程 苑，宋素娟，马毅林，张 兵

（1.北京交通发展研究院 交通模型所，北京 100073；2.北京城市铁建轨道交通投资发展有限公司综合办公室，北京 100068）

0 引言

机场专线容量大、速度快、舒适度高，目前国内外越来越多的城市修建轨道交通机场专线以服务机场与中心城区之间的客流。一般来说，机场专线由于其服务对象和自身服务标准的特殊性，会采用不同于普通城市轨道交通的定价标准。线路开通前，制定合理的机场专线票价水平能提高乘客接受度，使得财政补贴可持续，促进机场陆侧交通结构的平衡，因此有必要在该阶段对机场专线定价方法进行研究。

国内外许多学者对轨道交通票价的制定进行了深入研究，常用的定价方法有博弈论、系统动力学模型以及基于最优化理论的规划模型等。Whelan、刘帅、马继辉等[1-3]基于博弈论理论，通过梳理各方竞合关系，均衡各方利益，得到系统最优时的推荐票价。系统动力学模型适用于梳理定价因果之间的关系，可分析基于时间推移的定价策略。刘美银、宋丹丹等[4-5]运用系统动力学模型研究城市轨道交通及高速铁路票价调整问题。最优化理论的定价模型通常以出行时间、社会福利、乘客感知等为优化目标，设定约束条件，以得到建议票价方案。基于最优化理论的定价模型成果丰富，典型的有在差异化定价方面应用广泛的拉姆塞定价模型[6]。最优化模型较为灵活，可根据实际情况设置定价目标、模型框架、考虑因素及求解方式。Borndorfer等[7]提出的票价优化模型考虑了社会福利、运营企业利润和客流需求。Chen等[8]建立了公共交通票价和私家车拥挤收费联合最优化的社会福利最大化模型，并通过元模型的方法得出次优近似解。刘美银等[9]以客运系统整体出行时间最小为目标，构建双层规划模型，探讨合理的轨道交通票价及分担率。陈治亚等[10]基于社会福利最大化模型，对PPP模型的城市轨道交通票价进行了优化。李雪梅等[11]等运用Episilon 约束法构建双层规划模型，求解不同目标下的高速铁路客票最优定价。

机场专线在一定程度上属于公共产品，定价目标应为社会效益最大化，需平衡社会、运营企业以及乘客三方利益诉求。社会福利理论中，社会福利包含消费者剩余和生产者剩余，即包含运营企业和乘客的双方利益。因此，以社会福利最大化理论为基础构建最优化模型，对于轨道交通机场专线的定价问题适用性较高。通常的最优化定价模型中，均假设出行者是完全理性的，即出行者会理性地衡量各方式的时间费用等特征，进而选择效用最大的方式。而实际上，出行者在面对方式选择时，受自身认知影响，是有限理性的，定价模型中应反映出行者这一特点。

在有限理性领域，前景理论中风险规避、损失厌恶等特征已经在出行行为特征描述中得到认可[12-13]。在前景理论的基础上，为衡量时间、费用、特征等多维属性对出行行为的影响，Thaler[14]提出了心理账户理论。心理账户通常用于描述决策行为，决策者构建多个心理账户，账户通过不同的原则进行分割，同时设置预算限制，决策估价的目的是获得心理感受上的最大满足感，而不是努力求得经济学原理中的效益最大化[14]。心理账户理论在消费行为和定价领域的应用已取得一些成果。李爱梅[15]在国内研究中引入心理账户分析人们在消费行为中的偏好。陈根宇[16]将心理账户理论应用于动态定价模型，获得了更加符合消费者实际决策行为的动态定价策略。心理账户理论在交通领域的兴起时间尚短，但在描述出行选择决策行为方面有较大的研究前景[17]。陈林和白雪菲等[18-19]建立了考虑时间心理预算的MNL模型，从不同角度说明了改进模型的优势。

