RV减速器摆线针齿传动机构线外啮入冲击研究

2023-10-24纪姝婷李佳林张跃明

西安交通大学学报 2023年9期

纪姝婷,李佳林,张跃明

(北京工业大学材料制造学部,100124, 北京)

工业机器人是先进制造业的支撑设备,RV减速器作为工业机器人的核心零部件之一,占整机成本的25%左右,对工业机器人的各项技术指标如传动精度、寿命、可靠性等均有重要影响[1]。RV减速器有两级传动,第一级为渐开线行星齿轮传动,第二级为摆线针齿传动。摆线针齿传动是RV减速器核心传动机构,对其传动精度影响较大[2]。

在齿轮传动中,由于制造误差、齿廓修形、轮齿变形等原因,实际啮入点会偏离理论啮入点,在实际啮合公法线方向上产生相对速度,引起啮合冲击[3]。典型的啮合冲击包括啮入冲击、节点冲击和啮出冲击,其中啮入冲击对传动性能影响最为显著[4]。国内外相关学者对机构的啮入冲击进行了大量研究。Huang等通过建立直齿圆柱齿轮冲击模型,研究了瞬态冲击对齿轮润滑的影响[5]。周长江等通过对渐开线齿轮线外啮入机理的研究,提出了求解线外啮入冲击力的方法,建立了线外啮入冲击摩擦模型[6]。Hu等通过建立行星传动系统的啮合冲击模型,计算出啮合冲击点、啮合冲击时间和冲击力,并考虑了载荷作用下各部件偏心误差和安装误差对齿轮啮合位置的影响[7]。Vedmar等[8]采用有限元方法,计算了齿轮非线性Hertz变形量,提出了直齿轮动态啮合力计算模型。王峰等阐述了人字齿轮啮入冲击位置、速度及冲击力的推导过程,简要分析了冲击力与重合度的关系[9]。张卫青等研究了齿廓修形及重合度对螺旋锥齿轮冲击力的影响[10]。

在摆线针齿传动过程中,啮合力是研究啮入冲击过程的基础。Su等计算了标准摆线轮和修形后的摆线轮与针齿之间的啮合力[11]。Hsieh研究了摆线针齿的接触和碰撞条件,以及在传递过程中的啮合力变化,并建立了摆线针齿传动系统两种动力学分析模型[12]。Xu等提出摆线针齿传动的啮合位置的判定方法,分析了轴承对摆线针齿传动载荷分布的影响[13]。Zhang等建立了摆线针齿传动的啮合力力学模型,并计算出摆线针齿啮合副间的接触应力和接触刚度分布[14]。Yu等研究了摆线针齿啮合侧隙对啮合力的影响[15]。Ren等通过建立摆线针齿行星传动的动力学方程,分析了摆线针齿啮合副的动态啮合刚度及系统的传动误差,探讨了摆线针齿啮合侧隙对啮合力的影响[16]。Blagojevic等利用Solidworks和Matlab软件,设计了一种新型单级摆线针齿减速器,并建立动力学方程对其进行运动学分析[17]。

虽然针对渐开线齿轮的线外啮入冲击较为成熟,但是针对摆线针齿啮合传动的线外啮入冲击仍有待深入研究。本文对摆线针齿传动啮合状态下的线外啮入冲击进行理论分析,揭示线外啮入冲击的产生机理,基于H-C(亨特-克罗斯利)接触碰撞模型和Hertz(赫兹)接触碰撞变形规律,建立线外啮入冲击力学模型,分析摆线轮移距修形和偏心距对冲击力的影响,这对于减小RV减速器振动和噪声具有重要意义。

1 摆线针齿传动线外啮入点的计算

1.1 摆线针齿线外啮入冲击机理

根据摆线针齿传动的理想啮合条件,标准的摆线轮与针齿在啮合公法线上的相对速度为0。在实际啮合过程中,由于摆线轮修形引起的齿侧间隙如图1(a)所示,以及轮齿受载后的变形如图1(b)所示,导致摆线轮的实际啮合点偏离理论啮合点,并在啮合公法线产生相对啮入速度,进而产生啮入冲击力。修形后的摆线轮首先克服齿侧间隙后,摆线轮与针齿发生接触碰撞,产生瞬时啮入冲击,导致RV减速器产生传动误差、振动和噪声等问题。因此,在探讨摆线针齿啮入冲击力前,需提出摆线针齿的理论啮入点与实际啮入点的计算方法。

