历年的高中数学联合竞赛试题，用于竞赛选拔的同时，也是高考命题的一个重要来源.特别是一些涉及高中主干知识点考查与应用的竞赛试题中，还可以作为高考模拟题来拓展与研究，实现高中数学知识的应用与数学思维能力的拓展，这成为高考数学解题研究中的一个重要阵地，一直备受各方关注

1问题呈现

问题[2024年高中数学联合竞赛（一试）试题第7题设 F₁，F₂ 为椭圆 的焦点，在 上取一点 P （异于长轴端点），记 O 为 ΔPF₁F₂ 的外心，若 ，则 的离心率的最小值为

分析：此题难度中等，是一道基于椭圆及其应用的问题场景，需要借助椭圆上的一个动点，结合焦点三角形的设置，利用平面几何中三角形的外心及其性质，融合平面向量的数量积加以综合，进而确定对应椭圆的离心率的最值.

该问题作为竞赛试题并不是很难，可以作为高考模拟题来拓展，关键在于合理的数学思维切入、巧妙的技巧方法应用.在竞赛中，可以借助不等式思维来切入与应用；在高考模拟中，可以借助方程思维或参数方程思维等来切入与应用，这都是突破与应用的关键所在.

2问题破解

2.1不等式思维方法1（柯西不等式法）

取 F₁F₂ 的中点 M ，结合 ΔPF₁F₂ 外心的几何性质，有 ，故

记 ∣PF₁∣=u，∣PF₂∣=v，∣F₁F₂∣=d ，则 · . （20

又 v²-d² ，故由条件知 ，即

由柯西不等式可知， ·

，当且仅当 9u²=v² 即 时等号成立，所以 的离心率

4，当u：：d=1：3：√6时，Ω的离心率e取到最小值 ，故填答案 A

点评：不等式思维是处理解析几何中相关要素的最值（或取值范围）等问题中，比较常用的一种解题方……