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凸显角本质的学习路径研究:初识角的概念

2024-03-24巩子坤许佳敏张芳铭黄旭冉

中小学课堂教学研究 2024年3期
关键词:学习路径

巩子坤 许佳敏 张芳铭 黄旭冉

【摘 要】角是学生认识几何图形的起点,但教材与教学关注较多的是不同角的性质,而不是角的本质。文章提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学,并展示第一课时“初识角的概念”。研究者通过教学实践与研讨,得到完善的学习路径:基于现实角,抽象出图形角;通过分类,探索角的特征,得到数学角;通过创造角,理解角的特征。由此提出教学建议:借助分类,初识角的概念;动手创造角,直观感知角的特征。

【关键词】角;角的本质;角的概念;学习路径

一、研究缘起

角是组成几何图形的基本要素之一。人教版数学教材将角的认识分为两个阶段。第一阶段为二年级上册“角的初步认识”。首先,学生通过生活情境直观认识有“尖尖的顶点、直直的边”的图形是角。其次,学生从生活中抽象出“直直的角”是直角,并用直角比一比,知道比直角小的是锐角,比直角大的是钝角。第二阶段为四年级上册“角的度量”。首先,学生在认识线段、射线、直线的基础上学习角的描述性定义,即从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。其次,学生通过比较角的大小的任务,引出度量角的单位——度,以及度量角的工具——量角器,学习如何度量角。最后,学生根据角的动态定义(角可以看作由一条射线绕着它的端点,从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形)学习平角与周角,了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。整个逻辑看似层层递进,实则忽视了非常重要的问题:什么是角的大小?怎样比较角的大小?是边更长,还是覆盖面积更大?量角器是在度量角的什么?为什么使用大小不同的量角器度量出的角的大小是相同的?这些都是困扰学生但教材未解释的问题。究其原因,是教材未讲明角的本质是什么。

何谓角的本质?欧几里得认为,平面角是一个平面上两条线之间的倾斜,它们相交且不在一条直线上。[1]我们对这个说法做了通俗的解释,认为角的本质是一条直线相对于另一条直线的倾斜度。[2]但倾斜度对于学生而言不易理解,要让学生在初次学习角时就理解角的本质,则需要找到一种能使倾斜度直观呈现的外显方式。

江春莲提出,如果从角的本质来说,“张开度”则更为关键。研究角的目的不是研究它的边,而是研究张开度。[2]角的动态定义中虽然没有提及张开度,但暗含了“转动的多少”,而射线绕端点转动的动态过程,就是形成张开度的过程,也就是产生倾斜度的过程。相比于倾斜度和张开度,“转动的多少”不仅更加形象直观,而且与之后要学习的弧度制有异曲同工之处(弧度制本质上就是用转动生成的弧长来度量角的大小),贯穿了角学习的始终。因此,“转动的多少”可以尝试作为角本质外显的呈现方式。

为初步了解学生对角本质的理解情况,笔者对6名二年级学生进行单元前测及访谈。学生需要判断正方形的四个角是否相等,以及沿折痕剪下来后,四个角是否仍然相等(如图1)。测试与访谈的结果显示:在未剪下角时,所有学生都认为四个角相等;沿折痕剪下角后,仅有1名学生坚持认为四个角相等,并能说出理由,其他学生因为角的“边长”、覆盖的“面积”发生变化而改变了答案。由此可以发现,学生对角本质的认识比较模糊,容易受边长的长短、覆盖面积的大小等非本质因素的影响,需要教师的引导。

随后,教师让学生任意画一个角或几个角,发现有4名学生借助三角尺,把三角尺的角描了下来(如图2)。可以发现,学生对角的认识只停留在现实生活中的角,无法从中抽象出数学中的角,因此才会在利用三角尺画角时保留三角尺上因磨损而出现的“圆圆的顶点”。故学生在对角本质进行认识之前,需要先经历从现实世界到数学世界的过程,理解角的特征,初识角的概念。

综上,本研究提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学,共分为“初识角的概念”“体验、认识角本质”“巩固、运用角本质”三个课时。本文研究第一课时“初识角的概念”,要解决的问题为:“初识角的概念”学习路径中的关键任务是什么?与原教材相比,该路径在帮助学生理解角的概念上的效果如何?

