原雪娟,张翠萍

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

0 引 言

如果这样的n不存在,则FP-idR(M)=∞.设C是左R-模的类,C∈C.如果对任意的C′∈C,HomR(C′,φ): HomR(C′,C)→HomR(C′,M)是满同态,则称φ是M的C-预覆盖[1];如果对任意的同态g:C→C,均有φg=φ,则g是同构,称C-预覆盖φ:C→M为M的C-覆盖.对偶地,可定义C-预包络和C-包络.

受上述结论的启发,本文将n-FI内射模推广到复形范畴,引入n-FI内射复形的概念,并讨论n-FI内射复形与其层次模之间的关系,最后从覆盖的角度刻画n-FI内射复形.

1 预备知识

本文用R表示有单位元的环,模均指酉模,用ModR(ModRop)表示左(右)R-模范畴,表示整数集.对于R-模序列

…→0→M→0→…,

…→Exti(X,Y[n+1])→Exti(X,Y[n])→Exti(X,Y[n-1])→…,

定义1[3]设R是环,n是非负整数.如果对任意FP-内射维数不超过n的左R-模X,有

则称左R-模M是n-FI内射模.

定义2[5]如果对任意有限表示复形A,有

Ext1(A,C)=0,

则称复形C是FP-内射复形.

复形X的FP-内射维数定义为

FP-id(X)=inf{n|Extn+1(A,X)=0,A是有限表示复形,n是非负整数}.

如果这样的n不存在,则规定FP-id(X)=∞.

定义3[4]如果对任意FP-内射复形X,有

则称复形C是FI-内射复形.

引理1设X是复形,M是R-模,则:

证明: 1) 取M的内射分解

0→M→I0→I1→….

令Ki=Ker(Ii→Ii+1),i≥0,则有复形的正合列

对偶地,可证结论2).

2 主要结果

下面设n是非负整数.

显然,0-FI内射复形是FI-内射复形,内射复形是n-FI内射复形.设m,n是非负整数且m>n,则m-FI内射复形是n-FI内射复形.

命题1设I是任意指标集,(Ci)i∈I是R-模的一簇复形.则∏Ci是n-FI内射复形当且仅当每个Ci是n-FI内射复形.

证明: 设X是复形且FP-id(X)≤n,因为

所以结论成立.

引理2设X是复形且FP-id(X)≤n,则对任意整数m,均有FP-idR(Xm)≤n.

所以FP-idR(Xm)≤n.

引理3设X是复形且FP-id(X)≤n,则对任意整数m,有FP-id(X[m])≤n.

证明: 设A是有限表示复形,则有

Extn+1(A,X[m])≅Extn+1(A[-m],X)=0,

所以FP-id(X[m])≤n.

证明: 设A是有限表示复形,则由文献[7]中引理2.2知,对任意整数m,Am-1都是有限表示模.由引理1中1)可得

定理1设C是复形,则下列结论等价:

1)C是n-FI内射复形;

2) 对任意FP-内射维数不超过n的复形X,有Ext1(X,C)=0;

3) 对任意整数m,Cm是n-FI内射模,且对任意FP-内射维数不超过n的复形X,复形Hom(X,C)正合.

2)⟹1).设X是复形且FP-id(X)≤n,则对任意整数m,由引理3知,FP-id(X[m])≤n,所以有

Ext1(X,C[m])≅Ext1(X[-m],C)=0,

所以Cm是n-FI内射模.

Ext1(X[1],C[m])≅Ext1(X[1-m],C)=0.

令f:X→C[m]是复形的链映射,则有复形的可裂正合列

0→C[m]→M(f)→X[1]→0.

由文献[8]中推论2.2知f同伦于0.从而由文献[9]中引理2.1知,复形Hom(X,C)正合.

3)⟹1).设X是复形且FP-id(X)≤n,根据引理2和引理3知,对任意整数m,t,FP-idR(X[-t]m)≤n.设

0→C→Y→X[-t]→0

(1)

0→Cm→Ym→X[-t]m→0

可裂.故正合列(1)同构于复形的正合列

0→C→M(f)→X[-t]→0,

(2)

其中f:X[-t-1]→C.由引理3知FP-id(X[-t-1])≤n,所以Hom(X[-t-1],C)正合.故f同伦于0.由文献[8]中推论2知,正合列(2)可裂,从而正合列(1)可裂,进而

Ext1(X,C[t])≅Ext1(X[-t],C)=0.

证明: 充分性.由定理1可得.

必要性.设X是复形且FP-id(X)≤n,由引理1和引理2可得

令FPn是所有FP-内射维数不超过n的复形的类,FPn(R)是所有FP-内射维数不超过n的模的类.

定理2设C是复形,则下列结论等价:

1)C是n-FI内射复形;

2) 对任意复形正合列0→C→X→Y→0,X→Y是Y的FPn-预覆盖,其中X∈FPn;

3) 存在复形B的FPn-预覆盖f:A→B,使得C≅Ker(f),其中A是内射复形;

4) 对任意复形正合列0→A→B→X→0,0→Hom(X,C)→Hom(B,C)→Hom(A,C)→0正合,其中X∈FPn.

证明: 1)⟹2).设0→C→X→Y→0是复形的短正合列,其中X∈FPn.令X′∈FPn,则由定理1知Ext1(X′,C)=0,从而有正合列

Hom(X′,X)→Hom(X′,Y)→0.

因此X→Y是Y的FPn-预覆盖.

1)⟹4).由定理1可得.

2)⟹3).取复形正合列

0→C→E(C)→E(C)/C→0,

其中E(C)是内射复形,所以E(C)∈FPn.由2)知结论成立.

3)⟹1).由3)可得复形的正合列

其中A是内射复形.从而有正合列

0→C→A→Im(f)→0.

易得A→Im(f)是FPn-预覆盖.设X∈FPn,则有如下正合列:

因为f*是满的,所以Ext1(X,C)=0.由定理1知C是n-FI内射复形.

4)⟹1).设X∈FPn,取复形的正合列

其中B是投射复形.从而有正合列

由4)知g*是满的,于是有

Ext1(X,C)=0.

故由定理1知,C是n-FI内射复形.证毕.

由推论1和定理2可得以下推论.

推论2[3]设M是R-模,则下列结论等价:

1)M是n-FI内射模;

2) 对任意R-模的正合列0→M→E→K→0,E→K是K的FPn-预覆盖,其中E∈FPn(R);

3) 存在模B的FPn-预覆盖h:A→B,使得M≅Ker(h),其中A是内射模;

4) 对任意R-模的正合列0→A→B→X→0,有0→Hom(X,M)→Hom(B,M)→Hom(A,M)→0正合,其中X∈FPn(R).