姚爱亮

(江苏省盐城市第一中学 224005)

2023年全国乙卷理科第11题是一道圆锥曲线中点弦问题,条件简洁,背景熟悉,主要涉及直线与双曲线相交、弦中点等,解决的方法往往采用数形结合思想、点差法、“设而不求”的方法和韦达定理.

1 试题呈现

A．(1,1) B．(-1,2)

C．(1,3) D．(-1,-4)

2 试题解析

解法1——“小题大做”[1]

对于选项C,可得kOM=3,kAB=3,则直线AB的方程为y=3x,而双曲线的渐近线为y=±3x,所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误．

显然“小题大做”运算大,耗时长,而且容易出错,在考场上应谨慎使用．

解法2——“小题小做”

学生对圆锥曲线中弦的斜率与弦中点之间的关系是熟悉的,解法2借助双曲线渐近线这一几何特征线,抓住直线与双曲线相交时直线的斜率与渐近线斜率之间的大小关系,进而得到弦坐标中点的条件,从而很快锁定正确选项．

3 回溯本源

解(1)当过点P的直线l的斜率不存在时,若l与双曲线相交于A,B两点,且点P为弦AB的中点,根据双曲线的对称性可知,显然只有点P在x轴上,此时以点P(x0,0)(x0>a,x0<-a)为中点的弦AB所在的直线l是唯一存在的．

图1

在教科书中也可以找到类似的问题:

4 结束语

2023年,教育部考试中心命制的六套高考数学试卷难度较去年均有所降低,但保持试题灵活性不变、创新性不变,突出强调对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握,注重考查学科知识的综合应用能力,科学引导中学教学,促进考教衔接.作为一名数学教师,课堂教学中应注重知识 产生的过程,注重数学学科的本性原法,教会学生如何思考问题,促使学生将知识和方法内化为自身的知识结构,把握问题本质,以不变应万变, 以使学生在高考考场上能迅速找到解决问题的突破口[4].