董俊道

（哈尔滨理工大学应用科学学院 黑龙江哈尔滨 150080)

短跑地水平运动是三或四维度运动①

董俊道

（哈尔滨理工大学应用科学学院 黑龙江哈尔滨 150080)

至今运动生物力学仍用质点或刚体力学规律解析侧面观测地短跑运动,不能解释短跑测试图线中多个冲量值间存在公约数等现象。深究短跑测试图线的特征,发现短跑的生物特性主要表现为弹性运动。于是短跑前支撑的平面运动可视为三维运动;后支撑的平面运动可视为四维运动。利用多维系统功能关系、冲量关系,给出短跑运动与弹性、复式蹬伸、自由刚体等模型相关的多种力学微元,分解复杂短跑运动,量化生物特性,突破目前用质点、刚体力学规律解析短跑运动的思维模式。初步找到揭示短跑运动力学规律的方法。

短跑力学模型 多维平面运动 多维系统的功能关系 复式蹬伸模型

多份文献[1-4],特别是综述文献[4]表明,竞技界侧重研究与竞技运动相关的生物力学,多涉及运动员的具体肌群、部位、姿态等,多进行定性分析,侧重于实战应用。

目前,参考大量外国文献资料编写的运动生物力学教材,都对人体的生物特性进行了较详细地阐述。对短跑也进行了运动生物力学分析[5-7]。但都没有指出人体生物特性对短跑运动的具体影响。

对短跑途中跑运动员整体的运动规律可用短跑测试图线描述[8-9]。对短跑测试图线反映的短跑运动规律,鲜见相关的深入研究。文献[8]参考德国资料用质点法推算质心的加速度、位移;并试图探讨人体软组织对运动的影响。文献[10]分析短跑摩擦力测试图线与速度图线的关系时,发现运动员生物特性对短跑运动主要的影响方式,使短跑运动的生物特性得以量化,初步找到用力学方法解析短跑运动的路径。

1 研究短跑的前提及短跑运动的一维二维解析方法

1.1 用一维空间观解析短跑

短跑途中跑运动员通过一段水平风洞,其中同向的风与途中跑的平均速度相同。在风洞中水平地面上有测量水平摩擦力的测力板。由于可忽略风的阻力,实测水平摩擦力可视为运动员支撑阶段受的水平合力。运动员刚着地时,其质心的水平速度为1υ(等于腾空速度),经过一小段Δt1运动员质心的水平速度2υ=1υ+a1Δt1。其中Δt1等于风洞侧壁上高速度摄像机摄像频率的倒数,质心的视加速度a1=f1测/m(m为运动员质量)。于是Δt1时段质心通过的位移Δx1=(1υ+2υ)Δt1/2。此推算将运动员视为质点。绘制短跑运动图线常用此类方法[8]。测得这一小段的水平摩擦力f1测(合力),依动能定理有:

图1 速度图线摩擦力关联分析图

这是用一维空间观研究短跑。不能揭示运动员转动的规律及运动员平动与转动的关系。

1.2 用二维时空观解析短跑

参考大量中、外文献编写的各种生物力学教材,常将短跑运动员简化为刚体,从侧面观测其水平运动[5-7]。文献[8]用此作为指导思想推算。

短跑运动员着地后其脚部与地面间有足够的摩擦力,运动员对地面的相对运动与竞走一样是无滑动的滚动[11],是复杂的运动。不考虑空气阻力,X轴任意小段Δxi前作用于运动员的实测力为fi测。设此时运动员质心只受有效摩擦力fi有(合力)作用。前支撑阶段任意微元Δxi前上fi有(与运动方向相反)使运动员平动动能减少,使其身体对左右轴转动的动能增加。可认为fi有做的功将运动员的部分平动动能转化为其转动动能。以ΔEi平表示平动动能改变量,ΔEi转表示转动动能改变量,ΔWi=fi有Δxi前表示有效摩擦力做的功,ΔQi表示消耗运动员动能做功产生的热量。这个过程有｜fi有Δxi前｜=｜ΔEi平｜=｜ΔEi转｜=｜ΔWi｜=ΔQi。前支撑运动任一段微元质心的水平初速度为υi1,运动员对质心的转动动能为Ei1转;该段微元的末速度为υi2,运动员对质心的转动动能为Ei2转。有效力fi有做功过程对应的能量守恒关系为。由于 ΔQi=ΔWi有。式中 ΔEi转=Ei2转-Ei1转。假设,再假设,得到两个等价关系式:。求得。对前支撑任意小段Δxi前,实测水平摩擦力fi测(合力)功,有。显然,质心受到的有效水平力fi有=fi测/2(3)。

