徐永钊，刘敏霞，张　耿，叶　海

(东莞理工学院 电子工程学院，广东 东莞　523808)



色散平坦渐减光纤中非线性啁啾脉冲的传输及超连续谱的产生

徐永钊，刘敏霞*，张耿，叶海

(东莞理工学院 电子工程学院，广东 东莞523808)

基于非线性薛定谔方程，数值研究了色散平坦渐减光纤中非线性啁啾脉冲的传输及超连续谱的产生。研究结果表明，初始啁啾对脉冲传输及超连续谱产生的影响与泵浦条件和光纤参量的选取有很大关系。当色散平坦渐减光纤具有小的归一化二次色散系数时，适当的正啁啾能显著增强超连续谱的带宽，而负啁啾和太大的正啁啾抑制超连续谱的带宽。能增强超连续谱带宽的正啁啾有一个较宽的范围，但随着输入脉冲孤子阶数的降低，该范围将变窄。当色散平坦渐减光纤具有大的归一化二次色散系数同时输入脉冲为低阶孤子时，初始啁啾对超连续谱带宽的增强效果不明显，初始啁啾接近为0时可产生最宽的超连续谱。

非线性光学；超连续谱；色散平坦渐减光纤

*Corresponding Author,E-mail:289882555@qq.com

1　引　　言

超连续谱在光通信、光谱学、显微镜及生物医学等许多领域都有重要应用，利用非线性光纤产生超连续谱的研究受到人们广泛的关注。目前，许多种类的光纤已经被成功用于超连续谱的产生，例如高非线性石英光纤[1-2]、软玻璃光纤[3-4]、光子晶体光纤[5-7]、色散平坦渐减光纤和色散渐减光纤[8-10]等。超连续谱在这些光纤中产生的机理研究已有很多报道，输入脉冲的参数如脉冲宽度、峰值功率、脉冲能量和中心波长等对超连续谱的影响已被广泛地研究。众所周知，激光器输出的脉冲经常具有啁啾，啁啾作为脉冲的一个重要参量，对超连续的产生具有显著的影响。在光子晶体光纤中，人们对初始啁啾对超连续谱的影响开展了很多数值仿真和实验研究，并得到了有价值的结论[11-14]。在色散渐减光纤和色散平坦渐减光纤中也已有相关的文献报道，文献[15]讨论了在色散渐减光纤中，初始啁啾对超连续谱的影响，发现当初始啁啾接近0时可产生最宽的超连续谱；初始啁啾不管是正啁啾还是负啁啾，超连续谱的带宽都将减少。文献[16]研究了在色散平坦渐减光纤中，初始啁啾对超连续谱的影响，结果显示适当的正啁啾可以显著增强超连续谱的产生。尽管超连续谱在色散平坦渐减光纤与在色散渐减光纤中产生的机理是类似的，但文献[16]与文献[15]的结果却截然不同。实际上，在色散平坦渐减光纤和色散渐减光纤中，初始啁啾对超连续谱的影响与泵浦条件和光纤参量的选择有很大关系，但以往的文献并没有揭示它们之间的关系。

本文数值研究了在色散平坦渐减光纤中，初始啁啾对非线性脉冲传输及超连续谱产生的影响。研究发现，初始啁啾对非线性脉冲传输和超连续谱产生的影响与泵浦条件和光纤参量的选取有很大关系，当泵浦条件和光纤参量不同，初始啁啾对脉冲传输及超连续谱的影响将遵循不同的模式。本文定义了三个归一化参量描述泵浦条件和光纤参量，揭示了在色散平坦渐减光纤中，初始啁啾对超连续谱的影响与泵浦条件和光纤参量之间的规律。

2　理论模型

本文引入一个理想的色散曲线D(λ,z)来表示色散平坦渐减光纤的色散，即

(1)

其中D0是光纤输入端的色散值D(λ0,0)。L0是光纤的有效长度，即经过该传输距离后光纤的色散D(λ0,z)变为负值(正常色散)。D2是色散曲线的二次色散系数。在本文中，假设泵浦波长λp=λ0=1 550 nm。

