陈春生 柴明明

(六安市第二中学河西校区 安徽六安 237000)

习题课教学是高三后期课堂教学的重要组成部分,如何在习题课教学中提升学生思维是高三教师头疼的问题。常规的课堂教学形式是学生做试卷,然后教师批改,再进行有针对性的讲解,通过大量的训练对题型和解题技巧进行总结和巩固。但结果往往是学生在题海中日渐憔悴,教师在重复的讲解中丧失激情,关键是学生再次遇到类型相同而稍加变形的题目时依然手足无措,最后只能在高考中留下遗憾。

本学期为了加强习题教学中的思想引领,让学生在习题的讲解中得到更多思维上的提升,笔者采取了一种新型的课堂形式——难师,即由一位学生提供一道题,教师在课上与其他同学一起解决这道题。采取这种课堂形式并不是为了展示教师解题的能力多么高超,而是要通过师生一起做题达到三个目的:第一,帮助学生在遇到陌生的问题时就如何分析问题找到切入点;第二,在分析问题的过程中了解学生的想法以及思维障碍,从而精准解答;第三,在互动的过程中帮助学生养成良好的解题习惯,即认真审题—变形突破—总结反思。下面以两节课堂实录为例来谈谈具体做法。

一、课堂实录

图1-1

笔者与学生一起读题并画出大致图像后,给了学生两分钟时间思考,接着提出问题。

问1:本题的哪些条件很关键,是本题的“题眼”?你从这些条件中可以推导出哪些信息?

学生A:过F2作圆O:x2+y2=a2的切线和|PF2|>2|TF2|这两个条件很关键。由第一个条件可以从图形中发现一个特殊的直角三角形,三条边长分别为a,b,c,且T在渐近线上。第二个条件我不知道怎么用。

问2:学生A的观察很敏锐,这个特殊的直角三角形应该是解决问题的一把利刃。针对A同学的困惑,我们为了处理不等关系往往借助等量关系,不等关系是一种一般性关系,而等量关系是一种特殊性关系,我们遵循“从特殊到一般”的原则,应选取哪个特殊值作为我们的研究对象?

学生B:应该是|PF2|=2|TF2|,我觉得此时求出的值应该是离心率的一个临界值。

教师:B同学有很好的解题直觉,请大家求出这种特殊情况下离心率的值。

(五分钟之后)

教师:C同学充分利用图形的几何特征得到了a,b,c的等量关系,且简洁明了,把几何法的优点展现得淋漓尽致,很好!解析几何本质上还是几何,我们平时在解题的过程中要注意联系图像,由此可能会收到意想不到的效果。

问3:解析几何中我们常常用两种方法来处理问题——几何法和坐标法,请大家继续思考在这种情况下能否用坐标法的思想来求出离心率。

问4:求出了离心率的临界值之后,如何通过不等关系来确定离心率的范围呢?在这种情况下由于a,b,c都不确定,|PF2|,|PF1|的比值变化对其离心率有何影响呢?

教师:刚才我们已经利用特殊值法选出了正确的选项,请大家思考刚才的解法是否具有一般性。我们能否“乘胜追击”,将|PF2|=2|TF2|的特殊情况推广到|PF2|>2|TF2|的一般情况呢?

刚才的解法主要考虑的是T为PF2的中点的情形,想要一般化较为困难,此时学生遇到思维障碍。这时教师应适当点拨,让学生拨开表象发现本质。

教师:刚才大家可能会被“中点”这个信息所蒙蔽,我们不妨再假设另一种特殊情况,即|PF2|=3|TF2|,求此时离心率的值。大家在解答的过程中看能否找出隐藏在背后的通法。

图1-2

教师:刚才两位同学的解法各有千秋,请大家将这两种方法推广到更一般的情形,即|PF2|=λ|TF2|。

由λ=3,学生便能得出一般情形下的解法,不一会儿两位同学便分享了他们的解法。

教师:解题之后进行反思是促进思维提升的一种良好习惯,从本题的解答中我们不仅要掌握解决选择题的常用方法——特殊值法,更要挖掘特殊值背后的一般性规律,感受从特殊到一般的思想,当然本题当中涉及的数形结合、坐标法的思想也是大家需要提炼总结的。

从特殊到一般的思想、数形结合的思想的掌握并不是靠一节课的学习就能实现的,关键是在平时的课堂中要把握住契机。比如从特殊到一般的思想在求参数范围、利用方程组法求解析式、求数列的通项、求和公式中都有广泛的应用。在这些习题的讲解中,学生透过特殊值的表象看透一般规律的本质,思想的种子在这样的土壤中生根发芽。

图2-1

题目给出的信息很少,读完题目后笔者留给学生三分钟左右的思考时间。

教师:哪位同学能分析一下本题的切入点在哪里?

教师:A同学从形的角度阐述了三角形的变化特征,请大家沿着他的思路来计算。

笔者在巡视的过程中发现许多同学还是无从下笔,便继续追问。

教师:现在计算的难点在什么地方?

学生(齐答):不知道怎么设,未知量太多。

教师:回到图形当中,我们刚才已经看出b,c的变化主要受到垂线段移动的影响,那么a能否变化?它的变化对图像有什么影响呢?

教师:B同学回答得很好,a控制着整体的变化,h控制着局部的变化。请大家根据B同学提供的数据进行计算。

学生D:高AD可以滑动到线段BC的两侧,所以C的答案不严谨。

图2-2

学生(齐答):不能,此时b,c都在增大。

五分钟后不少同学举手表示算出了答案,笔者便请其中的一位同学回答。

教师:非常好,E同学逻辑清晰,计算准确,完美地解决了本题。

笔者正准备对该题进行总结的时候,忽然有一位同学举手提问。

同学F:老师以前总结过解三角形中的范围问题,大多数时候都可以通过边角互换转化为三角函数的范围问题,这题能不能也按照这样的思路解决呢?