任意一段微元对应一段匀变速直线滚动。相关解析用的是二维时空观。这样解析能揭示刚体平动、转动、有效力功、实测力功等及它们之间的关系。

图2 短跑测试图线

2 进一步反省与思索

2.1 短跑运动实际与突出耗散力的观点不吻合

曾经假设fi测=fi有+fi耗,突出了耗散力[12-13]。依此式忽略耗散力时有fi测=fi有,与式(3)矛盾。另外,短跑运动的实测图线表明,前后支撑时段的摩擦力图线有较大差异[9]。故描述短跑前后支撑运动的规律应有较大的差异。

2.2 令人思索的冲量值

文献[9]涉及的短跑测试值：短跑前支撑水平摩擦力冲量值为51、短跑后支撑水平摩擦力冲量值为69、短跑横向水平摩擦力冲量值为17；文献[7]涉及的短跑测试值：短跑前支撑水平摩擦力冲量值为50、短跑后支撑水平摩擦力冲量值为69、短跑的横向水平摩擦力冲量值为17。对比二者，说明数据可靠。测试数据中的17、51、69等有公约数不是偶然的，需要追思。

2.3 短跑支撑时段速度图线反映运动员有弹性运动

对照分析图1中水平摩擦力图线与速度图线，发现短跑运动支撑时段运动员存在完全弹性形变地迹象。速度图线υ腾′A线段(即PA线段)对应的两段速度图线与线段PA围的两个月牙面积近似相等，表明运动员质心在速度图线波动中两段位移的波动值近似相等但符号相反。波动的原因是对应的实测摩擦力波动。文献[10]对HQ段摩擦力图线前后两段实测力冲量的推算表明，速度图线PV段月牙对应的冲量波动约为+13.7 kgm/s，速度图线上VA处月牙对应的冲量波动约为-13.7 kgm/s。它们刚好与速度图线月牙部分的凸、凹对应。推算结果表明运动员在前后两小段时间里的弹性形变量近似与弹力的波动量成正比，致使运动中运动员产生与完全弹性形变对应的位移波动。

文献[10]指出的后支撑时段速度曲线的两个月牙(对应质心两段位移的波动量)对应的摩擦力冲量波动量的推算，也表明运动员有近似完全弹性波动地现象。

2.4 多维度系统功能关系及冲量动量关系

前支撑任意小段位移Δxi前上实测水平合力fi测做的功数值上有式(2)所示的关系。这表明,合外力对二维度系统做功时,其对各维度做的功等值,在各维度引起的机械能改变量相同,且合外力做的功等于各维度机械能改变量值的和。这是二维度系统的功能关系。不难推得其对应的冲量—动量关系。

推论:式(2)对应的二维空间冲量动量关系为:

其中Δpi平、ΔLi转表示动量增量、角动量增量;Ji1心、Ji2心、顺次为Δti初、末时刻运动员对其质心的转动惯量和转动的角速度。式(4)为式(2)的推论。其物理意义:合外力对二维度系统的冲量在各维度导致的动量增量(含角动量增量)等值,且合外力冲量等于各维度动量增量值的和。此为二维度系统的冲量动量关系。

2.5 实测力的两种平均力相等

式(2)中fi测可视为Δxi前上的平均力(合力)。式(4)中的fi测可视为对Δti的平均力(合力),在图1速度图线上任取一小段,可用其求得对应的平均加速度ai=(υi2-υi1)/Δti。还可用这一小段对应的位移量(即任意小段速度图线与时间轴O—t包围的小面积)求得对应的平均加速度。对同一小段显然有

视为质点的速度图线上一小段速度图线对应一小段匀变速直线运动。于是速度图线上任意小段,实测力对时间的平均值等于实测力对位移的平均值。牛顿力学中质点的运动都可用速度曲线描述。故牛顿力学中对同一质点而言,其所受合力对时间的平均值总等于其合力对位移的平均值。因为力是物体间相互作用的量化模型,而物体间相互作用是客观存在的。

2.6 质心受的力与整体受的力常不相等

例如:水平气垫导轨上有两个完全相同的刚性滑块,在滑块一端施力f使二者以同一加速度运动时,二者整体受的力为f,但实测二者质心处受的力却为f/2。这时可视为f均分。视运动员为自由刚体从侧面观测其平面运动,其整体受的实测力也可视为在二维度上均分。

