周儒省，柴华金

融合案例的线性代数课程教学实践

周儒省，柴华金

（广东海洋大学 计算机科学与工程学院，广东 阳江 529500）

结合当前学生学习线性代数所遇到的困扰——高度抽象脱离实际生活背景与现代工程技术应用场景，且理论门槛高，缺乏具体形象化案例等，根据教学实践，从知识内容的理解与巩固、理论框架的拓展与优化等方面构建不同类型的案例，吸引学生的注意力，激发其求知欲，提高学习效率，进而达到优化课程教学的目的．

线性代数；案例教学法；课程优化；课程教学

线性代数的理论与方法在现代工业技术、自然科学、管理学、社会学以及经济学等领域的研究中具有广泛而重要的应用[1-3]，是高校理工科及经管类等专业必修的一门基础数学课程，不仅为后续专业课程理论学习提供必备的基础数学知识，更能促进学生抽象思维、逻辑演算、空间想象以及建模求解等能力的培养[4-7]，让学生学会以线性代数的方法提出问题、分析问题以及解决问题[8-9]，进而提升的学生综合素质能力．

然而，传统的线性代数课堂教学中，由于培养目标不明确，教学方式比较单一，教师更倾向于线性代数理论知识的传授与演算，与现实结合的案例比较少，亦不注重知识内容与相关专业的链接，这样会导致学生难以建立起系统化的知识框架，对线性代数产生一种内容抽象难懂且用处不大的错觉，不清楚线性代数知识理论有何用途，能解决什么问题，无法将所学知识融合进专业学习中，进而极大地降低对相关知识的学习兴趣，影响其学习效果．针对这些问题，众多学者对线性代数的教学进行了较为系统的研究，如文献[10]结合三元线性方程组，导入行列式的定义并引出“爱情行列式”等有趣的案例吸引学生注意力，激发其求知欲；文献[11-16]从特征值、特征向量在大数据中的应用和药物配置引出向量线性相关性，以捕食者与被捕食者系统问题等为案例，以巩固提高为主要目的进行了深入的教学探讨．这些都是针对于某个知识点而言的，文献[17-18]则从课程发展史、增强民族自豪感和文化自信感、利用特征值与特征向量在Google搜索引擎PageRank排序算法中的应用激励学生学以致用、报效祖国等不同的方面挖掘思政元素，充分地探讨了如何进行线性代数课程思政，然而对线性代数整体的课堂或者课程教学相关研讨却比较少．以某个知识点导入，固然清晰明了且针对性强，但缺少全局架构观，不能以点绘线，以线拓面，多角度全方位地提升教学效果．

本文从理论知识的内化、巩固，知识结构的提高与优化等整个课堂教学架构出发，考虑如何利用案例教学法来调动学生学习线性代数的积极性，通过实例有步骤、有次序并带有目的性地诱发其主动思考，积极探索，深入钻研，激发其自主学习的积极性，提高学习时效，使线性代数课堂教学成为高效课堂；此外，通过实际的应用案例，引导学生结合线性代数相关理论多方位、多角度地进行深层次的探究，使学生深刻理解内容的相关背景与应用实景，掌握知识的内涵与外延，对知识能融会贯通并举一反三，同时，可以让学生明白所学线性代数理论知识并非毫无应用价值，而是与现实生活及所学专业紧密联系的．

1　实例情景导入，内化理论知识

线性代数课程中有比较多的概念、性质以及定理等，部分知识对学生来说极具抽象性，晦涩难懂，如若直接或仅以纯数学理论背景引出相应内容，对部分初学者而言接受起来非常困难，只知其表不知其里，进而造成其对理论知识把握不牢固、理解不透彻、应用不贯通，将严重挫伤学生深入钻研的热情．为此，教师应当引用一些鲜活的现实生活问题或实例作为切入点，引出相应的理论内容，让学生亲身领悟线性代数有其深厚的实际背景，与现实生活息息相关，并非“空穴来风”，进而让学生结合实例深入理解掌握定义和定理的内涵，激发其学习兴趣，继而提升课堂时效．

对于矩阵的概念与运算，目前较多教材均直接以数字表格进行导入，很大程度上给学生的印象也只停留于此，根本不清楚其在现实生活中有何应用场景．若仅以教材中数字表格来引入，让学生被动接受，将会极大程度地降低他们的求知欲，极易削弱其自主学习的积极性，因此不妨结合学生所熟悉的公交路线案例作为切入点，促使学生深入掌握矩阵的定义与运算，起到事半功倍之效．

