谈谈这道“合情推理”高考题

2011-08-27442001湖北省十堰市东风高中甘志国

中学数学杂志 2011年15期

442001 湖北省十堰市东风高中甘志国

1 这道“合情推理”高考题是考查探究能力的好题

“合情推理”(包括归纳与类比)是普通高中课程标准实验教科书(俗称新课标教材)《数学·选修1－2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)(文科使用)及《数学·选修2－2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)(下简称《选修2－2》)(理科使用)中的内容，下面以2010年高考福建卷文科第16题来谈谈“合情推理”高考题的答题技巧及师生在复习备考时要注意的问题.

高考题 (2010年福建文16)观察下列等式：

可以推测，m－n+p = ______.

解 962.

易观察得m=29=512，下面再来求p和n：可设

因为当 k=1，2，3，4 时，分别有 a1=2=2 ×12，－8=－2×22，18=2×32，－32= －2×42，所以可猜测当 k=5时a2=2×52=50，即 p=50.

当 k=1，2，3，4 时，分别有 a2=0，8，－48，160，由此难以猜测出当k=5时a2=?我们再想别的办法来求n：在题中第(5)个式子令α=0，得

解得 n= －400，p=50.

文献［1］说，据福建省普教室抽样统计知，本题平均分为0.02，难度系数为0.005.为什么本题的解答情况会如此之差呢?笔者认为不是本题有多难，而是老师在指导复习备考时出现了严重偏差：没有教会学生审题，导致学生只会盲目做题，结果是对多次做过的题型能熟练做(只是“熟练做”而已，至于收效往往“甚微”)，对做得少或没做过的题型就乱做一气，反正都能不管对错的做得很快，且绝大部分学生对自己的解答不敢断定对错(除非对照标答后)，所以就养成了只管快做题不管对错也不总结的习惯.针对此，笔者提出、疾呼过“数学教学更需要‘慢教育’”、“解数学题要注重‘思、探、练、变、提’的过程”、“数学教学要注意有效性原则和可接受性原则”、“应关注数学特困生的成长”、“反对题海战术”、“应对高考需要研究性备考”等观点(分别见文献［2］－［7］)，若师生在复习备考时注重了它们，即使少做点题，效果也会好得多.正如文献［8］末所说的：是的，数学教学基本上就是解题教学，但绝不是陷入茫茫题海之中而难以自拔.盲目地解十道题与把一道题探究两、三次效果是不一样的，师生的收获、幸福指数也差别很大.

文献［1］还说，该题的确思维能力要求太高，难度太大，作为一道文科的填空题是否合适，很值得商榷.笔者认为，该题是专家精心编制的一道好题(著名数学高考专家张饴慈教授也在文献［9］中说该题注重了学习、探究能力的考查)，不要因为解答情况极差就说题目太难，确实是在复习备考时出现了差错.并且像这样的例子还有，比如文献［10］就有以下论述：

首都北京2010年的高考卷是北京第一年的新课改高考卷，对全国即将参加新课改地区的高考将起着风向标的作用.据知情者透露，此份试卷看似不难，且命题者很好地体现了新课改的精神，但考生的得分情况却很差(均分比2009年低了近10分).我们来看看理科解答题的第一题(即第15题)：

已知函数f(x)=2cos2x+sin2x－4cosx.

(2)求f(x)的最大值和最小值.

不少考生对第(1)问就花了很长时间却做不出，原因是他们在按照“先化简，再求值”及“遇到三角函数时先要把它化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式”的思维定势(因为平时见到的题都是这样的)去化简题中的函数式.

对于第(1)问，直接代入求解，不是最好的方法么?第(2)问是化不成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式的，但可以化成二次函数的形式f(x)=3 cos2x－4cosx－1后再用换元法求解，也可用导数求解呀，这些都是常规方法、通性通法呀!