周施吉,唐 孝,赵容乐,梁艳玲

(1.四川师范大学数学科学学院,四川 成都 610066;2.四川师范大学智能信息与量子信息研究所,四川 成都 610066)

1 引言

随着人类认知过程越来越复杂,人们难以用经典集合来描述生活中的现象。例如,无法用经典集合来清晰地描述长得高的人这个概念。为了解决这个难题,1965年,Zadeh教授[1]提出了模糊集,将对象达到某个概念的程度称为隶属度,以此来描述一些模糊概念。在此基础上,1986年,Atanassov教授[2]提出了直觉模糊集,将对象达不到某个概念的程度称为非隶属度。和隶属度一样,非隶属度都是介于0～1的实数,但两者的和却不能超过1。假设隶属度与非隶属度的和为0.9,那剩下的0.1就被称为犹豫度,以此来保留信息的不确定性。自直觉模糊集提出以来,受到了许多研究人员的高度关注,由于其表达不确定信息的能力出色,目前已被广泛应用于决策问题[3-5]以及其它一些领域,如时间序列分析[6]、信息融合[7]等。

2009年,Yao教授[8,9]提出三支决策理论。三支决策将决策域一分为三,给决策者带来更多决策选择的同时还利用决策代价最小原则最大程度地为决策者降低决策风险。近年来,由于三支决策为人们做出决策提供了更好的选择,因此得到了极大的发展。在模型构建方面,Zhang等[10]基于效用理论提出了效用最大的三支决策规则。随后,Wang等[11]同时考虑代价和效用,并将前景理论与三支决策理论进行了融合。2018年,Yao[12]认为在三支分类后还应采取相应的行动,最后取得了一定的效果。在直觉模糊环境中,Liang等[13]从积极和消极观点讨论了三支决策规则。Yang等[14]结合阴影集模型,给出了直觉模糊集的阴影集模型构造方法,进而得到了一种新的直觉模糊三支决策方法。李小南等[15]分析了直觉模糊集的特点,并提出了一种新的直觉模糊相似度,随后基于加权信息熵提出一种直觉模糊三支决策模型。Liu等[16]提出了直觉模糊环境下相对决策代价函数和条件概率的计算方法。随后,Wang等[17]认为Liu等给出的条件概率计算方法要求的等价类过于严格,提出了基于概率优势关系的条件概率计算方法。然而,概率优势关系通过简单的比较便将直觉模糊数转化为具体的实数,使直觉模糊数丧失了其描述不确定信息的能力,信息损失较大。Gong等[18]基于排位优势关系得到优势类,并使用直觉模糊数来表示条件概率,但给出的计算方法过于严格,使得决策结果过于保守。

基于上述研究背景,本文基于直觉模糊数之间的相互扰动,提出了一种更适合于直觉模糊集的扰动优势关系,并得到相应的扰动优势类,从而解决了现有优势关系要求过严和信息损失大的问题;然后,针对现有计算条件概率方法存在的不合理问题,基于扰动优势类提出了一种合理的直觉模糊条件概率的计算方法,并给出了相应的三支决策和多属性决策规则;最后,针对本文提出的方法进行案例分析,并对参数进行灵敏度分析以说明本文方法的合理性。

2 基础知识

2.1 直觉模糊集理论

定义1[2]设H是一个非空有限对象集,H上的一个直觉模糊集T可以表示为式(1):

(1)

(2)

(3)

其中,S(α)∈[-1,1],A(α)∈[0,1]。

(1) 如果S(α)>S(β),则αβ;反之,如果S(α)

(2) 如果S(α)=S(β),

①若A(α)>A(β),则αβ;

②若A(α)

2.2 三支决策理论

设H={h1,h2,…,hn}为对象集,n表示对象总数,S={ζ,～ζ}为状态集,[hi]为对象hi∈H的等价类。Pr(ζ|[hi])和Pr(～ζ|[hi])分别表示对象hi的等价类[hi]属于状态ζ和属于状态～ζ的条件概率,且满足Pr(ζ|[hi])+Pr(～ζ|[hi])=1。采取接受aP、犹豫aB和拒绝aN行动的代价函数如表1所示,其中λ*P(*∈{P,B,N})分别表示对象hi的等价类[hi]在状态ζ下采取接受aP、犹豫aB和拒绝aN行动的代价函数,且满足λPP<λBP<λNP,λ*N(*={P,B,N})分别表示对象hi的等价类[hi]在状态～ζ下采取接受aP、犹豫aB和拒绝aN行动的代价函数,且满足λNN<λBN<λPN。

那么期望代价如式(4)所示:

(4)

根据贝叶斯决策代价最小原则,Yao[8]给出如下决策规则(P)～(N):