3 以X为主轴XOY平面短跑的三四维运动及相关的力学微元

运动员质心X轴的运动和运动员绕垂直XOY面转轴的转动称为以X为主轴的XOY平面的平面运动。受能量按自由度(维度)均分定理启发,将二维度系统功能关系及其冲量动量关系推广至短跑的三、四维运动。下列推导涉及的各增量均取其绝对值。专门说明之处例外。因不知短跑测试图线的函数关系,着重分析其任意小段的运动及相关的力学微元。

3.1 有弹性形变的前支撑阶段运动员质心的位移

3.2 水平方向短跑前支撑的运动维度及相关的力学微元

前支撑阶段(摩擦力向后)运动员做顺势运动[10],可认为运动员为X轴向弹簧与自由刚体组合的复合模型。这时水平方向XOY平面的短跑运动有三个维度:X轴向弹簧对应的振动维度、受力刚体X轴向的平动维度、绕左右轴的转动维度。对以X为主轴的短跑多维度平面运动,外力在XOY平面之X轴向的投影为fi前测,它在任意小段水平位移上做的功导致三个维度机械能的变化,依多维度系统功能关系有

合力对多维度系统做功时,多维度系统每个维度的机械能增量相同。短跑前支撑阶段任意小段,运动员靠消耗运动员的水平动能做的功等于。三维度情况下各维度的机械能增量都等于其1/3,为。故弹性振动维度机械能增量其中ki前弹为对应小段的弹性系数。刚体平动维度机械能增量。转动维度机械能增量其中还可写成。该式表明,运动员任意瞬间的转动惯量等于其质量与对应时刻滚动半径平方的积。

(1)每个维度对应的“动量”改变量值相同(多维度冲量动量关系)。对前支撑任意小段有:

Δti前测为前支撑任意小段用时,代表前支撑时段弹性运动维度动量增量,由知,,故此处的fi前测/3可视为实测力在弹性维度对时间的平均力为代表Δti前测时段刚体平动维度运动员质心水平动量的有效增量,对应的分力对Δti前测的平均值为fi前平;前支撑任意小段转动维度运动员对其质心转动动量矩(角动量)的增量为,其对应的等效分力对Δti前测的平均值为fi等效。依式(12)有,各分力都等于fi前测/3。

(2)令式(8)、(9)、(10)中的fi测/3顺次表示为fi前弹、fi前有、,由式(7)得fi前测=fi前弹+fi前有+fi等效。类似地推导可说明等号右侧的各分力是fi前测在各子模型中对位移的平均分力,它们与前面提出的各分力对应相等。首先是弹性维度的力学微元量化了生物特性,并导致实测力重新分配,故对应的机械能增量、动量增量、冲量和各段位移增量等也量化了短跑运动地生物特性。

(5)前支撑时段的弹性及顺势性[10]反映运动员的生物特性。从图2标注的冲量数看,实测实例中每个维度涉及的冲量值约17 kgm/s。即:

使得实测的前支撑时段总冲量为51 kgm/s。

(6)前支撑时段顺时针[9]摩擦力矩的持续作用,使前支撑时段末运动员转动的角冲量达到最大值,其对应的角速度为ωt2,对应的转动半径为rt2。

3.3 短跑后支撑阶段的运动为四维度运动

短跑后支撑阶段运动员蹬伸时,仍存在弹性运动维度。运动员蹬伸时还有绕踝关节的转动,从而增加了后支撑运动的维度。蹬伸时相关结构使身体与脚部同时产生方向相反的转动。以复式蹬伸模型称乎这种结构。蹬伸中复式蹬伸的效果是直接增加了平动动能。运动员的蹬伸还使作为刚体的运动员在平动维度、绕质心转动维度的运动状态发生变化,所以后支撑阶段运动员的运动是四维度运动。

3.4 短跑后支撑阶段的多维度系统功能关系及冲量动量关系

后支撑阶段任意小段实测力fn后测做的功用于四个方面:一使弹性维度的弹性机械能改变。二是复式蹬伸使身体得到的机械能增量为。三是通过蹬伸改变刚体平动维度里平动动能。四使刚体转动维度里绕质心转动的动能变化(负增量)。运动员做的机械功使四个运动维度的机械能同步等量变化。对多维度系统任意一段运动微元有:

稳定短跑中,令前、后支撑阶段运动员水平视速度的总改变量等值,即后支撑阶段运动员蹬伸实测力fn后测对运动员水平方向做的总功数值上等于前支撑阶段实测力fi前测做的总功(前支撑初速度1υ(等于腾空时水平速度),末速度2υ=Aυ;2υ为后支撑的初视速度,后支撑的末视速度也等于1υ)。于是