光脉冲在光纤中的传输采用非线性薛定谔方程描述，在以群速度为参照的坐标系中，非线性薛定谔方程的归一化形式可表示如下[17]：

(2)

其中U(ξ,τ)为光场振幅，并做了归一化，即U(0,0)=1。其他变量分别定义为：

(3)

(4)

其中T0为1/e强度处脉冲半宽度，对于双曲正割脉冲，T0与脉冲的半高全宽(TFWHM)的关系为TFWHM≈1.763T0。vg为群速度，γ为非线性系数，P0为输入脉冲的峰值功率，LNL=1/(γP0)为非线性长度，βm为m阶色散系数,s=(ω0T0)-1为在角频率ω0处的自陡参数，τR为拉曼散射参数。

参照文献[7]中方法，可以得到3个无量纲的归一化参量用来描述产生超连续谱的条件，分别是：

(5)

参量Δ0与孤子阶数N平方的倒数一致，孤子阶数N定义为

(6)

参量Δ2与实际参量D2对应，定义为归一化二次色散系数。参量ξ0与实际参量L0对应，定义为光纤的归一化有效长度。我们预计，在不考虑啁啾的情况下，色散平坦渐减光纤中产生的超连续谱，由N、Δ2和ξ0这3个归一化参量决定。

假设输入的啁啾脉冲为双曲正割波形，其形式可表达为：

(7)

其中C为线性啁啾参量。

3　数值模拟与结果分析

3.1C=0，归一化参量N、Δ2、ξ0保持不变时的超连续谱

首先验证当C=0时，超连续谱的形状由归一化参量N、Δ2和ξ0决定。对于给定的N和Δ2，要产生平坦展宽的超连续谱，ξ0存在一个最小值(临界值)，只有当ξ0大于该临界值时，才能产生平坦展宽的超连续谱。设N=2，Δ2=-2.0×10-6，经计算ξ0的临界值为ξ0min≈3.50。

图1给出了当N、Δ2和ξ0保持不变时，色散平坦渐减光纤所产生的超连续谱。这些光谱均在光纤的归一化长度ξ=1.2ξ0处得到(对应于光纤的实际长度z=1.2L0处)，计算中忽略了光纤

的衰减和拉曼散射效应的影响。图1(a)和(b)为输入脉冲宽度TFWHM=4 ps、峰值功率不同时的得到的超连续谱。其中图1(a)的参数为：γP0=9.90 km-1，D0=10 ps·km·nm-1，D2=-2.5×10-4ps·km·nm-3，L0=0.354 km。图1(b)的参数为：γP0=19.80 km-1，D0=20 ps·km·nm-1，D2=-5.0×10-4ps·km·nm-3，L0=0.177 km。由图可见，尽管脉冲和光纤的实际参数完全不同，但图1(a)和(b)中的超连续谱完全相同，光谱的-27 dB带宽为251 nm。图1(c)为输入脉冲宽度TFWHM=2 ps时的光谱图，其他参数分别为γP0=19.80 km-1,D0=5 ps·km·nm-1,D2=-3.1×10-5ps·km·nm-3，L0=0.177 km。光谱的-27 dB带宽为502 nm。与图1(a)、(b)的光谱相比，图1(c)的光谱更宽，但光谱的形状是相同的。因此，在无啁啾的情况下，尽管输入脉冲和光纤的实际参量不同，但只要归一化参量N、Δ2和ξ0相同，所产生的光谱就具有相同的形状，脉冲越窄则产生的光谱越宽。

图1归一化参量Δ2=-2.0×10-6，N=2，ξ0=ξ0min=3.50时，色散平坦渐减光纤中产生的超连续谱。(a) TFWHM=4 ps,γP0=9.90 km-1,D0=10 ps·km·nm-1,D2=-2.5×10-4ps·km·nm-3，L0=0.354 km.(b) TFWHM=4 ps,γP0=19.80 km-1,D0=20 ps·km·nm-1,D2=-5.0×10-4ps·km·nm-3，L0=0.177 km.(c)TFWHM=2 ps,γP0=19.80 km-1，D0=5 ps·km·nm-1，D2=-3.1×10-5ps·km·nm-3，L0=0.177 km。