(a)修形摆线轮齿侧间隙

1.2 理论啮入点位置

摆线轮修形后,不同摆线针齿啮合对的齿侧间隙大小不一。在摆线轮与针齿初次啮合时,必须克服摆线轮与针齿的初始间隙,此时摆线轮转过的一个微小角度即为初始转角θ0。

图2为摆线针齿传动系统的坐标系[18]。固定坐标系Sf与针齿壳固定,移动坐标系Sc与摆线轮固定,θg为摆线针齿传动机构的输入角,θ为摆线轮自转角度。P0为初始节点,P为输入角为θg的节点。rc、rp分别为摆线轮与针齿的节圆半径。Oc为摆线轮几何中心,Op为针齿分布圆几何中心,Oi为第i个(i≥1)针齿的几何中心,针齿齿号顺时针递增,POi为第i个待啮合齿廓对的啮合公法线。

图2 摆线针齿传动系统坐标图Fig.2 The coordinate of cycloid-pin gear drive system

修形摆线轮齿廓方程如下所示

(1)

式中:Rp为针齿分布圆半径;ΔRp为移距修形量;Δr为等距修形量;a为偏心距;r为针齿半径;zc为摆线轮齿数;km=azp/(Rp+ΔRp)为短幅系数,zp为针齿齿数。

摆线轮转动角度为θg,Sc到Sf的坐标变换矩阵为

(2)

则摆线轮在坐标系Sf下的齿廓方程为

rf=Mfcrc

(3)

在坐标系Sf中,第i个针齿的几何中心坐标为

(4)

在坐标系Sf中,节点P的几何中心坐标为

(5)

第i个啮合对公法线的方程为

(6)

式中:(xci,yci)为摆线轮待啮合点坐标。

定义齿侧间隙为啮合公法线上针齿齿廓与摆线轮齿廓的距离di,则di求解公式为

(7)

将式(4)～(6)代入式(7),通过Python编程迭代计算,可得出初始转角θ0与各啮合对待啮合点的坐标。

1.3 实际啮入点位置

实际的摆线针齿啮合过程中,摆线轮先克服齿侧间隙与针齿发生接触,进而产生压缩变形,摆线轮转动β,见图3。A点为摆线轮理论啮合点,产生压缩变形后,摆线轮A点(x1,y1)转到B点(x2,y2)位置,则弹性扭转角β为

图3 摆线轮弹性扭转角βFig.3 The elastic torsion angle β of cycloid gear

(8)

摆线轮与针齿啮合时,如图4所示,摆线轮与针齿在啮合公法线方向压缩量δi计算公式为

图4 摆线轮和针齿的接触形变量与力臂关系Fig.4 The relationship between contact deformation of cycloid gear and pin gear and force arm

δi=βli

(9)

式中:li为啮合力力臂。

设受力最大的一对摆线轮与针齿接触变形量为δmax,其啮合点公法线到摆线轮中心点的距离为lmax,由此可得

(10)

式中:lmax=rc。

摆线轮与针齿之间的接触可简化为两圆柱体接触,根据赫兹接触变形公式[19],摆线轮与针齿的最大接触变形δmax计算公式为

(11)

式中:B为摆线轮厚度;μ1、μ2为摆线轮与针齿材料的泊松比;E1、E2为摆线轮与针齿的弹性模量;ρc为摆线轮齿廓曲率半径;b为摆线针齿接触半宽;Fmax为最大初始啮合力。

接触半宽推导公式为

(12)

式中:ρ*为摆线针齿综合曲率半径;ED为摆线针齿综合弹性模量。

摆线针齿接触的综合齿廓曲率半径ρ*[20]为

(13)

摆线针齿接触综合弹性模量ED为

(14)

摆线轮齿廓曲率半径为

(r+Δr)

(15)

将式(11)代入式(10),则β计算公式为

(16)

由式(16)可知,要求得β需计算最大初始啮合力Fmax。摆线针齿传动机构中第i对啮合齿的啮合力Fi与Fmax关系为

(17)

由于初始间隙的存在,只有部分齿廓对参与啮合,假设只有m到n号针齿接触,根据转矩平衡原理可得

(18)

最大初始啮合力计算公式为

(19)

式中:T为输出轴上作用的扭矩;Tc为单个摆线轮传递的扭矩。

暂取标准摆线轮与针齿之间的最大啮合力作为最大初始啮合力

(20)

由于在计算时将标准摆线轮与针齿之间的最大啮合力Fmax0作为最大初始啮合力Fmax,所计算得出的结果并不准确[21]。因此,采用逐次迭代的方法,判断求解得到的Fmax与最大初始啮合力Fmax0是否满足|Fmax-Fmax0|≤0.1%Fmax,如果不满足条件,则将Fmax的值赋予Fmax0代入式(11)～(19)中重新进行计算,直到满足上述条件,此时Fmax=Fmax0。计算流程如图5所示。在求得Fmax的准确值后,代入式(16)求得β。将β代入式(8),可求得摆线针齿传动的实际啮入点坐标。

