于林

广义Lagrange型和Cauchy型Taylor公式

于林

（三峡大学 理学院，湖北 宜昌 443002）

通过引入适当的辅助函数，并以单侧导数替换双侧导数，以高阶导数替换一阶导数，证明了一类广义的Lagrange型和Cauchy型Taylor公式．所得结论既是Lagrange中值定理和Cauchy中值定理的推广，同时也是一种新型的Taylor公式．

微分中值定理；Taylor公式；单侧导数

1 引言及预备知识

微分中值定理和Taylor公式的推广主要有２个方向：一个是单侧导数形式[1-2]，另一个是高阶导数形式[3-6]．更多推广和应用参见文献[7-10]．本文将２种推广思路相结合，建立高阶单侧导数形式的广义Lagrange型和Cauchy型Taylor公式，所得结果推广了已有的相关结论．

人文社会科学科研项目工资费、劳务费、专家咨询费和绩效支出等四项人员费用中，劳务费和专家咨询费的问题已基本得到解决，难点和重点在于工资费和绩效支出。

2　主要结果及证明

1.积极参与校企合作。企业应改变以往的观念，在优惠政策下，积极参与校企合作，为高职院校的教师提供良好的培训平台。同时，与职业院校搭建交流沟通的平台，让教师及时了解专业人才的需求情况以及专业发展的最新动态，促进教师核心素养和能力的提高。

在开展角色扮演活动的基础上，在主持人的引导下设置植物分类方面的相关问题，引导学生进行小组交流活动，实现对植物分类的基本知识的认知：①上述植物分别属于哪一类植物?有几种分类方法？②种子植物可以分为哪些类群?③无种子（孢子）植物可以分为哪些类群?④怎样把上述植物所属类群按简单到复杂的顺序排列?

观察生产下滑，化肥市场整体弱势回升的局面还将持续。根据价格走势判断，未来短期内，国内化肥市场总体仍将延续高位震荡走势，主要品种价格变化不大，行业效益继续改善。

国家林业和草原局副局长刘东生在致辞中说，森林旅游是绿水青山变成金山银山的“转化器”，是实现“不砍树也能致富”的“发动机”，是助力扶贫攻坚、林区转型发展的“动力源”，还是推动全域旅游发展的“主力军”。

式（2）不仅是Cauchy中值定理的一种推广，同时又使得Taylor公式成为其特殊情况．所以，可称式（2）为广义的Cauchy型Taylor公式．

当被称为“地壳构造板块”的巨大岩石层在地表下发生碰撞时，山脉形成了。由于板块冲撞，土地被向上推挤形成山脉，或熔岩溢出地表形成火山。但火山的形状比褶皱的山脉更规则。山脉上的土壤通常较为贫瘠，布满岩石，山顶附近则寸草不生。尽管火山喷发给人类带来了危险，但火山灰能转化成肥沃的土壤，有利于庄稼的生长。

[1] 吴开腾．广义Lagrange中值定理的应用[J]．内江师专学报，1992，7（2）：50-54．

[2] 刘昌茂．广义Cauchy中值定理[J]．吉首大学学报（自然科学版），1998，19（4）：72-74．

[3] 肖振纲．广义台劳公式的简单证明[J]．数学通报，1986，25（11）：36-37．

[4] 苏翔，赵振华，董建．一个广义的Cauchy型Taylor公式[J]．数学的实践与认识，2009，39（21）：214-221．

[5] 杜争光．广义Cauchy中值定理“中间点”的渐进性[J]．数学的实践与认识，2015，45（3）：268-271．

[6] 刘红玉．广义Cauchy型Taylor公式“中间点”的渐进性[J]．绵阳师范学院学报，2018，37（5）：8-11．

[7] 王颖．拉格朗日中值定理在微分学中的应用[J]．高师理科学刊，2018，38（1）：64-66．

[8] 龚东山，刘岳巍，牛富俊．柯西中值定理的一个推广[J]．高师理科学刊，2008，28（6）：4-6．

[9] 陈宁．微分中值定理的历史演变[J]．大学数学，2003，19（2）：96-99．

[10] 张骞．高阶方向导数与多元Taylor定理的简单形式[J]．菏泽学院学报，2011，33（2）：11-13．

Generalized Lagrange type and Cauchy type Taylor formulas

YU Lin

（School of Science，China Three Gorges University，Yichang 443002，China）

With the help of some suitable auxiliary functions，the generalized Lagrange type and Cauchy type Taylor formulas are proved by replacing bilateral derivatives with unilateral derivatives and replacing first order derivatives with higher order derivatives．The result obtained here is not only a generalization of Lagrange′s mean value theorem and Cauchy′s mean value theorem，but also a new type of Taylor′s formula．

differential mean value theorem；Taylor′s formula；unilateral derivatives

1007-9831（2023）09-0001-03

O172.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.09.001

2023-02-18

国家自然科学基金项目（11871195）；三峡大学教学改革研究项目（J2023052）

于林（1965-），男，山东滨州人，教授，博士，从事泛函分析研究．E-mail：yulin@ctgu.edu.cn