在此，基于社会福利最大化理论，建立机场专线的最优化定价模型，引入心理账户理论描述出行选择行为，模拟乘客根据心理参照点比选属性的过程，使得最优化定价模型更加符合实际规律。

1 机场专线定价模型

首先梳理机场专线定价需考虑的因素，基于社会福利最大化理论构建机场专线定价模型，引入心理账户理论描述旅客出行选择行为，改进定价模型。

1.1 机场专线定价考虑因素

对于公共交通定价问题来说，需将票价视为杠杆，平衡运营企业、乘客和政府三方利益关系。运营企业的诉求是利润最大化和成本最小化，同时考虑实际运营风险，如低廉的票价可能会带来过多的客流，可能产生安全风险。乘客希望在一定的服务水平上，维持低水平的票价。政府部门综合考虑公共交通政策导向、乘客承受能力、财政补贴的可持续性等方面的均衡性。

对于轨道交通机场专线来说，线路本身及服务对象与普通轨道交通区别如下。

（1）一般来说，机场专线的服务水平较高，座椅较多、行李空间较大，票价水平需与服务水平相匹配。

（2）机场专线的服务对象是航空旅客，受机票的成本影响，旅客的时间损失成本较高。

（3）与普通通勤乘客相比，航空旅客携带行李较多，对于拥挤、服务水平的特征更为关注，而对金钱成本相对关注度要小，因此方式分担函数的参数不能直接引用既有研究成果，需针对航空旅客特点标定。

（4）因机场专线线路本身及服务对象特征，适合采用政府与社会资本合作的方式建设运营，如北京大兴机场线在运营期间采取PPP方式，企业与政府实行风险共担、超额收益分成，因此在票价制定时，希望企业尽量不亏损。

按政府、乘客、企业三方分类梳理影响定价的因素和需求，并反馈至机场专线定价模型的目标函数和约束函数中，机场专线定价影响因素如图1所示。

图1 机场专线定价影响因素Fig.1 Factors of airport express ticket pricing process

1.2 模型前提

模型建立基于以下4个前提。

（1）因机场专线自身经营方式特点，模型中不考虑轨道交通带来的外部性和政府补贴。

（2）模型考虑轨道交通、机场巴士和小汽车3种方式的竞争关系，因私人机动车和出租车出行特征较为相似，这2种出行方式合并为小汽车方式。

（3）认为选择轨道交通的乘客会全程选择轨道交通，选择机场巴士的乘客会通过地铁或公交换乘至机场巴士站点，选择小汽车的乘客全程乘坐小汽车。

（4）模型中票价为机场专线的基础票价，不考虑高低峰动态票价。

1.3 基于社会福利最大化的机场专线定价模型

1.3.1 目标函数

式中：Pmin为考虑机场专线定位制定的最低票价；Pmax为乘客能承担的最高票价，一般可通过当地居民平均收入及意愿调查确定；Ns为轨道交通客流；为机场专线运能；MSs为轨道交通的分担率；c为轨道交通最低分担率，机场专线作为公共交通，其票价具有合理调节机场陆侧交通资源的功能，该参数可结合规划指标确定。

1.3.2 客流计算方法

采用Logit 模型来描述方式选择行为，各方式分担率及客流计算公式如下。

式中：Ni为方式i的客流；N为航空旅客陆侧需求，根据机场规划吞吐量指标及空侧转乘情况确定；MSi为方式i的分担率；Ui为方式i的效用；Us，Ub，Uc分别为轨道交通、机场巴士、小汽车的效用；θ为参数。

效用函数与出行时间、费用及特征参数有关，在航空旅客的出行方式选择中，特征参数主要考虑的是时间可靠性、拥挤程度以及携带行李的方便性。效用函数形式如下。

式中：Ti为方式i的出行时间；VOT为旅客的时间价值，一般通过问卷调查确定；Pi为方式i的出行费用；Ki为方式i的特征参数，指拥挤度、便利性、舒适度等；α，β，γ为参数，用以描述出行时间、费用、其他特征的权重。