Fig.1SC spectra generated from DFDFs with the normalized parameters of Δ2=-2.0×10-6,N=2 and ξ0=ξ0min=3.50.(a) TFWHM=4 ps,γP0=9.90 km-1,D0=10 ps·km·nm-1,D2=-2.5×10-4ps·km·nm-3and L0=0.354 km.(b) TFWHM=4 ps,γP0=19.80 km-1,D0=20 ps·km·nm-1,D2=-5.0×10-4ps·km·nm-3and L0=0.177 km.(c) TFWHM=2 ps,γP0=19.80 km-1,D0=5 ps·km·nm-1,D2=-3.1×10-5ps·km·nm-3and L0=0.177 km.

3.2Δ2值较小时，初始啁啾对超连续谱的影响

首先考虑当Δ2值较小时，初始啁啾对超连续谱产生的影响。由公式(1)和公式(5)可知，对于相同的泵浦脉冲，Δ2值越小，色散平坦渐减光纤的色散曲线就越平坦。设Δ2=-2.0×10-6，其他参量N、ξ0、TFWHM分别设为2，3.50，4 ps。为了观察初始啁啾的影响，我们保持Δ2、N、ξ0参量不变，仅改变啁啾参量C，然后观察脉冲在光纤中的演化和输出光谱的情况。

图2(a)所示为超连续谱的-27 dB带宽与啁啾参量C的关系曲线。由图可见，适当的正啁啾可以增强超连续谱的带宽，而且能增强超连续谱带宽的正啁啾有一个较宽的取值范围。然而，负啁啾或太大的正啁啾都抑制超连续谱的产生。图中曲线清晰显示，随着负啁啾的增大，光谱的带宽急剧减小。另外，当正啁啾超过一定的临界值时，

图2初始啁啾对超连续谱的影响。4个典型的啁啾值C=-0.5，0，0.5，2.5分别标记为a、b、c、d。Δ2、N、ξ0、TFWHM保持不变，并分别为-2.0×10-6，2，3.50，4 ps。(a)超连续谱带宽与啁啾参量C的关系曲线；(b)啁啾参量分别取4个典型的啁啾值时产生的超连续谱；(c)啁啾参量分别取4个典型的啁啾值时，脉冲宽度的演化；(d)啁啾参量分别取4个典型的啁啾值时，脉冲峰值功率的演化。随着正啁啾的增大，光谱的带宽也急剧减小。因此，当输入脉冲具有太大的负啁啾或正啁啾，均不能产生超连续谱。

Fig.2Effect of chirp on SC.Four typical chirps C=-0.5,0,0.5 and 2.5 are labeled respectively as a,b,c and d.Δ2,N,ξ0and TFWHM are constant at -2.0×10-6,2,3.50 and 4 ps,respectively.(a) Dependence of SC bandwidth on chirp parameter C.(b) Generated spectra for four typical chirps.(c) Evolutions of pulse duration for four typical chirps.(d) Evolutions of pulse peak power for four typical chirps.

我们选取C=-0.5，0，0.5，2.5的4个典型值(在图2(a)中分别标记为a、b、c、d点)，计算了对应的输出光谱、脉冲宽度的演化和脉冲峰值功率的演化，结果分别如图2(b)～(d)所示。

由图可见，当C=0时，随着脉冲在光纤中的传输，宽度TFWHM不断减小，同时峰值功率不断增大。当传输距离接近ξ0时，脉冲被极大地压缩，与此同时峰值功率显著增大。高峰值功率产生很强的非线性效应，从而导致宽带超连续谱的产生。脉冲传输距离超过ξ0后，由于正常色散的影响，脉冲迅速展宽，峰值功率急剧下降。

