张庚楠，杨志宏，李其胜，于奎刚，黄贺福，李 娜

(山东大学 机械工程学院 高效洁净机械制造教育部重点实验室，济南 250061)

基于凸包域的三维公差分析模型研究*

张庚楠，杨志宏，李其胜，于奎刚，黄贺福，李 娜

(山东大学 机械工程学院 高效洁净机械制造教育部重点实验室，济南 250061)

为了更好地解决复杂装配体的公差分析问题，文章提出了基于凸包域的三维公差表达和公差分析方法。以凸包理论为基础，建立了尺寸公差和形位公差域模型；对公差域内的变动特征进行PDF的建模，构建偏差累积方程；根据公差域模型和PDF对蒙特卡罗仿真方法进行修正；运用修正的蒙特卡罗方法和HDMR对偏差累积方程进行敏感度和贡献因子分析。与传统的基于点的建模方法相比，基于凸包的建模方法能真实的体现几何特征的变动与公差标准的契合关系。最后通过实例验证了该方法的可行性和精确性。

凸包域；公差分析；公差建模；蒙特卡罗仿真

0 引言

随着技术和生产方式的发展，机械产品的复杂程度不断提高，对产品精度质量以及设计周期的要求也不断提高。产品的公差分析变得尤为重要。国内外学者在公差分析方法的研究上投入了大量的精力[1]。公差分析也由开始的一维、二维逐渐转变为三维复杂产品的装配，同时，公差分析的精度也不断提高。

在过去的几十年中，在基于运动学和小位移旋量的基础上，矩阵、旋量、雅克比矩阵、雅克比矩阵旋量、基于基准流的方法、T-Map、D-Domain模型等相继在解决公差分析问题中得到了运用[2]。矩阵法通过齐次变换矩阵建立尺寸链中功能要求极值点与相关的特征公差变动极值点之间的关系[3]。矢量环法以连接副上的点表示特征的公差变动，利用坐标变换矩阵求解出变动公差特征与功能要求之间的关系[4]。旋量法以向量为基础建立各个变动特征的相互作用，最终求解出个各个旋量与功能要求之间的关系[5]。雅克比矩阵旋量法避开了上述基于点的建模方式，通过模态区间的方式构建变动特征与功能要求之间的关系[6]。T-Map通过几何的闵科夫斯基加法构建各个凸包之间的关系，以坐标变换最终求解出功能要求的凸包[7]。D-Domain将小位移旋量与凸包理论结合构建变动特征的公差域，最终求解出功能要求的D-Domain模型。

但是，目前的公差分析技术仍然存在如下问题：

(1)偏差累积方程建模多是局限于公差极值条件下的建模；

(2)基于点的公差建模方法与公差标准不统一；

(3)公差表达建模不能考虑基准优先顺序；

(4)偏差累积建模不能考虑基准的优先顺序；

(5)复合公差域的建模无法考虑包容要求的影响。

1 基于凸包的公差域建模方法

本章在T-Map和D-Domain的基础上，提出了一个新的公差模型，该模型利用凸包理论，对公差域进行建模，利用机器人运动学原理和修正的蒙特卡罗算法进行公差分析。

1.1 基于凸包的公差表示模型

运用新的公差域建模方法，把变动特征通过坐标变换映射到重心坐标下的点空间模型，通过改变特征变动的旋转分量，得到基于凸包域和运动空间的新模型。根据TTRS(拓扑和技术相关表面)和MGDE(最小几何基准要素)理论，下文中分别以平面、孔和轮廓度为例，对复合公差下的变动特征进行建模。

1.1.1 平面的公差建模

如图1所示，在矩形块上加工一个通孔，零件上各个特征所对应的公差要求已分别进行了定义。在给出的公差要求中每个公差都限制了相应特征的变动要求，对零件上表面各个公差要求进行分析，根据T-Map模型对平面特征变动的表达，利用新的方法对该特征进行建模。

图1 零件的GD&T图纸

当特征受到多个公差限制时，各个公差对变动特征的约束相互影响。因此，零件的上表面在尺寸公差约束的下的特征变动，将受到形状公差和定向公差进一步的约束，尺寸公差下的模型也将在这些形状或定向公差的作用下发生改变。