出行费用按以下方法计算。

1.3.3 生产者剩余计算方法

生产者剩余可用运营企业的利润表示，即运营企业收入与运营成本之间的差值。收入一般分为票务收入和非票收入，票务收入与客流直接相关，非票收入指广告等其他收入。运营成本分为固定成本和可变成本，固定成本与客流无关，可变成本会随客流增大而增加，用客流与每人次可变成本的乘积表示。

式中：NPI为非票收入，一般指广告、租金等收入，需根据站内、车内情况进行估算，在此采用固定值；轨道交通运营成本主要指职工薪酬、动力费、维修费及保安保洁费用等[20]，其中大部分费用与走行车公里相关性强，该部分记为OCi，是运营成本中固定部分，即无论客流高低，该部分成本均需支出，少部分费用与客流相关，如客流较高时，可能需调整发车间隔，使得相关动力费用、保洁保安费有所增加，该部分记为OCv，是运营成本中可变部分；POCi为平均每车公里的固定运营成本；SK为走行车公里；POCv为平均每人次的可变运营成本。

1.3.4 消费者剩余计算方法

消费者剩余是指选择轨道交通出行的乘客愿意支付的价格与实际支出票价之差，公式表示如下。

式中：S为消费者愿意支付的费用。

消费者愿意支付的费用与其他方式出行费用、乘坐轨道交通带来的环保效益[9]、轨道交通节约的出行时间效益有关，其计算公式如下。

式中：Se为乘坐轨道交通带来的环保效益；St为乘坐轨道交通节约的出行时间，往返机场时间受交通运行状况影响较大，St可正可负，St≥0 时表示轨道交通出行是节约时间的，即出行时间小于其他方式，一般发生在道路交通拥堵时段，St＜0时表示轨道交通出行时间大于其他方式，一般发生在非拥堵时段；Ls为运行距离；v为运营速度；Tc，Tb，Ts分别为乘坐小汽车、机场巴士、轨道交通到机场时间。

1.4 基于心理账户理论改进的机场专线定价模型

心理账户理论非常适用于描述方式选择行为。当机场旅客面对出行选择时，会经历方式认知—偏好判定—行为抉择这样的心理历程。方式认知中，比较现实价格与参考价格，产生交易效用，交易效用越高，选择倾向越大。偏好判定中，旅客依靠个人习惯、出行特征等方面对不同方式进行判定。方式认知和偏好判断后，若认为可以选择，则进行行为抉择，决策者会自发采用相对值账户原则来进行决策，即决策者考虑其所能感知的属性、因素相对其参照点的收益或损失进行决策[18]。决策者会以预算为约束，评估各项成本与参照点之间的差距，选择总体效用最大的选项。

与一般出行者而言，机场旅客对于损失更加厌恶，迟到可能带来赶不上飞机的后果，对时间的损失厌恶要超过一般出行者，亦超过对费用损失的厌恶，这一点在实际问卷调查中也可以验证。在方式选择决策行为中，引入心理账户能够更好地描述这些特征。在基于社会福利最大化的机场专线定价模型中，心理账户主要应用于改进乘客的出行选择行为部分。

描述成本相对于参照点的收入或损失的函数称为值函数，值函数对于收益是凹函数，对于损失是凸函数，损失函数更加陡峭，值函数体现出敏感度的递减性及损失厌恶性。文献[18]对描述交通出行选择行为的值函数形式进行了研究，在此亦采用这种值函数形式。

式中：λ为损失厌恶参数，值越大表示对损失更为敏感；η和δ分别表征针对收益或损失的边际敏感度递减参数。

出行者所消耗的时间、费用等均可看作为支出，因此采用值函数中的支出函数部分。其中，-x为参照点，研究设置时间、费用、特征3种参照点。

同公式⑷，效用函数包括出行时间、出行费用及特征参数3 部分。出行者将时间、费用、舒适度作为3 个独立心理账户来衡量评估，其中心理账户又可细分，如出行时间可细分为在途时间、换乘时间、接驳时间等多个属性的心理账户。效用函数形式如下。