当C=-0.5时，脉冲宽度在初始传输阶段略有展宽，之后随传输距离的增加，脉冲宽度不断减小，相应的峰值功率不断增加。在传输距离ξ0附近，脉冲宽度减小到其最小值(～0.50 ps)，但脉冲的压缩程度小于C=0时的情形，相应的峰值功率的增加很小，还没超过输入峰值功率的4倍。由于峰值功率太低，不足以产生超连续谱。脉冲的这种演化情形，其原因在于在光纤的反常色散区(ξ<ξ0,D>0)，色散导致的啁啾为负啁啾，初始负啁啾与色散导致的负啁啾叠加后使得脉冲的净负啁啾增强，而脉冲自相位调制效应(SPM)导致正啁啾。在脉冲的初始传输阶段，色散较大而SPM效应较弱(脉冲峰值功率较低)，净负啁啾与SPM导致的正啁啾相抵消，使得SPM效应受到削弱，因此脉冲一开始传输时稍有展宽。随着传输距离的增加，色散逐渐减小，SPM效应相对逐渐增强，孤子压缩效应导致脉冲被不断压缩。但由于脉冲最终的压缩效果未能产生较高的峰值功率，未达到产生超连续谱的条件。

我们注意到，当C =-0.5时，在相同的传输距离处，其脉冲宽度一直大于C=0时的情形。相反，当C=0.5时，在传输距离ξ0之前，其脉冲宽度一直小于C=0时的情形，与此对应的脉冲峰值功率也一直高于C=0时的情形，因此也就产生了更宽的超连续谱。在这种情形，正的初始啁啾补偿了反常色散导致的负啁啾，并与SPM导致的正啁啾叠加，增强了脉冲压缩的效果，获得了更高的峰值功率，从而增强超连续谱的产生。

当C=2.5时，脉冲具有较大的正初始啁啾，此时脉冲的演化呈现截然不同的方式。如图2(c)所示，在初始阶段，脉冲的压缩速度比其他几种情形都快。在ξ≈1.6处，脉冲已被压缩到一个极小值(～0.4 ps)，随后脉冲宽度迅速展宽，但后来脉冲再次被压缩，并最终被压缩到其最小值。相应的峰值功率随传输距离的变化也反映了相同的现象。脉冲的这种演化行为，可以从另一方面来理解：就算没有SPM效应，在光纤的反常色散区，正的初始啁啾也可以导致脉冲在初始传输阶段产生压缩，而负的初始啁啾则相反。在脉冲的初始传输阶段，大的正初始啁啾与SPM效应一起，在反常色散的作用下，使得脉冲迅速被压缩，同时脉冲峰值功率迅速增加。随着脉冲峰值功率的增加，SPM效应越来越强，当脉冲被压缩到较窄时，SPM效应导致很大的频率啁啾施加在脉冲上。由于此时SPM效应还没完全占据主要地位，色散效应使得脉冲迅速展宽。随着脉冲继续传输，色散不断减小，SPM效应逐渐占据主要地位，因此脉冲停止展宽，并再次被压缩。但最终的压缩脉冲其峰值功率太低，不能满足产生超连续谱的要求。因此，太大的正初始啁啾，抑制超连续谱的产生。可以预料，存在一个最优的正初始啁啾，可以使脉冲压缩到最大程度，但同时避免在压缩过程中发生展宽，这可由图2(a)得到证实。由图可见，当C≈1.2时，超连续谱可以获得最大的带宽。

保持Δ2值不变，我们数值仿真了不同输入孤子阶数N时，初始啁啾对超连续谱产生的影响。对于不同的N，要产生平坦展宽的超连续谱，相应ξ0的最小值ξ0min是不同的。图3为计算得到的ξ0的最小值ξ0min与N的关系曲线。图中的曲线给出了要产生类似于图1所示的平坦展宽的超连续谱所需要的条件。对于选定的N，若ξ0在相应的ξ0min附近选取则均可以产生平坦展宽的超连续谱。图3清楚地显示，ξ0min随着N的减小而增大。对于一个孤子阶数较低的脉冲，要产生平坦展宽的超连续谱则ξ0min将非常大。