当零件的上表面只受尺寸公差和平行面度公差控制时，特征的公差域模型如图2所示。

图2 平面在尺寸公差和平面度公差下的模型

在模型中，三个坐标轴分别描述了平面特征变动时三个自由度的变量，各变量的坐标值根据相应的坐标变换得到。在描述旋转变量的坐标轴(σx、σy)中，坐标值通过变换不再是角度量，而是一个与平移变量一样具有长度单位的变量。为了利用D-Domain模型的优点，在不改变约束方程的条件下，经变换得到的坐标轴σx和σy用来描述旋转变量。根据T-Map的建模理论可以得到各变量间的约束方程，如式(1)所示：

(1)

通过映射方程，将平面特征的变动一一映射到三维点空间，就可以得到模型中每个点的坐标值，从而得到平面受尺寸公差和平面度公差限制时的公差模型。

当零件的上表面受到尺寸公差和平行度公差tA的控制时，平面的公差域模型如图3所示。

图3 平面在尺寸公差和平行度公差下的模型

同样，当平面受到尺寸公差和垂直度公差tC的控制时，平面的公差域模型将变为如图4所示。

图4 平面在尺寸公差和垂直度公差下的模型

1.1.2 孔特征的公差建模

在矩形零件中加工通孔，特征孔的变动受到位置度的约束(图1)。根据公差标准，当一个孔受到公差控制时，它的变动区域是一个圆柱，其中几个具有代表意义的轴线位置可以对这个变动域进行表达，如图5所示。

图5 孔的变动域

在变动区域中，σ1、σ2、σ3、σ4和σ5是定义轴线变动位置的5条基本直线，σ6、σ7、σ8、σ9是与之对称的轴线位置。当孔受到位置度公差控制时，利用与平面建模同样的方法对孔的变动进行描述，得到孔的模型如图6所示。

图6 孔在位置度公差下的模型

1.1.3 线轮廓的公差建模

当零件的侧面受到图1所示的线轮廓度公差的控制时，特征的变动域如图7所示。σ1和σ2表达轮廓度变动最大的区域，σ12是名义轮廓，σ3、σ6分别是σ12在公差域内向右、向左偏移t/2的轮廓，σ4、σ7分别是σ12在公差域内向上、向上平移t/2的轮廓，σ5、σ8则分别是σ12在公差域内正向、负向旋转最大角度的轮廓。因此，轮廓度的变动可以分别用左右平移(Tx)、上下平移(Ty)和旋转(θ)来表达，同样的方法可以得出线轮廓的公差模型，如图8所示。

图7 线轮廓的变动域

图8 线轮廓的公差模型

2 公差域内变动特征的PDF

不同公差控制下的特征，在公差域内的变动不同。Whitney提出了孔销装配和块槽装配的变动规律，以及特征在受到不同公差控制时，装配体封闭环的变动曲线。根据设计和制造的经验以及基于凸包的公差变动域建模方法，可以得出特征在公差域范围内的变动规律[19]。在公差域内，特征变动规律PDF的求解过程可分为以下几步：

(1)将基于凸包的特征变动模型向二维空间投影，在二维空间中的每个坐标轴代表特征变动的每个小位移旋量；

(2)利用修正的蒙特卡罗方法随机得到公差范围内的一个公差值；

(3)根据二维空间内的投影结果和得到的随机的公差值求出线性方程、重心坐标方程和体积方程；

(4)求出在不同公差控制下特征变动的PDF。

根据PDF的求解过程可以把总结为如图9所示的流程图的形式。

图9 PDF的建模流程

2.1 平面特征的PDF建模

当平面只受尺寸公差控制时，把特征变动的凸包模型投影到二维空间上，如图10所示。特征在公差域内变动的PDF如式(2)所示。当平面进一步受到定向公差控制时，投影结果如图11所示，特征变动的PDF如式(3)所示。

图10 尺寸公差下的模型

(2)

图11 尺寸公差和定向公差下的模型

(3)

2.2 孔特征的PDF建模

根据同样的方法，产生的二维投影面如图12和图13所示，由此可以分别得到孔特征在只受定位公差以及同时受到定位和定向公差控制时的PDF，如式(4)和式(5)所示。

图12 定位公差下的模型

(4)

图13 定位公差和定向公差下的模型

(5)

