刘念聪，杨家锐，曾浩然，耿伟涛，陈建龙

(成都理工大学 核技术与自动化工程学院，成都 610059)

特性参数对进给系统工作台扭转-纵向振动的影响分析*

刘念聪，杨家锐，曾浩然，耿伟涛，陈建龙

(成都理工大学 核技术与自动化工程学院，成都 610059)

以数控机床进给系统为研究对象，运用第二类拉格朗日方程理论建立了系统扭转-纵向的耦合动力学模型，并利用四阶龙格-库塔法对方程进行了数值求解。采用等倍数法增加各参数值，进而求取了不同参数下的工作台速度最大振动幅值。在此基础上，分析了丝杠与螺母结合部轴向刚度、联轴器刚度、轴承刚度三个因素对进给系统工作台轴向振动的影响，并分析了在变导程下增加结合部等效扭转刚度对工作台扭转振动的影响。研究结果表明，随轴向刚度的增加工作台轴向振动幅值都呈减弱的趋势，螺母结合部轴向刚度是影响工作台轴向振动最大的因素，联轴器刚度是影响最小的因素。导程越大，工作台扭转振动幅值越大，等效扭转刚度对工作台扭转振动的影响率越明显。为进给系统的研究提供了理论参考，并为机床减振和结构优化提供理论依据。

进给系统；扭转-纵向；耦合；刚度；变导程

0 引言

进给系统的动态特性作为影响数控机床切削平稳性的决定因素之一，直接影响到其加工质量、加工精度[1-2]。另一方面，数控机床的高速、高精密发展趋势对数控机床动态特性的要求越来越高[3-4]，而动态特性参数是影响动态特性的重要因素并很大程度上制约数控机床的加工质量，在耦合作用下研究动态特性参数对进给系统的影响已经成为国内外学者的研究热点[5-6]。吴沁等[7-8]人运用集中质量建模的方法建立了扭转-纵向振动的数学模型并指出丝杠导程、质量、螺母结合部刚度是对工作台轴向振动影响最大的三个因素，并提出了减小刚度对系统性能影响的控制补偿策略，但建模过于简化，并忽略了工作台的扭转因素的影响，其分析不能准确描述各参数影响的变化趋势。ZHANG等人运用Timoshenko理论研究了扭转-纵向的振动，得出伺服电机谐波频率与系统自然频率接近时系统将发生共振[9]，虽建模时考虑了联轴器刚度，但并未分析其对系统的影响。VICENTE等人运用里兹级数法建立了进给系统的扭转-纵向耦合数学模型，分析了导程、工作台位置对系统的影响，并对耦合与非耦合下的模态频率进行了比较分析[10]，但在建模时忽略了工作台扭转因素的影响，并未得出某种影响趋势。OKWUDIRE等人建立了进给系统三向耦合数学模型，在频域内分析了转矩、工作台位置对系统最大振动幅值的影响[11]，但在建模时忽略了阻尼、联轴器影响，并未得出联轴器对系统的影响趋势。

论文根据第二类拉格朗日方程理论建立考虑刚度、导程等影响因素的动力学模型，通过取最大幅值的方式分析了影响因素对工作台振动的影响关系，结论为后期结构优化和机床减振提供一定的理论依据。

1 进给系统数学模型的建立

1.1 力学模型

进给系统结构简图如图1所示，为了便于力学模型的建立，将进给系统结构简图作如下假设：电机轴刚性较大，视其为刚性体考虑。联轴器轴向刚度较扭转刚度而言，扭转作主导作用，把联轴器简化成由扭转刚度和扭转阻尼组成的等效扭转弹簧。考虑到轴承、螺母与丝杠结合部的弹性作用，把结合部分简化成轴向刚度、轴向阻尼、扭转刚度、扭转阻尼。为了简化分析模型，不考虑丝杠弯曲的作用，把滑块结合部的法向刚度换算到螺母与丝杠结合部上考虑。具体简化如图2所示。