图3　计算得到的ξ0的最小值与输入孤子阶数N的关系

Fig.3Calculated minimum value of ξ0as a function of input soliton order N

图4为N=2，1.8，1.5，1.2，1.0等5个典型值时，输出光谱的带宽与初始啁啾的关系曲线。对于每一个N值，我们从图3中的曲线选取与其对应的ξ0值。由图4可见，当N<2时，适当的正啁啾仍然可以显著增强超连续谱的带宽，但该正啁啾的范围随N值的减小而变窄。对于每一个N值，均存在一个最优的正啁啾，可以产生最宽的超连续谱。

图4输入孤子阶数N=2，1.8，1.5，1.2，1.0等5个典型值时，超连续谱带宽与啁啾参量C的关系曲线。Δ2=-2.0×10-6。

Fig.4SC bandwidth as a function of chirp parameter C for five typical input soliton order of N=2,1.8,1.5,1.2,1.0.Δ2=-2.0×10-6.

3.3Δ2值较大时，初始啁啾对超连续谱的影响

现在考虑当Δ2值较大时的情形。令Δ2增大为原来的50倍，即选取Δ2=1.0×10-4，其他参数的选取与图4中的一致。图5为N=2，1.8，1.5，1.2，1.0等5个典型值时，输出光谱的带宽与初始啁啾的关系曲线。由图可见，尽管Δ2值较大，但仍然可以产生超连续谱，但其最大带宽明显减小，对于所有的N值，超连续谱的最大带宽均小于100 nm。然而在图4中，当Δ2值较小时，对于所有N值，超连续谱的最大带宽均超过330 nm。超连续谱在色散平坦渐减光纤中展宽的主要机理是基于脉冲压缩导致的强非线性效应与色散效应的相互作用。超连续的形成主要分为两个阶段：第一个阶段，脉冲在光纤中传输时，随着光纤色散逐渐减小，脉冲被逐渐压缩。当传输距离接近ξ0(实际传输距离接近L0)时，脉冲被极大地压缩并达到很高的峰值功率，脉冲的非线性效应(主要是SPM效应)导致光谱迅速展宽。第二个阶段，当传输距离超过ξ0后，色散曲线已全部进入正常色散区，脉冲将迅速展宽。在此过程中在色散和交叉相位调制效应的共同作用下，超连续谱的平坦性得到改善，但光谱在该阶段的展宽很小。最终超连续谱的宽度主要取决于当传输距离接近ξ0时光谱的展宽程度。图6所示为Δ2值较大时，光纤的色散曲线随光纤长度的变化。对于相同的泵浦脉冲，Δ2值越大，色散平坦渐减光纤的色散曲线就越弯曲，在相同光纤长度处，两个零色散波长越靠近。对于较大的Δ2值，当归一化传输距离接近0时，两个零色散波长之间的距离很小，大部分色散曲线早已进入正常色散区(两个零色散波长之外的区域)，从而限制了超连续谱在反常色散区的展宽程度。

图5输入孤子阶数N=2，1.8，1.5，1.2，1.0等5个典型值时，超连续谱带宽与啁啾参量C的关系曲线。Δ2=1.0×10-4。

Fig.5SC bandwidth as a function of chirp parameter C for five typical input soliton order of N=2,1.8,1.5,1.2,1.0.Δ2=1.0×10-4.

