在2024年北京大学强基计划笔试数学试题中有一道要求，考查熟练掌握三角公式，尤其是不太常用的三倍角公式，应该引起备考者关注.

1 试题呈现

题目 求 sin³6^∘-sin³114^∘+sin³126^∘ 的值.

2 解法探究

解法1（代数运算强攻）由题设 sin³6^∘ 1 （204号 4sin³6^∘ .又由 3sinα-4sin³α 得 sin³6^∘-sin³114^∘+sin³126^∘=

再由 sin36^∘=cos54^∘ ，得 2sin18^∘cos18^∘=

cos36^∘cos18^∘-sin36^∘sin18^∘=4cos³18^∘-3cos18^∘ 则 2sin18^∘=4cos²18^∘-3=1-4sin²18^∘ ，即 4sin²18°+2sin18°-1 =0，解得 sin18°=√5-1.

解法2（几何助力破局）由 sin3α= 3sinα- 4sin³α 得 4sin³α= 3sinα-sin3α. 则 4（sin³6°- sin³114^∘+sin³126^∘）=4（sin³6^∘-sin³66^∘+ + 3sin54°-sin162°=3（sin6°-sin18°+sin54°- sin（60°+6°）]=-3sin18°.

如图1，构造两个底角为72^∘ ，顶角为 36^∘ 的等腰ΔABC （也称黄金三角形），以BC 为腰在 ΔABC 内构造与ΔABC 相似的 ΔBCM. 设 AB= m，BC=n ，则 AC=m，BM= n，AM=n，MC=m-n ，由相似关系知 即 于是

图1

0，解得m=√5+1 因此 5-1，故sin²6-sin114°+ sin²126 sin18°

解法3（换元合理引入）设 -sin114°，c=sin126° ，则 a+b+c=sin6^∘- sin（120^∘-6^∘）+sin（120^∘+6^∘）=0.

于是 a³+b³+c³=（a+b+c）（a²+b²+c²- ab-ac-bc）+3abc=3abc=-3sin6°sin（120°- ： 又sinasi

4sin18°令x = sin18°∈（0，1），由sin18。=cos72^∘=2cos²36^∘-1=2（1-2sin²18^∘）²-1 ，有（204号 x=2（1-2x²）²-1 ，即 8x⁴-8x²-x+1=0 ，分解因式 （x-1）（2x+1）（4x²+2x-1）=0 ，解得 x=

解法4（构造三次方程）由 sin3α= 3sinα- 4sin³α 得 ，又 sin18^∘= ，构造三次方 程 4x³-3x+sin18^∘=0 ，则 x₁=sin6^∘，x₂= （20号 -sin114°，x₃=sin126° 为其三个不相等实根，于是 有 ，故 sin³6^∘-sin³114^∘+sin³126^∘=x₁³+ x₂³+x₃³=（x₁+x₂+x₃）（x₁²+x₂²+x₃²-x₁x₂-x₁x₃

由 sin90^∘=sin（54^∘+36^∘）=sin54^∘cos36^∘+ cos54°sin36°= 16sin⁵18°-20sin³18°+5sin18°= 1，令 x=sin18^∘∈（0，1） ，则有 16x⁵-20x³+5x-1 =（x-1）（16x⁴+16x³-4x²-4x+1）=0 又 16x⁴ +16x³-4x²-4x+1=16x⁴+16x³+4x²-8x²-4x +1=（2x）²（2x+1）²-2（2x）（2x+1）+1=0， 即 （20 （4x²+2x-1）²=0 ，解得 ，故 sin³6^∘-

评注“想清楚再动手”不是空话.一般高质量试题中的条件、结论都有较精细的设计，以此考查思维的灵活性、创新性和批判性，只要方向选择得当，往往可以建立起快速的解题路径.

3背景探究

事实上，这道题其实是由以下一般结论和求sin18^∘ 的值组合而成

结论

证明 由 sin3α=3sinα-4sin³α 得 sin³α= ，则

4进一步思考

除此之外还可以推导出类似结论：

根据三角学发展的历史逻辑，三角学首先是几何的，然后才是函数与代数的．通过剖析试题，要学会从不同视角灵活处理遇到的三角问题，以此构建知识体系、提升思维能力、发展核心素养.