案例1某县城在A，B，C，D，E 5个乡镇之间开通若干条公交线路，其通行情况见图1．若甲家乡在A乡镇想去乡镇C走访亲戚，但时间充裕，可以选一个其他乡镇游玩后再去走访亲戚，即由乡镇A中转一次再到乡镇C，计算有多少种通行情况．

图1 乡镇公交线路

图形虽然直观明了，但若乡镇增加到一定的情况时，线条将纵横交错，相应的图形看起来复杂且易出错，进而引导学生换用表格表示，如“1”表示两乡镇开通公交线路，“0”表示两乡镇不开通公交线路，则乡镇间公交线路开通情况可用表1表示．

表1　乡镇间公交线路开通情况

公交路线案例贴切现实生活，既能使学生明白矩阵有其深刻的实际背景，促进其加深对矩阵的概念与运算更深入的认识，而非仅停留于矩阵只是个数表的表面理解，又能让学生进一步地领悟课堂所学内容源自于生活并应用于生活，引导学生结合实际生活积极探讨相应知识内容的本质，熟悉其内在核心价值含义，拓展其知识涉及面，强化其知识理解，使其能潜移默化地结合生活关联，逐步地探索求知，进而提升他们的学习兴趣．

2　解决实际难题，强化知识技能

学生之所以觉得线性代数难学，很大程度上归结于目前的课堂教学与教材过分局限于纯数学理论知识的运算与推理，缺乏足够的结合实际问题的应用训练，只专注于理论内容的掌握，虽对相应知识技能有一定的熟练程度，却无处发挥，只知理论不知何用，久而久之，相应的技能因少用乃至不用而退化，继而淡忘，终归虚无，使学生的学习效率大打折扣，同时无形中影响了学生的学习积极性．为此，教师应在课堂教学中穿插一些现实中遇到的问题，让学生利用所学知识进行解答，使学生觉得知识学有所用，体会到学习的成功喜悦，这样可以使学生巩固掌握所学内容，提高课堂教学效果．

线性无关是线性代数教学中一个难点，枯燥无味的理论使学生在学习过程中不仅觉得抽象难懂，而且觉得毫无用处，听教师讲时觉得自己也会，但一到自己动手来做就无从下手，并且过了一段时间就会遗忘，因此导致学生的学习积极性不高．若穿插生活中实际难题来引导学生进行解决，不仅可以吸引学生的注意力，让其集中精力解决相关问题，在问题解决过程中巩固知识，又能体会学有所用，切身体会到成功的喜悦感，促进学生学习效率的提高．

案例2某药店有A，B，C，D４种药物，可根据不同比例组成4种处方，各用量成分见表2．某病人需购买第4号处方，但第4号无库存，不考虑处方复原细节要求，问该药店能否结合库存配出该病人要买的第4号处方．

表2　处方成分　 　　kg

对于线性表示一直都是学生感觉比较抽象难懂的，案例2结合药方配置现实难题，逐步引导学生应用所学知识，能快速地让学生明白线性表示的相关内容，熟悉相关知识内容的应用之处，让他们学以致用，体会到知识的用处，使其不仅能知其然更能知其所然，进而达到融会贯通．此外，通过解决生活中的难题能让学生于生活中不断领悟、探讨、钻研，将自身所学的东西应用于实际生活，逐渐提升自己的综合能力．

3　串联专业背景，深化理论体系

线性代数与许多学科知识有着密切的关联，教师在传授理论知识的同时串联专业应用背景，对学生的学习会产生意想不到的效果，如学习到逆矩阵时，对于计算机专业的学生插入信息传递的保密性，利用逆矩阵对传输信息进行加密再解密，启发学生，使其不由自主地将相关理论知识与自己所学专业内容进行有机融合，这样不仅能巩固自己的知识内容，更能拓展自己的理论架构，强化知识体系，从更高的维度、多方面的角度对待不同的知识点，逐步形成自身的知识思维导图，进而促使学生不断地完善自己的学习方法，激发其产生强烈的求知欲，不断探讨、不断积累、不断提升，长此以往，学生的学习能力会有较大的提升．

特征值与特征向量是线性代数的一个重要内容，应用方面也十分广泛，但多数教材仅仅介绍其求法，教师于授课之时也仅局限于教材，导致学生对该知识点觉得过于抽象，只知求法，却不知用法，更不了解其应用背景，若通过实例加以引导，学生将对其有更加深刻的印象．