图5 最大初始啮合力Fmax计算流程图Fig.5 Calculation flow chart of maximum initial engagement force Fmax

2 线外啮入冲击力计算

忽略轴承、曲轴等零件的变形影响,将摆线轮与针齿的啮入冲击简化为沿啮合公法线方向的弹性碰撞行为,两刚体接触碰撞力即为线外啮入冲击力。

2.1 线外啮入冲击速度

由于存在制造误差、弹性变形和齿侧间隙,导致摆线轮与针齿在公法线方向产生相对速度。沿啮合公法线方向的相对啮入速度为啮入冲击速度,如图6所示。图中P为摆线轮节点,M为摆线轮实际待啮合点,PM为摆线针齿实际啮合公法线,Vp为摆线轮M点处瞬时公转速度,Vc为摆线齿M点处的自转速度,V为摆线齿M点沿实际啮合公法线速度,则线外啮入冲击速度计算过程如下

图6 摆线针齿相对啮入速度Fig.6 Relative velocity of meshing-in of cycloid-pin gear

Vp=ω×OpOc

(21)

(22)

|V|=|Vp|sinα-|Vc|sinγ

(23)

式中:ω为摆线轮公转角速度;α为啮合公法线PM与OpP的夹角;γ为啮合公法线PM与OcM的夹角;iH为摆线针齿传动比。

2.2 线外啮入冲击力模型

根据经典力学碰撞理论,弹性碰撞过程分为压缩和恢复两个阶段,由压缩变形引起的位移,是啮入冲击总位移的主要部分。当两刚体发生碰撞刚体达到最大压缩形变时,所对应的力即为最大冲击力。将摆线轮与针齿的啮入冲击过程等效为两圆柱体的非线性接触碰撞动力学行为,最大接触碰撞力即为最大冲击力。

图7为Hertz接触碰撞变形规律。首先两碰撞物体产生压缩变形,变形到最大位置δmax后,此时对应的力为最大冲击力FSmax,进而逐渐恢复初始状态。

图7 Hertz接触碰撞变形曲线Fig.7 The curve of Hertz contact collision deformation

基于H-C非线性接触碰撞模型[22],建立适用于摆线针齿传动啮入冲击的力学模型,其表达式为

(24)

C(δ)的计算公式为

C(δ)=χδn

(25)

2.2.1 非线性接触力模型

摆线轮与针齿产生压缩变形后,接触区域宽度为2b,长度为B[23],如图8所示,由Hertz公式可得

图8 摆线针齿等效接触模型Fig.8 The equivalent contact model of cycloid-pin gear

(26)

假设摆线轮与针齿的弹性模量与泊松比相同,令E1=E2=E,,μ1=μ2=μ,化简式(26),可得

(27)

由图8几何关系可知

(28)

式中:δc为摆线齿形变量。

将式(28)代入式(27),整理可得摆线齿接触变形量与接触力的关系为

(29)

2.2.2 非线性阻尼力模型

考虑接触碰撞过程中,阻尼力作用的部分能量以热量形式散失,接触碰撞过程中动能损失为

(30)

根据动量定理

(31)

根据牛顿运动学定义,两个物体碰撞后的恢复系数cr可定义为碰撞后的相对速度比碰撞前的相对速度,表达式[24]为

(32)

因此,将式(31)和(32)代入式(30),发生冲击后,损失动能为

(33)

在压缩阶段,由阻尼力损耗的能量可表达[25]为

(34)

式中:ΔEc为压缩阶段消耗能量。

对式(34)进行变量替换,根据三角函数积分性质,可得

(35)

将式(34)代入式(35),则压缩过程中迟滞阻尼损耗能量可表示为

(36)

根据能量守恒定律,摆线轮与针齿发生冲击后,碰撞初始时刻能量T(-)转化为3部分:一部分为摆线轮与针齿继续运动的动能Ts,第二部分为最大弹性势能Umax,最后一部分为滞后阻尼作用转化的热能ΔEc,即

T(-)=Ts+Umax+ΔEc

(37)

(38)

为判断非线性接触力影响因素,由式(29)可知,令S为非线性变形系数,则摆线轮与针齿接触力可表示为

(39)

其中S为

(40)

