陈 东

(成都大学 信息科学与工程学院, 四川 成都 610106)

相应地, 环R的GI-整体维数GI-iD(R)以及GI-弱整体维数GI-fD(R)定义为

特别地,Gao[1]证明了R是半单环当且仅当每个R-模是GI-内射模,R是von Neumann正则环当且仅当每个余挠模是GI- 内射模;Gao[2]证明了R是von Neumann正则环当且仅当每个R-模是GI-平坦模.

…→E1→E0→E0→E1→…

使得M≅Ker(E0→E0),且对任意的FP-内射模I,函子HomR(I,-)使上述正合列保持正合.

相应地,Zhao等[5]定义了M的DI-内射维数DI-idRM和DI-平坦维数DI-fdRM, 以及环R的DI-整体维数DI-iD(R)和DI-弱整体维数DI-fD(R).作为DI-内射模和DI-平坦模的环刻画,Zhao等[5]也证明了R是半单环当且仅当每个R-模是DI-内射模;R是von Neumann正则环当且仅当每个R-模是DI-平坦模.

受以上思想的启发,本文用 Gorenstein AC-内射模代替Gorenstein内射模,由此引入GIac-内射模和GIac-平坦模的概念.称R-模M是Gorenstein AC-内射模,如果存在内射模的正合列：

…→E1→E0→E0→E1→…,

注意,Gao[1]和Zhao等[5]用GI-内射模(或GI-平坦模)和DI-内射模(或DI-平坦模)分别刻画了半单环、von Neumann正则环、遗传环和半遗传环.一个自然的问题是,能否也用GIac-内射模和GIac-平坦模刻画上述环类？本文肯定的回答了这个问题,证明了每个R-模是GIac-内射模当且仅当R是半单环,每个R-模是GIac-平坦模当且仅当R是von Neumann正则环.相应地,定义R-模M的GIac-内射维数和GIac-平坦维数,及环R的GIac-整体维数GIac-iD(R)及GIac-弱整体维数GIac-fD(R).证明了R是遗传环当且仅当GIac-iD(R)≤1,且每个GIac-内射模是内射模;R是凝聚环,则R是半遗传环当且仅当GIac-fD(R)≤1,且每个GIac-平坦模是平坦模.

为方便讨论,需回顾相关概念：

…→F1→F0→F0→F1→…

使得M≅Ker(F0→F0),且对任意的绝对clean模I,函子I⊗-使上述正合列保持正合.相关概念,参见文献[6-14],不再赘述.

本文所涉及的环均是有单位元的交换的结合环,所涉及的模均……