图1 进给系统结构简图

图2 简化力学模型

如图2所示，Jm为电机转动惯量，cm为电机绕x轴旋转的粘性阻尼，θ1为电机转角位移，k1、c1分别为联轴器扭转刚度和阻尼，cb、cb1、cbφ、cb1φ分别为两轴承结合部的轴向阻尼和扭转阻尼，kb、kb1、kbφ、kb1φ分别为两轴承结合部的轴向刚度和扭转刚度，μ(x,t)、θ(x,t)分别为丝杠的轴向振动位移和扭转振动位移，c2、c2φ分别为螺母结合部的轴向阻尼和扭转阻尼，k2φ为工作台法向刚度k3、k4转换到螺母结合部扭转刚度上的等效扭转刚度，k2为螺母结合处的轴向刚度，x(t)为工作台轴向位移，φ(t)为工作台扭转位移，m为工作台质量，ct为滑块粘性阻尼。

1.2 数学模型

第二类拉格朗日方程如式(1)所示。

(1)

式中，Q-广义激振力；L-系统动势能之差，L=T-V，T-系统动能，V-系统势能；D-阻尼能；qi-系统广义坐标。

根据简化可得进给系统动能：

(2)

式中，ρ—丝杠密度；J—丝杠极惯性矩，J=πd4/32；J1—工作台转动惯量，由文献[12]可知J1=mb2/48；J2—联轴器转动惯量；A—丝杠横截面面积；L1—丝杠长度。

同理，根据简化可得势能：

(3)

式中，G—剪切弹性模量；l—转换系数，l=l1/2π；E—材料弹性模量。

同上，可得阻尼能和系统外力所作的功：

(4)

式中，F1—螺母预紧力，以最大动载荷的10%计算；f—工作台所受阻力。

在连续系统非线性无关具有同步运动特征条件下，可把丝杠扭转振动位移和纵向振动位移分离成位移和时间表示的函数，即用里兹级数法表示[13]，可得：

(5)

把式(2)～式(5)带入式(1)中，并把系统动力学平衡方程整理成矩阵形式，如式(6)所示：

(6)

2 动态特性参数分析

工作台x向的振动对加工精度具有直接的影响，因此本文以此为分析对象。运用四阶-龙格库塔法对式(6)进行数值求解运算。其中，结合部刚度难以确定，因此结合部刚度根据赫兹理论进行计算[14]，考虑到系统受阻尼过大时幅值将会很小，分析时不易获取较大幅值，因此系统阻尼根据模态实验所得丝杠最小阻尼比ξ=0.00197进行计算。以搭建的工作台实际计算所得参数值为求解初始参数，主要参数如表1所示。

表1 初始数值计算参数

取r=0.5L1，在扭转-轴向耦合状态下，通过等倍数改变各参数值的方式获得工作台在不同数值下的数值，并通过取振动最大幅值的方式定量分析各参数对工作台扭转-轴向振动的影响趋势。表2为刚度以等倍数增加时工作台轴向刚度的最大幅值变化情况，下降率表示随刚度等倍增加后轴向最大振幅所下降的比例。表3表示在不同导程下工作台结合部扭转刚度以成倍增加后工作台的扭转最大幅值，影响率表示在不同导程下，结合部扭转刚度以等倍数增加后分别对工作台扭转最大振动幅值影响的下降比例，而增加率表示在初始设定的参数条件下随着导程的增加工作台扭转最大振动幅值所增加的比例。图3对应表2数据，图4、图5对应表3数据。

表2 轴向刚度对工作台轴向振动影响

表3 变导程下工作台结合部等效扭转刚度对工作台扭转振动的影响

图3 刚度对工作台轴向的影响关系

图4 变导程下结合部扭转刚度对扭转振动下降率的影响

图5 导程对工作台扭转振动的影响关系

由表2、图3可知，随着螺母结合部轴向刚度、轴承结合部刚度、联轴器扭转刚度的增加，工作台轴向最大振幅都呈逐渐下降的趋势，其中，螺母结合部轴向刚度增加后振幅下降率为6.5%，轴承结合部刚度增加后下降率为2.9%，联轴器扭转刚度增加后振幅下降率为0.55%。由此可知，这三因素中，螺母轴向刚度是影响工作台轴向振动最大的因素，且联轴器对其影响最小，在对进给系统动力学简化分析时，可以忽略联轴器刚度的影响。