式中：Ui为方式i的效用函数；Tit为时间属性t的属性值；Pip为费用属性p的属性值；Kik为特征属性k的属性值；v(Tit)，v(Pip)，v(Kik)分别为对应的值函数；为出行时间属性t的节约值、损失值的参数；为出行费用属性p节约值、损失值的参数；为特征费用属性k节约值、损失值的参数。

方式分担函数形式如下。

研究心理账户的学者们普遍认为参照点的设定会同时受到历史消费经验和当前购买环境的双重影响。在机场旅客的陆侧交通方式选择行为中，即使是第一次乘坐飞机到达该机场的人，亦可以通过其他人的经验获得历史经验。因此，参照点考虑该方式历史经验和现状与其竞争的方式情况，历史经验选择均值，本次出行竞争方式选择期望值，设定历史经验和现状的不同权重。参照点表达形式如下。

机场旅客在不同的心理账户会有自己的预算，在时间和费用方面考虑设置时间和费用总预算。因为时间参照点已经考虑了历史经验及现状情况，时间预算为时间参照点加30 min。在费用方面，通常与机票价格、家庭月收入等有关，即一个关于机票价格和时间价值的函数。约束条件如下。

式中：Tbudget，Pbudget为总时间和费用预算；Pair为机票价格；f(VOT，Pair)为关于时间价值和机票价格的函数。

2 案例分析

2019年9月25日，北京大兴国际机场(以下简称“大兴机场”)正式投入使用，位于北京市大兴区与河北省廊坊市交界处，距离天安门广场约46 km，远期规划每年 10000万人次的吞吐量。轨道交通大兴机场线同步投入运行，大兴机场线目前开通了草桥、大兴新城、大兴机场3站，全长41.36 km，其中草桥站可快速联通大兴机场及北京南部地区。大兴机场距市中心较远，在大兴机场开通初期，机场巴士仅在火车站等几个站点开通线路，客流承担能力和吸引力较小，因此案例分析中仅讨论轨道交通与小汽车2种出行方式。

2.1 参数表

模型中涉及33 项参数，参数标定时，设置了西单—机场的出行区间，以该区间的实际情况，得到各参数取值。在基于心理账户理论的改进模型中，为模拟心理账户模型中方式选择过程，预设了3 个情景，考虑不同的交通运行状况，设置不同的时间、费用及特征参数。心理账户情景设置如表1所示。机场旅客的出行特征与其他出行目的的旅客差异较大，为更好地反映实际情况，2018 年11 月在首都机场开展了出行特征调查，调查中标定了乘客可接受的最高票价45 元、小汽车平均同行人数1.42 人、效用函数的参数5 项关键参数。模型参数取值及计算方法如表2所示。

表1 心理账户情景设置Tab.1 Scenarios in Mental Accounting model

表2 模型参数取值及计算方法Tab.2 Calculation method and values of parameters

2.2 计算结果及分析

2.2.1 计算结果

在实际票价的设定中，考虑乘客实际支付便捷程度，票价的设定最小以0.1 元为计算单位。在模型的求解中，因有最低及最高的票价约束条件，以0.1元为步长，采用遍历法，即可求得满足约束条件的解。借助PYTHON 软件编程进行计算，求得满足约束条件的解。社会福利最大化模型结果如图2所示，考虑心理账户的社会福利最大化模型结果如图3所示。

图2 社会福利最大化模型结果Fig.2 Results of pricing model based maximum welfare theory

图3 考虑心理账户的社会福利最大化模型结果Fig.3 Results of pricing model based maximum welfare theory and Mental Accounting theory

生产者剩余体现的是运营企业的利润，在客流和票价的综合作用和约束条件下，生产者剩余可能是增函数或是先增后减函数。票价低于一定值时，运营企业的票务收入不足以覆盖运营成本，生产者剩余为负值，运营企业需要合理的政府补贴才能持续运营。消费者剩余体现的是乘客的利益，随着票价升高、客流下降，实际支付票价与意愿支付价格之差变小，因此消费者剩余是一个减函数。消费者剩余函数表明对于乘客意愿来说，票价越低，消费者剩余越大。