(P)若I(aP|[hi])≤I(aB|[hi]),且I(aP|[hi])≤I(aN|[hi]),那么hi∈Pos(ζ);

(B)若I(aB|[hi])≤I(aP|[hi]),且I(aB|[hi])≤I(aN|[hi]),那么hi∈Bnd(ζ);

(N)若I(aN|[hi])≤I(aP|[hi]),且I(aN|[hi])≤I(aB|[hi]),那么hi∈Neg(ζ)。

Table 1 Loss function matrix表1 代价函数矩阵

3 直觉模糊扰动优势关系及其应用

本节提出直觉模糊优势关系,讨论相关性质,然后将其运用于计算三支决策条件概率中,得到三支决策规则。

3.1 直觉模糊扰动优势关系

称为α对β的扰动;反之,称

为β对α的扰动。

定义6[22]设T1和T2为非空有限集H={h1,h2,…,hn}上的2个直觉模糊集,并且α(hi)∈T1,β(hi)∈T2,L:T1×T2→[0,1]是一个二元映射,将L(T1,T2)称为T1→T2的扰动度,满足式(5):

(5)

从定义6可以看到,直觉模糊集T1对直觉模糊集T2的扰动度L(T1,T2)为一个区间数,不失一般性,本文将区间的中点作为直觉模糊扰动度,如式(6)所示:

(6)

例1设2个直觉模糊数为α=(0.7,0.1),β=(0.2,0.6),那么α对β的扰动γα→β=(0.6,0.2),扰动度L(α,β)=0.7;反过来,β对α的扰动γβ→α=(0.1,0.7),扰动度L(β,α)=0.2。

从例1可以看到,直觉模糊数之间的扰动是不对称的。利用此不对称性,本文提出如下扰动优势度的定义和扰动劣势度的定义:

②当

②当

从定义7可以看出,对象hi在属性子集D下对hj为扰动优势或扰动劣势的基准为自身对自身的扰动度,如果自我扰动度高于对其他对象的扰动度,则表现为扰动优势;反之,如果自我扰动度低于对其他对象的扰动度,则表现为扰动劣势。由此,考虑扰动优势,就可以定义扰动优势关系。

(7)

(8)

根据扰动优势类的定义,可以给出以下几条性质:

性质1对∀hi∈H,当δ=0时,

从性质1可以看出,只有当δ=0时对象hi才是自己的扰动优势类;性质2说明扰动优势类之间具有传递性;性质3说明优势程度越大,扰动优势关系和扰动优势类会减小。

3.2 条件概率计算及三支决策规则

本节将3.1节提出的扰动优势关系替换等价关系,并基于优势类提出一种由直觉模糊数表示的条件概率的计算方法,最后给出相应的决策规则。

(9)

(10)

从定义10可以看到,本文所定义的条件概率不同于一般条件概率为实数的情况。对象hi的条件概率

在直觉模糊信息系统中,Gong等[18]认为条件概率应满足式(11):

(11)

(12)

由定义2知式(13)满足,

(13)

所以,可以容易得到式(14):

(14)

下面,给出三支决策和多属性决策规则。

(15)

根据贝叶斯决策代价最小原则,给出如下相应的决策规则(P1)～(N1):

Table 2 Loss function matrix of hi表2 对象hi代价函数矩阵

对于同一决策域内的对象,决策代价小的对象应该优于决策代价大的对象。基于这个思想,结合Pos(ζ)Bnd(ζ)Neg(ζ),给出的多属性排序规则(D1)～(D3)如下所示:

4 实例分析

4.1 模型检验

为了说明本文所提方法的有效性和合理性,本节借助文献[16]提出的样本采购案例进行检验。

例2一家核心制造企业为了选择合适的产品部件供应商,经过市场调查、专家评估等程序确定了10家备选供应商。用hi来表示第i家供应商,则H={h1,h2,…,hn}为论域。专家着重考察了这10家备选供应商的技术水平a1,服务水平a2,业务能力a3以及企业环境a4,即A={a1,a2,a3,a4}为属性集,其中属性权重ϖ={0.22,0.22,0.36,0.2}T,在风险规避系数θ={0.3,0.1,0.4,0.2}下的评价信息及相对决策代价如表3所示。

根据定义7,可以得到各个对象之间的扰动度。取定δ=0,根据定义8确定扰动优势关系,从而得到对象hi在属性集A下的扰动优势类为:

Table 3 Intuitionistic fuzzy information system and the loss function of hi表3 直觉模糊信息系统与对象hi的相对代价函数

根据定义10,结合评价信息表3,可以计算得到各个对象hi的直觉模糊条件概率如下:

因此,可以得到三支决策结果Pos(ζ)={h2,h4,h5,h8,h9},Bnd(ζ)={h1,h3,h6,h7,h10}和Neg(ζ)=∅;多属性决策排序结果:h4h5h8h2h9h7h1h6h3h10。

在得到三支决策结果后需分别给出正域、边界域和负域中元素应该采取的方案。因此,对于正域中的对象应按照h4h5h8h2h9的顺序采取接受决策;对于边界域中的对象应按照h7h1h6h3h10的顺序采取犹豫决策,专家可继续调查了解或根据其它指标来进一步对它们进行评估;而对于拒绝域内的对象,应采取拒绝决策的策略。

为进一步说明本文所提方法的有效性和合理性,将本文结果与文献[16-18]方法的结果进行了对比,如表5和图1所示。从三支决策结果对比可以看出,本文结果与文献[16]结果总体是一致的,由于本文是通过构建扰动优势关系从而得到直觉模糊条件概率,因此本文方法更优;并且本文决策过程中不依赖于其它非全序的排序函数,而文献[16,17]都依赖于理想正度,事实上,这可能会导致决策结果违反直觉,进而也说明了本文方法的合理性。文献[17]也采用了相对于等价关系更弱的概率优势关系,因此,本文结果与文献[17]的结果是非常相似的,这说明了本文所提方法是合理的、有效的,更适合于直觉模糊信息系统;由于文献[18]基于排位优势关系得到的结果过于保守,并且没有给出需要采取接受行动的对象,所以本文结果明显优于文献[18]的。从多属性排序结果来看,除了与文献[18]结果差异比较大以外,与文献[16,17]结果差异较小,且最优对象都为h4。

4.2 灵敏度分析

本节将讨论优势程度δ与文献[16]中风险规避系数θ对三支决策结果和多属性排序的影响。

由性质3可知,随着优势程度的增大,优势类会逐渐减小,并且当δ>0时,对象hi本身不再属于自己的优势类,因此会造成某个最优对象优势类为空集,如取定δ=0.2,得到对象hi在属性集A下的优势类为:

Table 4 Expectation cost and decision results表4 期望代价与决策结果

Table 5 Results comparison of three-way decision 表5 三支决策结果对比

Figure 1 Results comparison of multi-attribute decision-making图1 多属性决策结果对比

可以看到,对象h4的优势类为空集,并且所有优势类都满足性质3,即随着优势程度的增大,各优势类中的优势对象呈现简单化的趋势,例如,对比δ=0和δ=0.2时各对象的优势类也正是如此变化。对多属性决策过程而言,由于优势对象逐渐减少,在条件概率的计算过程中信息损失就会逐渐增大,并且随着优势关系变得严格,各个对象的条件概率会越来越大,因此正域中的对象会增多,相应的边界域或负域的对象会逐渐减少。

基于上述分析发现,随着优势程度δ的增大,将对三支决策结果产生影响。下面将讨论优势程度δ对多属性决策的影响。

从表6可以看出,随着优势程度δ逐渐增大,对象h4始终都是最优选项,h5次之,并且随着正域、边界域和负域跟随δ的变化,多属性决策结果也有微弱的变化。当δ=0.7～1时,优势关系趋于固定,各对象的优势类也不再变化,因此三支决策结果和多属性排序结果也不再发生改变。

Table 6 Influence of degree of dominance δ on multi-attribute decision表6 优势程度δ对多属性决策的影响

接下来,在优势程度δ=0时考虑风险规避系数θ对决策结果的影响。利用文献[16]中对决策代价的计算方法,本文考虑了不同风险规避系数θj对三支决策结果的影响,结果如表7所示。

从表7可以看到,当风险规避系数θj∈[0,0.1](j=1,2,3,4)时,所有对象均在边界域内。随着风险规避系数θj逐渐增大到0.45,边界域在逐渐减小,正域在逐渐增大,而负域一直为空集。对于决策者而言,可以根据实际情况确定合适的风险规避系数,从而做出最优的决策。

Table 7 Influence of risk avoidance coefficients θj on three-way decision表7 风险规避系数θj对三支决策的影响

5 结束语

目前,越来越多的研究人员致力于三支决策中代价函数和条件概率的算法研究,他们已不满足于传统的严格的等价关系,试图通过更弱一点的优势关系来建立决策粗糙集模型。因此,本文基于直觉模糊扰动度提出了扰动优势关系,并将其用于三支决策过程中。实例验证分析表明,本文方法能取得较好的决策结果。此外,扰动优势关系由于能更好地区分对象间的差异信息,还可应用于属性约简等其它领域,也可以基于扰动劣势度提出扰动劣势关系,并继续探索扰动劣势关系的应用背景。另外,还可以将扰动优势关系与扰动劣势关系结合开展进一步的研究。