二、研究设计

(一)研究对象

选取YH小学二年级的甲、乙两个班作为教学班,两个班各有30名学生,班级总体水平一致,由教师A按照本研究设计的学习路径进行备课、授課。

(二)研究流程

学习路径优化、完善的具体流程如图3所示。

(三)问卷及数据处理

后测题目一共有5道小题,要求学生判断给出的图形是否为角,并说明理由(如图4)。后测题目主要考查学生对角的概念中“两条边是否搭牢”“尖尖的顶点”“直直的边”等概念是否已经掌握。

教师对学生的作答情况进行赋分,判断正确并能说出理由记2分,判断正确但不能说明理由记1分,判断错误记0分,最后统计总分。

三、研究结果与分析

(一)学习路径的设计与实施

为探究得到完善的学习路径,本研究经历了三次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨。由于篇幅有限,只呈现在乙班开展的优化的学习路径A2(如图5)。

任务1:经历现实角到图形角的过渡

教师先从生活中的角入手,询问学生现实生活中有哪些角,学生的回答只要满足角的特征即可。随后,教师呈现生活中角的图片,让学生找出其中的角,并描一描。由此,教师带领学生经历从现实角到图形角的过渡,为下一个环节——角的分类做铺垫。

任务2:通过分类,探索角的特征

教师呈现任务1中学生描出来的“角”(如图6),让学生圈一圈、勾一勾,将“角”进行分类,并引导学生说明分类的依据。教师在呈现分类情况、归纳角的特征时,要兼顾“两边是否是直的”“两边是否搭牢”两个标准,归纳出角的特征:有一个尖尖的顶点和两条直直的边,从而帮助学生初步建立对角的认识。以下是部分课堂实录。

师:我们把图形分成①②③④、⑤⑥⑦、⑧三类,因为①②③④都是直的,⑤⑥⑦都是弯的,⑧虽然也是直的,但中间没有搭牢,单独分为一类。像①②③④这样的角,就是我们数学中要学习的角。你能说一说它们有什么共同点吗?

生:它们的边都是直直的,而且都搭牢了。

师:那么这个搭牢的地方,它有什么特点呢?

生:它是尖尖的。

师:这个尖尖的地方我们叫作顶点。像这样,有一个尖尖的顶点和两条直直的边的图形,就是数学中的角。

任务3:通过创造角,理解角的特征

在学生初识角的概念之后,教师提供毛线、小棒和圆纸片等材料,让学生任意选取材料创造角,并指出该角的顶点和边。学生通过动手操作,积累活动经验,加深了对角的概念的认识。在学生展示环节,教师首先引导学生回忆创造角的过程,然后根据学生选择的材料特点有针对性地进行提问,引导学生意识到毛线需要拉直才能创造出两条直直的边,而将两根毛线都拉直且一端要搭牢则需要借助三颗图钉。以下是部分课堂实录。

师:请选择毛线的同学来说一说,你是怎么做的?用了几颗图钉?

生:我先在泡沫板上钉一颗图钉,让毛线绕过这颗图钉,这样就变成了两条线,然后再用两颗图钉分别固定这两条线,一共用了三颗图钉(如图7)。

师:这些图钉有什么作用?

生:(指向固定一条边的图钉)如果没有图钉,那么这里的边就不直。

师:还有什么作用吗?

生:左边这个图钉可以作为角的顶点。

师:你觉得这两根毛线做的都是角吗?

生:(指向右边的角)这个不是,它的边要是再直一点就是了。

师:怎么再直一点呢?