社会福利同时受生产者剩余及消费者剩余影响，体现出考虑乘客及运营企业双方的社会利益。选择最佳票价以社会福利最大化为目标，同时还需考虑是否可以提供政府补贴以弥补企业亏损。在社会福利最大化模型中，在运营企业不亏损前提下，最佳票价为37.3元。在考虑心理账户的社会福利最大化模型中，费用参照点不固定时，社会福利差异较小，最佳票价为37.5元。

采用心理账户理论改进模型后，乘客方式选择结果高度依赖心理参照点，而参照点与方式选择分担率变化幅度变小，因此社会福利曲线变化较为平缓，受参照点影响呈现折线特点，描述社会福利更加精准。建议大兴机场线草桥—机场段票价为37.5元。

2.2.2 参数灵敏性分析

在定价模型中，客流对票价的影响较大，而影响客流的主要因素是轨道交通与小汽车的出行效用的差异。分析小汽车出行效用中高速费用、停车费用的灵敏性，这2个参数可综合反馈至小汽车人均出行成本中。小汽车出行成本灵敏性分析结果如表3所示。随着小汽车人均成本的增加，小汽车竞争力有所下降，可以以更低的大兴机场线票价达到社会福利最大化。如果采用鼓励公共交通的高收费政策，高速费和停车费27 元以上时，大兴机场线最优票价在35元以下，高速费和停车费55元以上时，大兴机场线最优票价在30 元以下。如果采用低收费政策，高速费和停车费在3 元时，为使得生产者剩余大于0，大兴机场线最优票价应定为41元。在小汽车人均出行成本的通常区间内，大兴机场线票价的最优区间为35～40元。

表3 小汽车出行成本灵敏性分析结果元Tab.3 Results of sensitivity analysis of travel expense by car

对模型中出行效用节约值、损失值参数进行灵敏性分析，以出行费用节约值参数为例进行分析，出行费用节约值灵敏性分析结果如表4 所示。该参数表示用户对出行费用节省的在意程度，在0.1～2.5 范围内，最优票价均为37.5 元，但随着参数变大，社会福利有所降低，参数取值在2.5 以上时，即用户对出行费用节省程度较大时，较低票价下的社会福利较大。其他出行效用节约值、损失值参数灵敏度分析结果与此类似。

表4 出行费用节约值灵敏性分析结果Tab.4 Results of sensitivity analysis of save value for travel expense

3 结论

在分析影响机场专线定价因素的基础上，以机场专线票价为变量，建立基于社会福利最大化理论的定价模型，并引入心理账户理论改进了模型中效用函数的计算方法。主要结论如下。

（1）模型中综合考虑了乘客的支付意愿及收益、运营企业的利润以及合理的政策导向，得出的最优票价符合社会福利最大化的目标。引入心理账户理论改进模型后，可以更加准确地模拟乘客出行选择行为，从而更精准地衡量社会福利。

（2）大兴机场线的案例结果显示，综合考虑社会福利，在运营企业不亏损的前提下，草桥—大兴机场段最优票价为37.5元。

（3）小汽车出行成本灵敏性分析结果显示，提高小汽车出行成本可以促进大兴机场线吸引客流，可以以更低的票价达到社会福利最大化。高速费和停车费共计收费高于27 元时，大兴机场线最优票价低于35元；高速费和停车费共计收费3元时，大兴机场线最优票价为41元。在小汽车出行成本的通常范围内，大兴机场线的最优票价在35～40元区间。出行效用节约值、损失值参数灵敏性分析结果显示，节约值、损失值参数取值较低时，可在37.5元取得社会福利最大，随着参数值增加，用户对出行效用节约、损失在意程度有所增加，可在低票价水平取得社会福利最大值。