案例3假设某地级市总人口数量不变，每年有30%的人口从乡镇迁移到城市，同时有10%的人口从城市迁移到乡镇，目前该地级市城市人口数量为400万，乡镇人口数量为200万，问题；（1）求1年后该地级市的城市人口和乡镇人口数量分别是多少；（2）随着实际时间的变迁，城乡人口会逐渐趋于稳定，此时城市人口和乡镇人口数量分别是多少．

对于问题（1），很多学生会直接通过计算“不迁移人口+迁入人口”得到结果，此时教师应该引导学生利用所学的矩阵相关知识来求解．

对于特征值与特征向量相关内容，由于课时的限制，教师往往就只传授学生对相关内容的求解，而对其有何应用只字不提，学生无法体会其实用性，学习效果更是大打折扣．案例3结合人口迁移专业知识引导学生利用特征值与特征向量进行求解，能让学生结合自己的专业更深入地学习线性代数，使其明白专业知识与线性代数紧密关联，让线性代数相关知识体系不再只局限于基础理论课，拓展学生的理论体系，深化其对知识的理解，同时激发了学生的学习欲望．此外，学生在课堂知识结合专业理论的的案例引导下，不知不觉地养成将所学知识理论延伸至其他专业领域内的思维习惯，各个知识要点不再是孤立的点或域，而是有机地串联在一起，继而促进学生各方面的学习，也提高了教师的课堂效果．

4　巧借软件计算，优化知识框架

线性代数在现代技术中有着广泛的应用，如计算机领域，借助先进的科学技术能大幅度地减少各方面的工作量．线性代数涉及的计算比较多，如计算行列式、矩阵的运算（数乘、乘法与幂次等）、矩阵的初等变换以及特征值和特征向量的求法等．对于低阶的计算，通过简单的手算即可，但高阶运算不仅繁琐，运算量也成指数倍增加，而且容易出错，实际应用中将会耗损大量的时间与精力，极大地降低了工作效率．在计算方面，在课堂教学中可结合现代计算技术软件如Matlab等，仅需输入几行代码就可得到相应的结果，避免过度繁琐的手工计算，从而大幅度地减少计算量，压缩时间，提升工作效率．如此教学模式不仅使学生深感时代的进步，掌握相应的技能，而且能大幅度地降低学生所面临的计算压力，使其集中精力于理解相应的原理与应用，进而优化自己的知识框架，提升学习效率，此外，还能增加自身的动手操作能力．

对于案例1～3来说，手工计算还是需要过多的演绎，在实际工作生活中不仅耗费大量的时间精力，而且容易出错，但若利用相关软件，可以仅用几行代码就能轻松解决．这样的优劣对比式计算教学方式能够吸引学生的学习兴趣，使学生在课堂上不由自主地紧跟教师的教学节凑，认真学习并掌握相应的理论方法，同时，也促使学生在课后及时进行软件操作演练．

A=[1 0 1 3；1 3 1 0；2 1 2 5；4 2 0 2]；sA=rref（A）

P=[3 -1；1 1]；inv（P）

A=[0.9 0.3；0.1 0.7]；[X,V]=eig（A）

知识原理的理解与技能的掌握对学生而言是必须的，而且是必不可少的，对于部分运算的计数，动手固然可以，却过多损耗时间，繁而不必，结合现代先进软件计算往往只需几行代码，可以大幅度地缩短耗时．教师在授课之时引入先进的软件算法，使学生能将更多时间与精力集中于知识的原理与技能方面，日后可避免做过多的无用功，优化学生的知识框架体系，促进他们更好地将理论与现代先进技术有机地融合．同时，先进软件算法的使用能使学生紧跟时代步伐、与时俱进，在学习知识原理之时掌握部分现代先进技术，激发其求知探索欲望，不断地促使其努力学习．

5　结语

如何提升课堂教学时效，优化课程教学是一个不断实践探索的过程．在此过程中，学生是主体，教师是关键，教师应结合自身的经验，从生活背景及专业应用场景中构建符合学生认知水平与知识体系的实际案例，诱发其自主思考、积极探索、奋力钻研，不断深入理解并掌握知识的内涵与外延，拓展其思维框架体系．

