在解决一些数学问题时，合理探究问题的内涵与实质，可以给问题的解决提供更加丰富的数学解题思路，以及解题的技巧方法；还可以深入挖掘数学问题的结论，给问题的变式与拓展开拓更加宽广的空间.这也是高中数学解题教学与学习中，师生所追求的良好习惯与优良品质.

1问题呈现

问题（2024年广东省深圳市高三调研考试数学试卷第14题）已知函数 x₂）（x-x₃） 0 （agt;0） ，设曲线 y=f（x） 在点 （x_i f（x_i）） 处切线的斜率为 k_i（i=1，2，3） ，若 x₁，x₂ x₃ 均不相等，且 k₂=-2 ，则 k₁+4k₃ 的最小值为

分析：该题以含参的三次函数为问题场景，利用三次函数所对应的曲线与 x 轴的三个交点处切线的斜率，结合其中一个负斜率值，进而确定另外两个斜率所对应的双变元代数式的最值.问题巧妙将函数、函数与导数、直线与斜率、多变元代数式的最值以及不等式等相关知识加以合理融合与交汇.

该题依托函数与导数的应用、导数的几何意义、代数式的变形与转化、基本不等式等相关知识，对于代数式的变形与转化中的数学抽象、逻辑推理与数学运算等核心素养要求比较高，具有较好的试题选拔性与区分度，

2问题破解

方法1：直接法.

解析：依题知

（x-x₁）（x-x₃）+（x-x₂）（x-x₃）] ，利用导数的几何意义有 k₁=f^′（x₁）=a（x₁-x₂）（x₁-x₃） ，

，由于 agt;0 则知 （x₂-

，当且仅当 即 x₂-x₁=2（x₃-x₂） 时等号成立.因此， k₁+4k₃ 的最小值为18，故填答案18.

方法2：转化法

解析：依题知 （x-x₁）（x-x₃）+（x-x₂）（x-x₃）] ，利用导数的几何意义有 k₁=f^′（x₁）=a（x₁-x₂）（x₁-x₃） . a（x₃-x₁）（x₃-x₂） （20

，结合 k₂=-2 ，可得 0

结合三次函数的图象与性质以及 k₂=-2 ，可知k₁gt;0，k₃gt;0 ，利用基本不等式，则有 k₁+4k₃= · ，当且仅当 ，即 k₁= 2k₃=6 ，亦即 x₂-x₁=2（x₃-x₂） 时等号成立.因此， k₁+4k₃ 的最小值为18，故填答案18.

方法3：换元……