生:使劲拉一下,让毛线绷紧。

(二)学习路径的教学效果与分析

在优化的学习路径A2实施后,对乙班进行后测,并将甲、乙两个班的后测结果进行比较,得分情况如图8所示。

比较甲、乙两个班的成绩,发现T2和T5的正确率得到提升,特别是T5的提升幅度较大。对甲、乙两个班学生的后测得分进行独立样本t检验。通过分析整体得分情况,发现乙班学生的正确率优于甲班,他们对角的概念的认识更加深刻;通过分析T1、T3、T4的得分情况,发现甲、乙两个班的学生对角的概念已经具备了初步的认识——有两条直直的边,并且两条边需要搭牢;通过比较T2的得分情况,发现甲、乙两个班并不存在显著差异,说明两个班的学生均能意识到角需要尖尖的顶点,而乙班的得分率高于甲班,说明乙班的学生对角的概念的认识更全面、更深刻;通过比较T5的得分情况,发现乙班的学生不仅能判断出该图形为角,还能准确说出该图形存在三个角(如图9)。以上说明优化的学习路径A2有利于加强学生对角的概念的认识。

结合以下访谈结果(F表示访谈者,S表示学生),发现大部分学生对角的概念已经具有初步的认识。

F:你怎么判断一个图形是角呢?

S1:看它有没有尖尖的顶点把两条直直的边连起来。

S2:有两条直直的边,它们需要搭牢,还有一个尖尖的顶点。

结合后测得分率与学生访谈结果,发现优化的学习路径A2能有效帮助学生更好地建立对角的概念的认识。

当然,优化的学习路径A2也存在可完善之处,即在任务3中,学生还可以使用小棒来创造角。用小棒来创造角的特点是,两根小棒代表角的两条直直的边,并且两根小棒一定要搭牢才能形成尖尖的顶点。因此,这是带领学生直观感知角的特征的一个良好载体。但由于时间限制,教师没有让学生展示用小棒创造的角,因此也没有让学生体会其中的思想。

由于实施优化的学习路径A2在很大程度上满足了预期的学习目标,且最终完善的学习路径A3与A2相差不大,故不再详述。

四、结论与建议

本研究通过三次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨,最终得到了完善的“初识角的概念”学习路径A3,即先基于现实角,抽象出图形角,再通过分类,探索角的特征,得到数学角,最后通过创造角,理解角的特征。其中的关键学习任务是对角的分类与描述,学生通过该任务得到角的特征。研究表明,与教材中的学习路径相比,本研究设计的学习路径能更好地帮助学生初识角的概念,为理解角的本质打好基础。因此,笔者对教学提出如下建议。

(一)借助分类,初识角的概念

史宁中指出,学习图形要经历分类的过程。通过分类,找到本质;基于本质,分辨角。分類的过程就是观察的过程,对于二年级学生来说,通过直接观察进行分类是容易的,但阐述分类依据比较困难,这是因为学生的分类标准更多依靠“直观感觉”,而不是数学特征。因此,教师要引导学生用自己的语言概括分类标准,描述图形的特征,这是学生用数学的语言表达世界的过程。如“搭牢”“直直的”等词,就是学生从具体到抽象、从现实世界走向数学世界较好的脚手架与固着点。

(二)动手创造角,直观感知角的特征

为学生提供毛线、小棒等材料,让学生动手创造角,这个过程是学生将自己所理解的角的特征进行具体呈现。其中,毛线还含有数学思想,用它来创造角的过程渗透了两个知识点:一是两点确定一条直线,因此需要用三颗图钉来固定两条直线(一点重合,作为顶点,另两点固定,线拉直);二是绷紧了才是直直的。这些看似基础的概念性知识,事实上都是学生认知发展中根本的、具有生长性的知识,更需要让学生去深刻体会。

参考文献:

[1]欧几里得.几何原本[M].张卜天,译.北京:商务印书馆,2020.

[2]巩子坤,江春莲,张奠宙.把握线、角的本质,沟通线、角的联系[J].教育视界,2018(12):4-7.

(责任编辑:罗小荧)

【作者简介】巩子坤,教授,博士生导师,主要研究方向为基础教育数学课程改革的理论与实践;许佳敏,中学数学教师,主要研究方向为数学课堂教学;张芳铭,在读硕士研究生,主要研究方向为数学教育;黄旭冉,小学数学教师,主要研究方向为数学教育。

【基金项目】2023年度浙江省哲学社会科学规划课题“基于认知发展模型的义务教育教科书编写质量提升研究”(23NDJC265YB);2021—2022年度浙江省高校重大人文社科攻关计划项目“建设高质量教育体系背景下义务教育教科书编写质量提升路径研究”(2023GH005)

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