教师:F同学给出了很好的方向,大家尝试按照她的思路来解题。

学生(齐答):高为1还没有用。

教师:高与三角形中的哪个量有关?角是否也与这个量有关?能利用这种关系帮助转化吗?

教师:很好。利用角的方法如此简洁,让我们再次体会解三角形的两把利刃——数形结合、边角互换,在变化的图形中找到运动规律的不变性、用同一个角的三角函数值表示不同的边,进而将陌生的问题转化为熟悉的问题。

数形结合思想、转化与化归思想是解决数学问题时的常用思想,尤其是在向量、解三角形、解析几何中,教师要时常从数和形两个角度带领学生分析问题,多问一问:“能不能从不同的角度观察和思考这道题?”而不是就题论题。

二、习题课教学的一些建议

在全面实施新教程新课改的背景下,数学试题的难度、灵活度越来越大,按部就班的讲题模式很难发挥课堂的最大效率。通过一段时间的摸索与尝试,笔者对习题课教学提出以下建议。

(一)讲套路更要讲思想

数学中的习题大多都有套路,讲题的过程中也必然会讲解一些重要题型的套路,但是如果教师直接将套路强行灌输给学生,就会使学生的思维得不到发展,长期下去学生会觉得数学很“玄”。教师在讲题的过程中应该讲清套路背后蕴藏了哪些思想,只有这样学生才能理解套路、掌握套路。

比如在讲解“已知f(x)-2f(-x)=x2+3x,求f(x)解析式”题目时,许多教师会向学生介绍分别代入x,-x后解方程组的方法,学生如果不理解其背后的思想,只会听得云里雾里,觉得方法用得莫名其妙。为此应该渗透从特殊到一般的思想,先求f(1),f(-1)再总结方法,让学生经历方法的形成过程,这样理解才更透彻,记忆才更深刻。

(二)通过变式深入核心

在平时的习题教学中,教师要思考题目考查的背景是什么,要提升学生哪方面的能力,不能仅仅局限于把题目讲完,盲目地追求数量。教师要多对题目进行变式,通过变换题目中的条件或结论,改变问题的表达形式或内容。这些与原题形似的变式题可以让学生触碰到问题的本质,从而更加深刻地理解问题,提升解题质量。

比如在基本不等式的教学中会有这样的习题:

若x,y>0,x+y=xy,求x+y,xy的范围。

教师可以设计如下变式:

变式1:若x,y>0,2x+8y=xy,求xy,x+y的范围。

变式2:x>1,y>2,2x+y=xy+1,求xy,x+y的范围。

变式1可以强化学生对基本不等式三个条件的理解,变式2可以渗透函数的主元思想。

(三)关注学生

苏霍姆林斯基说:“时刻都不忘记自己也曾是个孩子。”在课堂教学过程中教师也应该站在学生的视角,关注学生一方面是指讲题时关注学生的解题情况:学生解题的策略是什么?为什么没有坚持下去?学生遇到的障碍是什么?教师要在心理上完成身份转换,不能一味地站在自身的角度思考问题、讲解问题,要解决学生心中的困惑,帮助学生突破思维障碍。比如上面的变式1中,学生可能会两次运用基本不等式求x+y的范围,并且搞不清楚错在哪里。教师应该关注到学生的难点,从而加深学生对基本不等式相等条件的理解。

关注学生另一方面是指让学生参与到解题活动中来。新课标下的课堂观是学生主体、教师主导,基于此,教师要注重学生掌握知识的心理过程,强调理解性学习,促使学生积极开展智力活动,训练思维,提高能力。在讲题的过程中经常会遇到一些题讲过多次,但是学生依旧出错的情况,主要原因就是忽略了学生的参与。比如概率题(或应用题),我们带着学生分析题目,学生会感到很简单,但是一到考试还是不会。其实我们可以让学生读完题目之后,用自己的话把题目复述一遍,在参与的过程中学生自然就会对题目的条件理解得更加深刻,也就更容易将问题抽象成数学语言。再如教学立体几何时,教师可以让学生将笔作为直线、纸作为面,动一动,转一转,想一想,在一次次动手操作中逐渐培养学生的空间直观想象能力,充分发挥学生的主体作用。只要教师加以引导,效果自然事半功倍。学生充分地参与到解题过程中,发挥思维的主动性,比被动接受印象更深刻,掌握更多的思想方法并提高迁移能力。

三、结语

教之道在于“度”,学之道在于“悟”,习题课教学并不是教师全程和盘托出的“一言堂”,也不是盲目地让学生进行题型和套路的总结。新型的习题课教学要求教师注重与学生一起分析题意,交流解题思路,鼓励学生大胆说出自己的解题思路,了解其思维障碍,然后在适当的时机给予点拨。解题后要带领学生回顾解题过程,总结“题眼”的发现过程、障碍的突破过程、思想的升华过程,在这样的实践中提高学生的读题审题能力、遇到困难问题时的转化化归能力,从而让习题课变成学生能力素养提高的源泉。

总而言之,习题课的教学目标是帮助学生掌握知识,发展思维,提升能力,并不是仅仅让学生弄懂问题,教师要在讲题的过程中及时发现疑难和困惑,并不断地调整习题课教学中的不足,提升自己的专业素养和教学艺术,从而让课堂成为能够开阔学生的思维、启发学生的思想、提升学生的数学素养的“沃土”。