由表3、图4可知,在导程不变的情况下，随着等效扭转刚度的增加工作台扭转振动幅值将逐渐减小，即工作台扭转波动减小，在增加导程后，随着等效扭转刚度的增加，工作台的扭转振动幅值的影响率将会逐渐增大。根据建模时工作台轴向与扭转有l的转化关系可知，随着等效扭转刚度的增加，工作台轴向振动幅值也将逐渐减小。由图5和表3可知导程从5增加到6和10，即增加1.2倍和2倍时，振动幅值增加率16.63%和45.86%，等效扭转刚度增加2倍时，振动幅值下降率0.78%，由此得出导程对工作台扭转振动幅值的影响要比等效扭转刚度的影响大的多，这是由于增大导程会使系统耦合性增加并会增加丝杠的扭转变形进而减小了传动刚度。

3 结论

以搭建的进给系统为研究对象，运用第二类拉格朗日理论建立了进给系统多自由度的理论模型，通过取振动最大幅值的方式分析了各因素对工作台轴向振动的影响和对扭转振动的影响。可以得出以下结论：

(1)随着轴向刚度的增加，工作台轴向振动幅值呈逐渐减小的趋势。在文中分析的几个对轴向影响的刚度因素中，螺母结合部轴向刚度对工作台轴向振动幅值的影响最大，在进行结构优化时，可以采用双螺母来提高螺母结合部刚度，从而减小振动。由于联轴器对工作台轴向振动非常小，在以后的理论研究中，在精度允许的前提下，可以忽略联轴器的影响。

(2)随着等效扭转刚度的增加，工作台扭转振动幅值呈逐渐减小的趋势，即工作台扭转波动减小。随着导程的增加工作台扭转振动幅值呈增大的趋势，这是由于增大导程会使丝杠的扭转变形增大进而减小了传动刚度。并得出导程对工作台扭转的影响比等效扭转刚度对扭转振动的影响大的多。

(3)随导程的增加，结合部等效扭转刚度对工作台扭转振动的影响率将会逐渐变大，由此可以得出，对采用大导程的系统，在分析其性能时不可以忽略结合部扭转刚度的影响。

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(编辑 李秀敏)

Analysis on the Influence of Characteristics Parameter on Feed System Workbench Axial-Torsional Vibration

LIU Nian-cong, YANG Jia-rui, ZENG Hao-ran, GENG Wei-tao, CHEN Jian-long

(College of Nuclear Technology and Automation Engineering,Chengdu University of Technology, Chengdu 610059,China)

By taking numerical control machine feed system as the research subject, a axial-torsional coupling dynamic model of feed system has been established using the second theory of Lagrange equation, and the model has also been numerically solved by the four-order Runge-Kutta method. Increasing the various parameter values of feed system by equimultiple, the maximum velocity amplitude of workbench vibration under the different parameters has been obtained. Influence of the axial stiffness of nut integration, the coupling stiffness and the bearing stiffness on workbench axial vibration has been analyzed, and under the changeable lead, the influence of increasing the integration equivalent torsional stiffness on workbench torsional vibration has also been analyzed. It turns out that when increasing the three axial stiffness, vibration amplitude of the workbench axial decreases. The axial stiffness of nut integration is taken as the major factor of the workbench axial vibration, and the coupling stiffness as the minimum factor. The bigger the screw lead, the greater the torsional vibration, and the influence ratio of equivalent torsional stiffness on workbench torsional vibration become more obvious. The discovery can be served as theory reference of feed system research, and provides theoretical basis for the vibration absorption and structure optimization of machine tool.

feed system; axial-torsional; coupling; stiffness; changeable lead

1001-2265(2017)08-0010-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.003

2016-10-26；

2016-11-22

国家自然科学基金(51575457)；四川省教育厅科研项目(16ZB0098)

刘念聪(1976—)，男，山东荷泽人，成都理工大学副教授，博士，硕士生导师，研究方向为机械振动及测试、机电系统动力学、有限元分析，(E-mail)1250208673@qq.com；通讯作者：杨家锐(1990—)，男，重庆人，成都理工大学硕士研究生，研究方向为制造过程故障诊断与可靠性分析，(E-mail)861306792@qq.com。

TH161; TG659

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