■河北省三河市第二中学 杨 勇

从高考命题的角度看,直线、圆的方程及位置关系问题是必考的内容,题型大多以选择题或填空题的形式呈现,此类试题难度中等。鉴于以上高考命题特点,建议同学们必须掌握以下几种必考题型。

一、求直线方程

点评:解决直线方程问题时应注意以下几点。

(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性。

(2)要注意直线方程每种形式的局限性,应用点斜式、两点式、斜截式时,要求直线不能与x轴垂直。而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线。

(3)讨论两条直线的位置关系时,要讨论直线的斜率是否存在。

(4)直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,一般求切线方程时多选择点斜式。

二、求圆的方程

点评:求圆的方程一般有两种方法。

(1)几何法,通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程。

(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各个系数。

三、与直线或圆有关的距离问题

点评:(1)求点到直线的距离时,应先将直线方程化为一般式。

(2)求两平行线之间的距离时,应先将两直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等。

(3)求曲线上任意一点到已知直线的最小距离,要利用数形结合和转化与化归思想解题。

四、直线与圆、圆与圆的位置关系判断

点评:(1)直线与圆的位置关系有相交、相切和相离三种情况,判断直线与圆的位置关系,主要通过比较圆心到直线的距离与半径的大小。

(2)圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离。两个圆的位置关系的判断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或半径和的大小关系。

(3)过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算。

五、直线与圆、圆与圆弦长问题

例5已知圆C1:(x-a)2+y2=4与C2:x2+(y-b)2=1(a,b∈R)交于A,B两点。若存在a,使得|AB|=2,则b的取值范围为____。

分析：根据圆与圆相交弦所在直线方程性质求得直线AB的方程,利用直线与圆相交弦长公式,求得a,b满足的等式关系,根据方程有解,即可得b的取值范围。

六、隐圆问题

例6(1)已知A(-2,0),B(2,0),点P满足|PA|2+|PB|2=16,直线l:(m+

设定点为M(3,4),如图1,当OM⊥l时,点P到直线l的距离最大。

图1

图2

(2)设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)。

点评:(1)利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆。

(2)在平面上给定相异的两点A,B,设点P与点A,B在同一平面上,且满足|PA|=λ|PB|,当λ＞0 且λ≠1 时,点P的轨迹是一个圆,这个圆我们称为阿波罗尼斯圆。

(4)两定点A,B与动点P满足|PA|2+|PB|2是定值,点P的轨迹是隐圆。