对线性代数更是如此，在课堂教学过程中应有效地融入适当的案例，让理论联系实际并串联专业背景，进而使抽象的知识内容形象具体化，更利于学生接受新的知识，掌握新的技巧，并于此教学中学生能潜移默化地将遇到的实际生活问题转为数学问题进行分析、探讨并最终得到有效的解决，继而使学生掌握必备知识技能之余激发其学习兴趣，拓展其理论体系，开阔其学习视野，提高学生提出问题、分析问题以及解决问题的能力．构建案例时要注意：（1）导入案例应贴切实际生活，便于学生接受，易于掌握知识的内涵与外延；（2）案例所涉及的知识内容应具有针对性强且难易程度适中等特点，利于学生对知识的巩固与提升；（3）应紧密结合学科背景构建合适案例，促使数学知识融入专业知识，利于后期专业学习，此外应融入适当的现代技术，更利于学生多方位发展．简而言之，构建案例应当注重时序性，既要符合学生以往的学习积累，也要遵循学生目前的接纳规律，还要注重为学生将来的专业学习或深造奠定基础．适宜的案例既能优化课堂时效，更能激发学生的求知欲，促使其不断地进步和提高．

[1] 谈琬琳．线性代数在工程测量中的应用探究[J]．内蒙古煤炭经济，2021（19）：216-218．

[2] 我国大学数学课程建设与教学改革六十年课题组．大学数学课程建设与教学改革六十年[M]．北京：高等教育出版社，2015：168．

[3] 史欣蕊，钱宇华，李飞江． 基于多角度空间结构的超多类簇聚类方法[J]．西南大学学报（自然科学版），2020，42（11）：59-67．

[4] 刘敬刚，郭燕．融入数学建模思想的线性代数案例教学研究[J]．赤峰学院学报（自然科学版），2020，36（1）：15-17．

[5] 赵东红，魏海瑞，刘宇．“一流本科课程”背景下线性代数案例启发教学的探索[J]．大学数学，2022，38（3）：53-60．

[6] 周克元，赵士银．线性代数建模案例教学研究[J]．内江科技，2020（12）：123-124．

[7] 康卫，周红志． 基于数学建模案例的线性代数探讨[J]．山东农业工程学院学报，2020，37（12）：38-40．

[8] 伍海亮，吴冰灵．基于应用能力培养的物流管理专业线性代数教学改革研究[J]．物流工程与管理，2022，44（10）：185-188．

[9] 郭空明，徐亚兰，朱应敏．线性代数线性方程组教学中的一个力学案例[J]．教育教学论坛，2020（9）：226-227．

[10] 周永强，李燕娟．“有趣”的应用型案例教学在《线性代数》中的探索与实践[J]．教育教学论坛，2020（9）：268-269．

[11] 周薛雪，蔚涛．线性代数中特征值与特征向量的应用教学研究[J]．教育教学论坛，2020（1）：237-238．

[12] 王芳．案例教学在“线性代数”课程中的应用[J]．无线互联科技，2019（11）：86-87．

[13] 黄影，张丽华．基于“新工科”的线性代数案例式教学模式的研究与实践[J]．沈阳师范大学学报（自然科学版），2019，37（5）：467-470．

[14] 郑玉军，汤琼．基于案例与问题驱动的线性代数教学[J]．湖南科技学院，2019，40（5）：5-6．

[15] 刘建丰，李秀展．线性代数教学案例设计：向量组线性相关性[J]．黑龙江科学，2022，13（13）：129-131．

[16] 王云杰，吴翠兰．浅谈案例教学法在线性代数中的应用[J]．中国新通信，2021（6）：206-207．

[17] 范莉霞，陈明．线性代数课程思政教学的案例探索与实施[J]．嘉庆学院学报，2022，34（6）：125-127．

[18] 何薇，陈建龙．线性代数课程思政教学案例的设计与实践[J]．大学数学，2021，37（5）：47-51．

Practice of teaching linear algebra course with case integration

ZHOU Rusheng，CHAI Huajin

（School of Computer Science and Engineering，Guangdong Ocean University，Yangjiang 529500，China）

Based on the current difficulties faced by students in learning linear algebra，such as high abstraction and detachment from practical life backgrounds and modern engineering technology application scenarios，as well as the high theoretical threshold and lack of concrete and visualized cases，different types of cases are built from the understanding and consolidation of knowledge content，the expansion and optimization of the theoretical framework and other aspects according to the teaching practice．These help to attract students′ attention，stimulate their curiosity，improve their learning effect，and thus achieve the purpose of optimizing course teaching．

linear algebra；case teaching method；course optimization；course teaching

1007-9831（2023）09-0070-06

O151.21∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.09.015

2023-02-25

2022年广东海洋大学教育教学改革项目（PX-131223557）——案例教学法融入《线性代数》课程教学的研究与实践

周儒省（1986-），男，广东茂名人，讲师，硕士，从事调和分析研究．E-mail：zrs@gdou.edu.cn