2.3 线轮廓的PDF建模

在线轮廓度约束下的凸包模型向二维空间投影，产生的平面如图14所示，由同样的方法可以得到线轮廓控制下的PDF，如式(6)所示。

图14 线轮廓公差

(6)

δ=a/b,a、b分别轮廓的长和宽。

3 偏差累积方程建模

基于凸包理论，本文建立了新的偏差累积模型的求解方法，求解步骤如下：

(1)基于节点基准链的方法求出装配体上影响封闭环的关键尺寸链，在尺寸链中的每个特征上设定一个坐标系，用来确定特征的位置；

(2)确定尺寸链中每个特征的位置后，在各自坐标系下构建基于凸包理论的公差域模型，并求出每个变动特征的PDF；

(3)根据修正的蒙特卡罗方法(如图15)随机产生尺寸链中每个公差的随机值；

(4)根据修正的蒙特卡罗方法，求解尺寸链中的变换矩阵，如式(7)、式(8)所示，根据基于凸包理论的公差建模方法，最终得到尺寸链的偏差方程，如式(9)所示。

(7)

(8)

TFR-i=TFR-1·DT1-1′·F1·T1′-2·DT2-2′·
F2…T(i-1)′-i·DTi-i′·Fi

(9)

在式(7)～式(9)中，FR代表封闭环，T(i-1)′-i代表从第i-1个特征到第i个特征的坐标变换矩阵，DTi-i′是特征公差的小位移旋量矩阵，Fi是变动特征的PDF，α、β、γ分别是从第i-1个特征到第i个特征绕x、y、z轴的旋转角度，U、V、W则分别是从第i-1个特征到第i个特征绕x、y、z轴平移的距离，φx、φy、φz是每个特征公差小位移旋量旋转的分量，p是变动特征公差的平移分量，式(9)可以从式(7)、式(8)求出。

图15 基于LHS和凸包理论的修正蒙特卡罗法

4 敏感度分析

传统的敏感度分析方法以蒙特卡罗仿真为基础，是基于点-点的参数输入方法。本文利用凸包理论对这一方法进行改进，将参数的输入由一个单纯的取点过程拓展到一个取凸包域的过程。把PDF、凸包理论和修正的蒙特卡罗方法结合起来，对偏差函数进行敏感度分析，这个方法的理论基础是HDMR[22]。偏差函数如式(10)所示：

y=f(t1,t2…ti,…tn)

(10)

(11)

5 实例分析

利用MATLABA12.0的仿真优化模块和数值计算模块对该实例应用本文提出的方法进行仿真计算。Matlab是一个功能强大的数值分析和仿真优化软件，利用Matlab编码简单、内涵各种数学公式的特点进行修正的蒙特卡罗程序的编写。对该实例进行计算的流程图如图16所示：

图16 验证流程

5.1 汽车前大灯子装配体

如图17所示，汽车前车灯子装配体由前大灯 Headlamp(GD&T图纸见图19)、转向灯 Turnlamp(GD&T图纸见图20)和安装支架 Bracket (GD&T图纸见图21)三个零件组成，前大灯与转向灯均安装在安装支架上。装配体的功能要求见图18，前大灯的端面HL_Trimedge与转向灯端面TL_Trimedge间的间隙为关键尺寸，功能尺寸要求为6.5±1.5mm。前大灯Headlamp中三个销的台阶面Headlp_X1、Headlp_X2、Headlp_X3 分别与安装支架 bracket 上的三个特征面Bracket_Headlp_X1、Bracket_Headlp_X2、Bracket_Headlp_X3 接触，两个销轴通过面 Headlp_YZ、Headlp_Z分别与安装支架上的孔 Bracket_Headlp_YZ、槽Bracket_Headlp_Z 装配在一起。转向灯turnlamp中三个销的台阶面 Turnlp_X1、Turnlp_X2、Turnlp_X3分别与安 装支架bracket 上的三个特征面Bracket_Turnlp_X1、Bracket_Turnlp_X2、Bracket_Turnlp_X3 装配在一起，销轴Turnlp_YZ 、 Turnlp_Y分别与安装支架上的孔Bracket_Turnlp_YZ、Bracket_Turnlp_Y进行装配。该装配体的偏差累积路径如图22所示。