于是后支撑四维度运动的式(15)右侧每一项的值是其1/4,为。于是

ωn1为该段运动微元运动员对应的初角速度。Jn1为该角速度对应的相对运动员质心的转动惯量等。式(20)还可写成

可见,后支撑阶段任意时刻,运动员质心至地面距离的平方与其质量的积等于该时刻运动员的对其质心转动惯量。

(3)后支撑时段的弹性运动、运动员的蹬伸等,反映运动员的生物特性。从图2标注的对应冲量数看,实测例中每个维度涉及的总冲量值约17 kgm/s。即。使后支撑时段总冲量值为69 kgm/s。

其表示后支撑的任意小时段实测加速度为弹性维度对应的质心加速度、质心在复合蹬伸维度的水平加速度与质心在平动维度的有效平动加速度、质心在转动维度里对支点的切向加速度的水平分量四者合成的加速度。进一步可推知后支撑任意小时段速度图线对应的实测速度增量也为四方面合成。

(6)后支撑速度图线相关解析应用四维积分运算。但不知道其函数关系。在知道曲线对应的微元关系后,可用累加法分段解析[10]。

3.5 延伸思考

（1)时间轴是均匀的,可直接用速度图线前后支撑对应的长度求出前后支撑用时的比值,即(t2-0)/(t支-t2)的值。为此可将图1放大,当前支撑时段对应的长度为52.0 mm时,速度图线对应的总长为121.3 mm。得(t2-0)/(t支-t2)=52/(121.3-52)=0.75=3/4(25)。结论相当精确,进一步表明前后支撑运动的维度为三维与四维。

(3)之所以将后支撑时段对应的冲量值改写成68,因为一部分冲量延续至蹬离后。速度图线最后一小段的倾斜表明这一点。蹬离后脚部的回弹也说明这一点。

(4)运动员于A点处的水平摩擦力为零表明,此刻(t2时刻)质心的水平速度υA等于线速度rt2ωt2的水平分量(与质心处的速度等大反向),使得支撑脚相对地面的运动趋势为零。利用这一特征可对此点相关的参量进行准确地推算及检验。利用测得的质心的速度Aυ,用式(11)反推角速度,再与实测的角速度比较,可说明用多维度观点解析是否正确。

(5)式(11)式(21)表明,可将侧面观测的短跑运动员视为均质圆盘模型。运动员任意瞬间转动惯量的推算值与实测转动惯量比较,可检验这一模型。

(6)运动员生物特性的主要表现,为其身体的弹性运动。运动员X轴向位移的弹性变化,是其各节段的扭动、切变、伸缩等弹性形变的总体表现。

(7)多维度系统涉及的各种因素密不可分,同时并存。

(8)可设计各种多维度机械运动系统进一步检验多维度系统功能关系。

(9)实测实例表明,前支撑阶段每个维度对应的冲量增量值为总冲量的1/3。由实测蹬伸横向分力对应的冲量为17 kgm/s推知,蹬伸的竖直分力的冲量也有17 kgm/s的冲量包含其中。

(10)综合上述的解析看,解析物体复杂运动的步骤:一应测试物体质心在某轴向的运动,然后对其运用质点的动能定理;二应分析物体平面运动的维度,对其运用多维系统功能关系或多维度冲量动量关系。

4 研究结论

该文探究的短跑运动,为跑台测试时从侧面观测地稳定短跑途中跑运动。同样可忽视空气阻力。但运动速度为相对皮带的速度。依相对性原理,二者对应的力学规律相同。

(1)物体间相互作用是客观存在。物体间相互作用的形式多种多样。力不过是某些相互作用的量化模型,与其他形式量化模型可进行等价变换。短跑运动的测试力是复合力。其不同成份对应不同的力学规律。途中跑运动员受的水平合力及其分力对位移的平均值等于它们对时间的平均值。

(2)合外力对多维度系统做功时,其在各维度导致的机械能改变量相同,合外力做的功等于各维度机械能改变量值的和。此为多维度系统的功能关系。由此推知,多维度系统的合外力冲量等于各维度合力冲量值的和,或等于各维度动量改变量值的和。该规律为多维度系统的冲量动量关系。不同运动维度没有优劣之分。

(3)侧面观测地短跑前支撑平面运动为三维运动,其对应的物理模型为弹簧与刚体的复合模型。侧面观测地短跑后支撑平面运动为四维运动。 其对应的物理模型为弹簧、复式蹬伸模型、刚体模型的复合。蹬离后运动员质心做二维的抛体运动。

