王 豪，刘银山，秦克云

（西南交通大学数学学院,四川 成都 611756）

粗糙集理论（Rough Sets）是波兰学者 Pawlak[1-2]于1982 年提出的一种处理不确定性知识的数学工具。作为一种处理不确定性问题的数学工具，粗糙集理论将知识理解为区分对象的能力，形式化的知识是对论域的划分，通过论域上的等价关系表示。不确定性概念借助相应的等价类构造近似算子进行逼近。目前，粗糙集理论已经在知识与数据发现、模式识别与分类、知识推理、不确定性决策等领域取得了成功的应用[3-7]。Pawlak 粗糙集模型中，等价关系起着至关重要的作用，但是在许多实际问题中，论域的二元关系不是等价的。从更广义的角度出发，Yao[3]将Pawlak 粗糙集模型拓展为一般二元关系的粗糙集模型。Song 等[4]刻画了基于L-模糊广义邻域系统和基于L-模糊关系的粗糙集的格结构。一般二元关系是L-模糊关系的特例，所以也具有格结构。宋巧玲等[5]给出了基于一般二元关系的格结构和悲观多粒度近似算子的格结构，证明了给定论域上所有的基于一般二元关系的上（下）近似算子构成完备格。完备格满足一定条件后成为剩余格，剩余格既具有代数结构又具有序结构，成为多个数学分支的研究课题。陈子春等[6]证明了在适当选取蕴涵算子及剩余算子之后，粗糙集代数成为剩余格。乔全喜等[7]证明了在适当选取蕴涵算子之后，粗糙集代数成为布尔代数。笔者将对基于一般二元关系的近似算子的完备格结构进行进一步的刻画，刻画格结构上下确界的代数表示，并且将证明在适当选取蕴涵算子之后，基于一般二元关系的粗糙近似算子构成MV、R0 与布尔代数。

1 预备知识

本节本文给出一些关于Pawlak 粗糙集模型、多粒度粗糙近似算子和剩余格的概念。

定义1[2]设U是一个非空集合，R是U上的等价关系，且X⊆U，则称(U,R)为Pawlak 近似空间，并分别称为X的R-上近似和X的R-下近似。如果则称是一个关于R的Pawlak 粗糙集，而映射分别被称作下近似算子和上近似算子,其中 2U表示U的幂集。

命题1[2]设R是非空集合U上的等价关系，则∀X,Y⊆U，有：

引理1[8]设R和Q是U上的两个等价关系，则下列结论等价：

下面给出一般二元关系下悲观和乐观多粒度粗糙集模型的概念。

以下U表示论域，R1,R2,···,Rm表示论域U上的一族二元关系，∀x∈U,∀i=1,2,···,m，假设Ri(x)={y∈U:(x,y)∈Ri}。

定义2[9]1）∀X⊆U，X的悲观多粒度下近似集合与上近似集合分别定义为：

一般情况下，当R1,R2,···,Rm中存在不自反的二元关系时，乐观多粒度上近似集合和下近似集合有可能不满足上下近似集合的包含关系。

引理2[9]令U为论域，R1,R2,···,Rm为论域上的一族二元关系，∀X⊆U，有

其中，sinX表示集合X的补集。

定义3[10 -11]设 (L,∨,∧,0,1)是一个有界格，其中 0和 1分别是它的最小元与最大元。如果L上还有两个运算 ⊗ 和 →，且满足：

1) (L,⊗,1)是以1为单位的交换半群；

2) (⊗,→)是伴随对，即a⊗b≤c当且仅当a≤b→c，∀a,b,c∈L；

则称 (L,∨,∧,⊗,→,0,1)是一个剩余格。

定义4[10,12-15]设 (L,∨,∧,⊗,→,0,1)是一个剩余格，若L满足条件

则称 (L,∨,∧,⊗,→,0,1)为MTL 代数。一个MTL 代数若还满足条件 (a→0)→0=a,∀a∈L。则称其为IMTL 代数。一个MTL 代数若还满足条件a∧b=a⊗(a→b),∀a,b∈L。则称其为布尔代数。一个IMTL代数，若还是布尔代数，则称其为MV 代数。一个IMTL 代数若还满足条件 (a→b)∨((a→b)→¬a∨b)=1,∀a,b∈L则称其为R0 代数。

下面我们给出一些剩余格的示例。

例1L=([0,1],∧,∨,∗,→,0,1)，其中a∗b=0∨(a+b-1)，a→b=(1-a+b)∧1。则L称为Lukasiewicz代数，L是一个剩余格，且是IMTL 代数。