根据式(40)分析可知,摆线轮形变量δc、偏心距a和移距修形量ΔRp对摆线针齿非线性接触力影响较大。同时,为了确定阻尼力形变量贡献系数n, 采用多变量拟合方法,构建偏心距、摆线轮移距修形量和形变量与S之间的映射关系。设S为

(41)

式中:ε1～ε4为拟合系数。因此可根据式(41)确定最大弹性势能Umax和迟滞阻尼系数χ的表达式。

将式(41)代入式(38),则最大势能Umax可表示为

(42)

根据压缩过程的动量守恒,则有

(43)

考虑摆线轮与针齿冲击过程中会产生能量损失时,则式(37)可表达为

(44)

将式(36)、式(45)～(48)代入式(44),经推导可得阻尼影响因子χ表达式为

(45)

联立式(24)、(45),最终可得到摆线针齿传动冲击力模型为

FS=

(46)

忽略重力作用,根据Hertz接触变形理论,弹性体动能的损失即为碰撞力所消耗的能量,则弹性体损失动能、变形量、冲击力有如下关系

(47)

(48)

(49)

式中

A1=m

3 冲击力模型验证

现以RV-20E样机为研究对象,样机数据如表1所示。

表1 RV-20E的参数和材料属性

3.1 线外啮入冲击力理论计算

经计算,图9所示为摆线轮转过初始转角0.6°后的齿侧间隙分布。此时6号针齿对应的啮合对啮合,7号针齿啮合对存在齿侧间隙。空载状况下,摆线轮公转1 ms后,摆线轮7号齿与针齿处于啮合状态,如图10所示。

图9 摆线针齿初始间隙Fig.9 The initial clearance of cycloid pin teeth

图10 摆线轮公转1 ms后齿侧间隙Fig.10 The clearance after cycloid gear revolution of 1 ms

假设偏心距a设计范围为0.99～1.01 mm,接触变形量δc变化范围为0～0.01 mm,移距修形量的修形范围为-0.05～0.05 mm,代入式(41)后,通过Matlab进行多变量拟合,可得到S的拟合公式为

(50)

表2为拟合精度相关参数,可见拟合精度较好。

表2 变形系数S拟合相关数据

图11为摆线针齿传动的线外啮入冲击力随时间变化情况。由图可知,在0～6.95 μs时间段,摆线轮与针齿未发生冲击,此时冲击力为0。在克服间隙后,摆线轮在6.95 μs处与7号针齿发生冲击,随后短时间内冲击力迅速增加到峰值132.5 N。

图11 理论冲击力随时间变化曲线Fig.11 The change curve of theoretical impact force with time

3.2 有限元仿真

3.2.1 有限元仿真设置

将摆线针齿传动机构导入瞬态动力学模块后,在Space Claim软件中设置连接关系,设置材料类型,对摆线针齿进行局部精密网格划分,如图12所示。仿真时间为1 ms,为更直观观察摆线轮冲击力变化,提取7号针齿对应的啮合对接触面中心点的冲击力数据。

图12 摆线针齿局部精密网格划分Fig.12 The local precision grid generation of cycloid-pin gear

3.2.2 仿真结果分析

摆线轮7号齿的冲击力随时间变化结果如图13所示,0～11.8 μs时摆线轮克服初始间隙未与针齿发生碰撞,此期间冲击力为0。在11.8 μs与7号针齿发生碰撞,冲击力在短时间内瞬时增加到122.7 N。

图13 冲击力随时间变化仿真结果Fig.13 The simulation results of impact force changing with time

3.3 冲击力模型理论结果与仿真结果对比

摆线针齿啮入冲击理论计算结果与Ansys有限元仿真结果对比如图14所示,理论计算得到的摆线轮克服初始间隙时间相对于仿真得到的时间短,该现象是由于初始冲击时间的选取差异所造成的。理论上的最大冲击力为132.5 N,仿真得到的最大冲击力为122.7 N,误差率为7.98%,计算误差在允许范围内,因此有限元仿真结果验证了线外啮入冲击力模型可行性。

图14 理论冲击力与仿真冲击力对比图Fig.14 The comparison of theoretical impact force with simulation impact force

4 不同碰撞参数对冲击力的影响

4.1 移距修形对冲击力影响

冲击力随移距修形量ΔRp变化规律如图15所示。在等距修形量一定时,当修形量在-0.05～0.05 mm取值范围内,对于负移距修形,修形量越大,啮入冲击力越小;对于正移距修形,修形量越大,啮入冲击力越大。移距修形对克服初始间隙时间影响较大,这是由于不同修形方式与修形量对摆线针齿齿侧间隙影响较大。移距修形量对冲击持续时间影响并不大。