图6　当Δ2值较大时，色散平坦渐减光纤的色散曲线。

由图5可以看到，当N值较大时(N>1.2)，输出光谱带宽随初始啁啾的变化关系类似于图4中的情形，即适当的正啁啾依然可以显著增强超连续谱的带宽，但该正啁啾的范围随N值的减小而变窄。但当N值较小时(N<1.2)，正啁啾对超连续谱带宽增强的效果不明显，负啁啾或稍微大一些的正啁啾都将抑制超连续谱的带宽。因此，对于Δ2值较大且输入脉冲为低阶孤子的情形，初始啁啾接近ξ0时可产生最宽的超连续谱。

将上述的结果与文献[15]和文献[16]的结果相比较，可以发现文献[15]仅考虑光纤具有大的色散斜率，同时泵浦脉冲为低阶孤子的情形；而文献[16]则仅考虑光纤具有平坦的色散曲线(具有小的Δ2值)，同时泵浦脉冲为高阶孤子的情形。

需要指出的是，在无初始啁啾时，若超连续谱不能充分展宽，施加适当的正初始啁啾总能增强超连续谱的产生。初始啁啾作为一个重要的参量，与其他参量一起，可以用于控制超连续谱的产生，以获得令人满意的超连续谱。

4　结　　论

数值研究了非线性啁啾脉冲在色散平坦渐减光纤中的传输及超连续谱的产生。仿真结果表明，初始啁啾对非线性脉冲的传输和超连续谱的产生有重要影响，该影响与泵浦条件和光纤参量的选取有很大关系。泵浦条件和光纤参量可用输入孤子阶数N、归一化二次色散系数Δ2和光纤的归一化有效长度ξ0等3个归一化参量描述。对于给定的N和Δ2值，为产生平坦展宽的超连续谱，ξ0存在一个最小值ξ0min。ξ0在ξ0min附近取值，当色散平坦渐减光纤具有小的Δ2值时，适当的正初始啁啾能显著增强超连续谱的带宽，能增强超连续谱带宽的正初始啁啾有一个较宽的范围，但随着N的降低，该范围将变窄。负啁啾或太大的正啁啾抑制超连续谱的产生。当色散平坦渐减光纤具有大的Δ2值同时泵浦脉冲为低阶孤子时，初始啁啾对超连续谱产生的增强效果不明显，负啁啾或稍微大一些的正啁啾都将抑制超连续谱的带宽；初始啁啾接近0时，可产生最宽的超连续谱。此外，大的Δ2值会抑制超连续谱的带宽。因此，为了产生宽带的超连续谱，色散平坦渐减光纤的Δ2值越小越好。

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徐永钊(1972-)，男，广东广州人，博士，副教授，2007年于北京邮电大学获得博士学位，主要从事光纤通信技术、非线性光纤光学的研究。

E-mail：yongzhaoxu@126.com

刘敏霞(1979-)，女，河北石家庄人，博士，副教授，2007年于北京大学获得博士学位，主要从事光电材料、非线性光学的研究。

E-mail：liumxdgut@qq.com

Nonlinear Chirped-pulse Propagation and Supercontinuum Generation in Dispersion-flattened Dispersion-decreasing Fibers

XU Yong-zhao，LIU Min-xia*，ZHANG Geng，YE Hai

(School of Electronic Engineering,Dongguan University of Technology,Dongguan 523808,China)

Based on the generalized nonlinear Schrödinger equation,nonlinear chirped-pulse propagation and supercontinuan (SC) generation in dispersion-flattened dispersion-decreasing fibers (DFDFs) were investigated numerically.The simulation results indicate that the effect of initial chirp parameter on pulse propagation and SC generation is highly related to the choices of pumping conditions and fiber parameters.When DFDF has small normalized quadratic dispersion coefficient,proper positive chirps can significantly enhance the SC bandwidth,while negative chirps or too large positive chirps suppresses the SC bandwidth.There is a wide range of positive chirps that can enhance the SC bandwidth,but the range of proper positive chirps become narrower as input soliton order decreases; When DFDF has large normalized quadratic dispersion coefficient and the pump pulse is a lower-order soliton,the enhancement of SC bandwidth by initial chirp parameter is insignificant,and the widest SC spectrum is generated when the initial chirp is close to zero.

nonlinear optics; supercontinuum; dispersion-flattened dispersion-decreasing fiber

1000-7032(2016)04-0439-07

2015-12-15；

2016-01-18

国家自然科学基金 (61501118)；广东省自然科学基金 (2014A030310262)资助项目

TN929．11

A

10.3788/fgxb20163704.0439