课时，且安排在《数学（选修2-2）》中，选修物理的学生在高二年级下学期学习。然而，逻辑推理是数学六大核心素养之一，通过逻辑推理的学习，学生形成良好的思维品质和理性精神，因而，需要在平时的教学中渗透归纳、类比等逻辑推理方法。在发现学习教学中的导学内容设计中，要有意识地渗透数学猜测的方法帮助学生尽可能多地靠自己去发现。

例如，“两角和与差的余弦”是苏教版《数学必修4》3.1节的教学内容，在导学内容中安排两角差的余弦公式发现的猜测以及公式证明的探究活动，让学生经历对各种可能结果的合情猜测、反驳、论证，培养学生探索性思维。

问题1：cos（α-β）与 α、β的哪些三角函数有关？试说明理由。

问题2：猜测cos（α-β）用α、β的三角函数表示的关系式，对你所得结果进行必要的联想，并尝试证明。

课堂教学中通过学生的交流展示，暴露学生的推理过程。如：首先，减弱公式中的条件固定一个角进行归纳推理，令α=π，此时，cos（α-β）=-cosβ=cosπcosβ=cosαcosβ；再令α=，可得，cos（α-β）=sinβ=sinsinβ=sinαsinβ，至此，已明确cos（α-β）与cosαcosβ、sinαsinβ有关。其次，再取α、β 的特殊值进行归纳推理猜测：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

四、自主建构原则

所谓自主建构原则是指对某些相关知识或某几种题型让学生进行自主整理，发现规律、建立联系，建构知识结构。

经历阶段性学习后，导学内容应指导学生根据知识体系，绘制知识结构网，把握知识之间的内在联系，使学生能系统、深刻地理解和掌握已学的知识，并能用联系、全面的眼光审视这部分知识的架构。导学内容应将知识学习扎根于知识的结构掌握，根据学生学习习惯和思维方式，把数学知识同化成自己的认知图式，是学生數学学习过程中发现知识、组织知识并活用知识的过程。

导学内容中引导学生对相关内容自主建构，绘制知识结构网，研究习题之间的内在联系，把握问题的本质。不仅有利于学生“学习事物是怎样相互关联”的，还有利于学生在理解的基础上记忆和保持，具有“生成力”或“迁移力”的效能，更有利于学生的后续发展。通过这一过程而形成的数学知识，是一种具有再生性、简化的基本知识，容易纳入认知结构，也就便于形成迁移能力，这对进一步完善学生的数学素养有一定的促进作用。

五、资源统整原则

所谓内容资源统整原则，是指将导学内容与教学目标的有机融合，学生认知能力与问题表达相结合，进一步贯穿导学内容系统性表达，关注学生的兴趣和经验，加强知识之间的联系。

强化导学内容与教材协调。当前，导学内容的设计水平参差不齐，大量出现简单地对课本上概念进行提问、做大量习题的现象。如果导学内容仅仅是教材的“断章取义”或简单重组，就谈不上创新意识、发现能力的培养；如果导学内容游离于教材之外，将会加重学生的学习负担。导学内容应与教材形成有机的组合体，应在吃透教材，理解新课程理念基础上，将导学内容设计成学生进一步学习的抓手。

强化导学内容的跨学科融通。导学内容统整性主要分为多学科、跨学科以及超学科主题内容的设计三种模式。简单来说，就是将一个单一的数学问题通过这三种模式不断扩充，使学生能够在学习数学的同时，加强其对于其他学科的理解，对于社会知识的感悟。

强化导学内容与巩固性作业统一。如果我们不能正确处理好课前导学与课后巩固练习的关系，学习量过大，这势必演变成作业前置，延长学生的学习时间，造成学生学业负担过重。

六、以生为本原则

所谓以生为本原则，是指以学生的可持续发展为本，以发展学生数学核心素养为要，通过导学案内容的优化设计，提升学生发现问题、分析问题与解决问题的能力，并持之以恒形成较为系统的数学思维方式，培养学生发现问题能力和创新精神，提升学习效益。

注重导学内容与学生素养整合。发现学习是一种自我学习素养提升的重要学习方式，对高中学生的数学学习尤其重要。因此，导学内容的设计必须基于学生的数学素养视角予以关注，落脚在学生的“最近发展区”，提升学生对数学问题的理解力和转化力。

注重导学内容与学生学习动机匹配。学习动机是发现学习关键要素，如何激发学生积极的学习心向，产生一种学习欲望并能有一定的数学学习意志品质，对于导学内容的设计至关重要。因为只有动机切合，才能相得益彰，取得应有的学习效益。布鲁纳认为，首先，强化动机的形式要符合学生的年龄特征。高中生的数学抽象思维逐步形成，对于导学形式不能过于具象，要帮助学生逐步树立高中数学必须具备的思维品质。其次，强化的步骤要适时。教师对于学生引导要有耐心，在实际教学中要基于导学案的实际状况。学生发现结果与教学目标相近或相同时，教师才可以提示，否则不利于强化学生的发现。

当前，以导学案为载体的课堂教学研究受到越来越多地关注。只有认真贯彻为学生自主学习而“导”、为培养学生的数学学习兴趣而“导”、为发展学生的数学核心素养而“导”的设计理念，才能达到预期的教学效果。

参考文献：

[1]林崇德主编.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社， 2016：251.

[2]林崇德.智力发展与数学学习[M].北京：中国轻工业出版社， 2011：218.

[3]郑毓信.数学方法论[M].南宁：广西教育出版社， 1996：58.

[4]徐利治、王前.数学与思维[M].大连：大连理工大学出版社，2008：96-103.

责任编辑：赵赟