图17 前车灯装配体

图18 车灯功能要求

图19 Headlamp的 GD&T图

图20 Turnlamp 的GD&T图

图21 Bracket 的GD&T图

图22 基于节点基准链的偏差路线图

5.2 模型数模

在本文中，模型的输入变量如表1所示。

表1 模型输入变量

分别对尺寸链中的关键特征进行建模，如图23～图26所示。

图23 HL的模型

图24 B_Headlp_YZ的模型

图25 B_ Turnlp_YZ的模型

图26 TL的模型

对尺寸链中各变动特征的PDF进行建模，得到HL和TL的PDF函数如下式：

(12)

则B_Headlp_YZ和B_ Turnlp_YZ的PDF函数为：

(13)

偏差累积方程如式(14)所示：

TG_Ct-TL=TG_Ct-HL·DTHL·THL-Hp_YZ·DTB_Headlp_YZ·THp_YZ-Tp_YZ·

DTB_Turnlp_YZ·TTp_YZ-TL·DTTL·ITG_Ct-HL·THL-TL=TG_Ct-TL

THp_YZ-Tp_YZ·DTB_Turnlp_YZ·TTp_YZ-TL·DTTL·I

(14)

尺寸链上变动特征的PDF累积函数如式(15)所示：

(15)

变动特征的小位移旋量的约束方程如式(16)所示：

-1≤vi≤1(i=0,3)-0.565≤γ0≤0.565
Vi2+wi2≤0.25(i=1,2)

(16)

对模型的中间矩阵进行总结，得到表2。

表2 方程的变换矩阵

Contribution式中，SI指的是正弦sin，CS指的是余弦cos。

通过修正的蒙特卡罗方法进行仿真，得到了置信水平为99.73%时FR(功能要求)的取值，为[5.2401, 8.4475]，FR分布及其取值的PDF函数曲线如图27所示。

图27 FR的分布

尺寸链的敏感度分布如图28所示。

图28 敏感度分析结果

通过对几种不同方法的计算和比较，结果如表3所示。

表3 不同方法结果对比

6 结论

本文结合蒙特卡罗仿真、T-Map建模和基于HDMR的敏感度分析方法，提出了一种基于凸包的公差域模型，并得出了以修正的蒙特卡罗仿真为基础的公差分析方法。与传统的3D公差分析理论相比，根据实例分析流程可知，该模型只需要输入节点信息、节点类型、公差类型、以及基准之间的关系，就可以直接得到封闭环的分析结果，实现了对基于凸包理论的公差模型进行蒙特卡罗仿真分析，并通过将得出的结果与运用闽科夫斯基求和方法得到的结果进行对比，进一步证明了方法的合理性。在对复合公差的建模问题上，基准顺序的考虑还不完整，对公差域变动特征PDF的建模也还需要在下一步进一步改善。

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(编辑 李秀敏)

A New Method of Tolerance Analysis Model Based on Convex Hull for 3D Assembly

ZHANG Geng-nan,YANG Zhi-hong, LI Qi-sheng ,YU Kui-gang,HUANG He-fu,LI Na

(Key Laboratory of High Efficiency and Clean Mechanical Manufacture, Ministry of Education, School of Mechanical Engieering, Shandong University, Jinan 250061, China)

We propose a methodology in this study for the analysis and optimization of assembly tolerances. A tolerance zone model is developed based on convex hull, which is the basis of the tolerance-map (T-map) and deviation-domain (D-domain). Instead of point-based model for tolerance analysis, the model is conducted for domain reflecting true 3D tolerance zones and geometric variations, which is in accordance with the ASME and ISO standards. In a control frame, the probability density function (PDF) of a variant feature in the tolerance zone combined with the Monte Carlo method for tolerance analysis, a new approach to assembly tolerance analysis is carried out. A 3D case has been performed to demonstrate the new tolerance zone model and the new approach to tolerance analysis.

convex hull; tolerance analysis; tolerance modeling; Monte-Carlo method

1001-2265(2017)08-0014-07

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.004

2016-09-22；

2016-12-07

国家自然科学基金(51375277)

张庚楠(1990—)，女，山东菏泽人，山东大学硕士研究生，研究方向为公差建模，(E-mail)qisheng6@163.com;通讯作者：杨志宏(1970—)，女，回族，山东菏泽人，山东大学教授，研究方向为精益管理，(E-mail)yangzhihong@sdu.edu.cn。

TH161;TG506

A