例2L=([0,1],∧,∨,∗,→,0,1)，其中a∗b=a∧b，则L称为Godel代数，L是一个剩余格，不是IMTL 代数。

例3L=([0,1],∧,∨,∗,→,0,1)，其中a∗b=a·b，。则L称为Goguen 代数，L是一个剩余格，且是MTL 代数，不是IMTL 代数。

2 基于一般二元关系的粗糙近似算子的代数结构

宋巧玲等[5]已经给出基于一般二元关系的粗糙近似算子的格结构，在此格结构的基础上，将上下确界的代数表示刻画得更加简单，并给出基于等价关系的粗糙近似算子上下确界的代数表示、悲观多粒度的粗糙近似算子上下确界的代数表示和基于一般二元关系粗糙近似算子其他的代数结构。

用R(U×U) 表示U上所有的二元关系之集，容易得出 (R(U×U),⊆,∪,∩)是有界完备格，最大元为U×U，最小元为∅。

例 4集合U′={a,b,c}，R′(U′×U′)表示U′上所有的二元关系之集，集合R′(U′×U′)元素个数为29，则R′(U′×U′)关于集合的包含关系构成偏序集，且(R′(U′×U′),⊆,∪,∩) 是有界完备格，最大元为U′×U′={(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b)}，最小元为∅。

对于任意R1,R2∈R(U×U)，令R1∧R2=R1∩R2，R1∨R2=R1∪R2。容易验证 ∧与 ∨是R(U×U)上封闭的二元运算。

在R(U×U)上定义运算→如下：对于任意R1,R2∈R(U×U)R1→R2=sinR1∪R2，容易验证 →是R(U×U)上的封闭的二元运算。

引理3→与∧ 构成伴随对。

证明若R1∧R2≤R3，则R1∩R2⊆R3。R1=(R1-R1∩R2)∪(R1∩R2)，由于R1-R1∩R2⊆sinR2，R1∩R2⊆R3，故有R1=(R1-R1∩R2)∪(R1∩R2)⊆sinR2∪R3。即R1 ≤R2→R3。

另一方面，若R1≤R2→R3，有R1⊆sinR2∪R3，故R1∩R2⊆R3。否则存在 (x,y)∈R1∩R2⊈R3，则(x,y)∈R1。又因为(x,y)∉sinR2∪R3，故有R1⊈sinR2∪R3，与R1⊆sinR2∪R3矛盾，所以R1∩R2⊆R3，即R1∧R2≤R3。

由引理可得以下定理。

定理1(R(U×U),∨,∧,→,∧,∅,U×U)构成一个剩余格，记为R(U×U)1。

引理4[5]设R,Q是U上的一般二元关系，则∀X⊆U，下列等式成立：

引理5下列3 个条件等价：

证明1)⇔2)：

本文通过对完备格结构的下确界的代数表示进行刻画，使得下确界表示方式上更加简单。

在悲观多粒度粗糙集模型中，由引理2 和引理3 得

所以悲观多粒度粗糙近似算子是特殊的基于一般二元关系的近似算子。

记U上所基于一般二元关系的悲观多粒度上（下）近似算子之集为mH(U)(mL(U))，在mH(U)(mL(U))上定义序关系当且仅当我们有以下推论。

引理6在集合H(U)上，→与 ∧ 构成伴随对。

定理4H(U)1是MV 代数。

定理5H(U)1是R0 代数。

综上可知，H(U)1是布尔代数。

由引理5 我们能够得出基于一般二元关系的上、下近似算子分别构成的完备格是同构的，故L(U)定义上文的蕴涵之后，也成为MV、R0 与布尔代数。

3 结论

本文主要研究基于一般二元关系的粗糙近似算子的代数结构。Song 等[4]分别刻画了基于L-模糊广义邻域系统的粗糙近似算子和基于L-模糊关系的粗糙近似算子的格结构。一般二元关系是L-模糊关系的特例，我们在本文中给出了基于一般二元关系的粗糙近似算子完备格结构，同时也给出了基于等价关系粗糙近似算子的完备格结构和基于一般二元关系的悲观多粒度粗糙近似算子的完备格结构。在一般二元关系集合中定义蕴涵算子，则给定论域上所有的基于一般二元关系的粗糙近似算子集合成为MV、R0 与布尔代数。