(4)运动员运动中生物特性的主要表现为弹性运动。运动中弹性的整体表现可量化。人体既然有弹性,必然表现在各种运动中。

(5)用多维度系统功能关系及其推论推得短跑运动的多种力学微元,不但量化了人体运动中的生物特性,还构建了它们之间的联系,使正确解析短跑测试图线及短跑运动成为可能。

(6)初释跑台实测途中跑的多个冲量值间有公约数的现象。

(7)利用水平摩擦力为零瞬间支撑脚相对地面的运动趋势为零的现象,可初步检验多维度系统法解析的正确性。

(8)人体(生物体)运动的最简单形式是弹性振动与自由刚体运动复合地形式。

(9)减少运动维度是提高其中刚体运动效率的最有效措施。

(10)既然生物体运动涉及弹性振动,那么认识相关运动的频率响应规律就十分必要,便于对运动员把握时机进行更具体地指导。

每个初步结论都应通过实验检验。各维度的微元表达式等也待深究。文献[9],其对应的情况没有外界干扰,才有上述的分析与推导;明确短跑运动是多维度运动,才能正确解析;剖析复杂运动地力学微元才可能实施解析。

用三、四维度运动描述短跑支撑阶段的平面运动,量化了运动中的生物特性,诠释了测试实例中各冲量数有公约数的现象,反映出前后支撑运动规律的差异,说明相关的系列模型、方法有其合理性,值得进一步探究。

[1]施宝兴.短跑途中跑支撑阶段腿关节肌肉生物力学特性的研究[J].天津体育学院学报,2006,21(6):495-499.

[2]李长春.短跑途中跑着地缓冲技术的生物力学分析[J].景德镇高专学报,2007(4):62-63.

[3]唐斥非.蹲踞式起跑运动生物力学分析[J].宜春学院学报,2008 (4):4-5.

[4]仰红慧.第17届全国运动生物力学学术交流大会述评[J].体育科研,2015(36):1-4.

[5]陆爱云.运动生物力学[M].北京:人民体育出版社,2015.

[6]赵焕斌,李建设.运动生物力学[M].北京:高等教育出版社, 2015.

[7]全国体育学院教材委员会.运动生物力学[M].北京:人民体育出版社,2005.

[8]施宝兴.短跑支撑阶段运动生物力学分析[J].体育科研,2010 (31):40-43.

[9]文超.田径运动高级教程[M].北京:人民体育出版社,2005.

[10]董俊道.剖析短跑测试图线,初释短跑力学规律[EB/OL].(2015-02-06).http://www.paper.edu.cn/idex.php/ delault/releasepaper/content/201502-84.

[11]董俊道.“小步,高频”竞走技法及相关力学规律[EB/OL].(2012-11-07).http://www.paper.edu.cn/idex.php/ delault/releasepaper/content/201211-101.

[12]董俊道.辨两观点,析短跑运动微元及图线绘法[EB/OL].(2016-04-14).http://www.paper.edu.cn/idex.php/ delault/releasepaper/content/201604-154.

[13]董俊道.走出思维定势 探究短跑有效量的力学规律[EB/OL].(2015-02-06).http://www.paper.edu.cn/idex.php/ delault/releasepaper/content/201511-713.

Observations From the Side to Sprint Movement is the Movement of three, Four Dimensions Movement

Dong Jundao
(Science and engineering university applied sciences college in Harbin, Harbin Heilongjiang, 150080, China)

Sports biomechanics still use particle or a rigid body mechanics law analytical side observation to sprint movement, can not explain sprint test figure line more impulse phenomenon such as common divisor between values.Dig into the characteristics of the sprint test line, found the creatures of the sprint main features mainly for elastic movement.Then sprint front support planar motion can be considered as three dimensional motion; Support after the plane of the sport can be considered as four dimensional motion.Use of multidimensional system function relations, the relationship between impulse, give a sprint movement and elastic, double stretching, free rigid body model related to a variety of mechanical micro yuan, decompose complex sprint movement, quantitative biology, breakthrough with law of particles and rigid body mechanics analysis current sprint movement mode of thinking.Find a way to reveal sprint movement law of mechanics.

Sprint mechanics model; Multidimensional planar motion; The function of the multidimensional system relationship; Double stretching in model

G80

A

2095-2813(2017)04(b)-0228-06

10.16655/j.cnki.2095-2813.2017.11.228

董俊道(1937,9—)，男，汉，辽宁辽中人,本科,副教授,研究方向:走与跑地基本力学规律。