文 |朱荣武

【课前再思考】

《间隔排列》是一节探索规律专题课，旨在让学生经历探索规律的过程，掌握发现规律的基本方法，发展推理意识，提升思维水平。多年来，本课一直是一节“热点课”，研究者众多，但由于立场视角等不同，观点相左者甚多，其中也不乏对教材的质疑批评之声。如今在核心素养观理念下，在尊重、参悟教材的基础上，笔者有如下再思考。

一、精准对标，培育“三会”核心素养

对数学学习而言，核心素养本质上是学生对数学“四基”的学习感悟而内化为心理特征的结果，有意义的数学活动是形成和发展学生核心素养的基本途径。本课中学生通过对间隔排列现象的观察，发现并抽象表达其中稳定的数量关系，接着发现和提出有意义的数学问题，有利于其发展“数学眼光”；学生用一一对应的数学思想解释现象背后的原理，对数量关系做出解释，并以一一对应思想将不同规律类型编织为有意义的认知结构，这就是“数学思维”的运作过程；在理解的基础上经历操作性表征、表象性表征和符号性表征等过程，准确表达规律、建立“模型”，基于模型来解释和解决现实问题，锤炼的是“数学语言”。

二、分解探索过程，发展“规律思维”

规律是事物发展的本质联系和必然趋势的反映，探索发现规律和理解应用规律不仅是学习数学的思维方式，也是人们改造现实世界的行动方式，小学生“规律思维”的发展离不开探索规律的思维活动。教学中采用“小步长程”的方式，引导学生沿着“发现规律、描述规律、质疑规律、验证（解释）规律、表征规律、应用规律、反思规律”的思维路径行走，不仅有利于学生认识和体会探索规律的来龙去脉，还能在积累相关数学活动经验的同时完善探索规律的思维结构。

三、践行“问学”，改善学习方式

“问学”语出《礼记·中庸》——“故君子尊德性而道问学”。“问”代表主动地探索，“学”代表获取知识、经验和方法。教学视域下“问学”即是一种以问题引领的主动的学科实践方式与过程。本课中引导学生基于规律现象的特征不断发现、提出问题，并利用数学思维方法分析和解决问题，有利于其体会“问”与“学”的关系和价值，在提升学习方法水平的基础上形成和发展“自我引领”的学习能力，切实改善学习方式。

【教学再实践】

一、提出问题，理清线索

教师板书课题：间隔排列中的规律

师：看到这个课题，有什么问题要问吗？

生：什么是间隔排列？间隔排列中有什么规律？

生：这个规律有什么用？

教师在课题恰当位置板书“？”并引导：你觉得我们的研究顺序应是什么呢？

生：我觉得应该先研究什么是间隔排列，因为只有知道了间隔排列的样子才能研究它有什么规律，才能知道这个规律的用途。

【设计意图：“问”是探索真理、认识世界的方式。课始之问尽管略显肤浅，但有利于学生明确和聚焦任务，形成价值认同，在理性分析的基础上确定研究的线索，切实营造“问题引领探索”的氛围。】

二、研究问题，探索规律

1.认识一一间隔排列现象

（1）观察场景，描述特征

播放兔子乐园的动画。

师：你发现了什么有意思的现象？

生：每两只兔子中间隔着一个蘑菇，每两只夹子中间隔着一块手帕，每两根木桩中间隔着一块篱笆。

生：除了两头的兔子外，每两个蘑菇之间也夹着一只兔子。另外两组也是这样。

师：了不起！大家一看就发现了有意思的排列。

（2）韵律表达，体会对应

教师借助课件按顺序有节奏地呈现每组中的两种物体，学生边看边小声说，体会排列的特点。

（3）突出本质，建立概念

在描述和体会的基础上，借助直观告诉学生：像这样两种物体一个隔着一个排列，就是一种一一间隔排列，并划去表示“什么是间隔排列”的问号。

【设计意图：“两种物体一个隔着一个排列”是最简单的间隔排列，在观察描述的基础上再用声音展开韵律表达，有利于其不断深化对“一个隔着一个排列”的认识，逐步形成对一一间隔排列概念的内涵建构。】

2.探索两端相同的一一间隔排列中的规律

（1）观察比较，发现描述规律

师：下面我们该来研究“有什么规律”这个问题了。研究事物数量之间的关系可以帮助我们发现规律。在这三组排列中，两种事物的数量有什么关系？

学生借助《学习单》分别研究数量关系。

生：我发现兔子比蘑菇多1，蘑菇比兔子少1。夹子比手帕多1，手帕比夹子少1。木桩比篱笆多1，篱笆比木桩少1。

师：三组的数量关系有什么相同点？

生：都有多1或少1的关系。

生：都相差1。

师：看来在这些一一间隔排列中，两种物体的数量都是相差1的。

（2）质疑规律，提出关键问题

师：学习要善于问个究竟，对这个发现你有什么问题要问吗？

生：为什么会相差1？

生：为什么不是相差2？为什么不是相等？

师：是啊！为什么呢？

【设计意图：同一数量关系不断重复出现则极有可能是规律，在学生初步体会并描述规律的基础上，组织学生质疑并自主酝酿提出问题，既是探索规律的理性之举，也是培养质疑意识和批判性思维之需，同时也在渗透培养审慎和实事求是的科学态度。】

（3）一一对应，体会规律的必然性

师：这个答案会不会就藏在这些排列里面呢？兔子比蘑菇多1是一定的，还是巧合呢？你能想办法让人一看就知道吗？

生：我是把一只兔子和一个蘑菇圈在一起，最后剩下一只兔子没有蘑菇和它组成一组，所以兔子一定比蘑菇多1。

生：我是用连一连的方法，一只兔子连着一个蘑菇，就这样连下去，这时兔子和蘑菇一样多，但最后还剩下一只兔子。所以一定是兔子多1。

师：这真是个好办法。把兔子和蘑菇一对一地圈圈连连，就能发现这里兔子和蘑菇必然相差1。另外两组，你能像这样圈圈连连并说一说吗？

（4）对应推理，体会规律的稳定性

呈现小猴和西瓜的一一间隔排列。

师：西瓜有20个，小猴有几只？如果小猴有100只，西瓜有多少个？

生：小猴有21只。因为把一只小猴和一个西瓜对应，一共有20组，还剩下一只小猴。

生：西瓜有99个。一只小猴和一个西瓜为一组，不够100组只能圈出99组，因为第100只小猴没有西瓜和它对应。

【设计意图：以一一对应的思想为指导，不数而圈圈连连就能比较物体数量多少的经验学生是具备的，只是在现场学生较难自觉激活，所以教师以问题引导学生寻找不数就能看出必然多1的方法，实现难点突破。学生在动作思维的基础上借助直观说理，理解在这种排列里“相差1”是一种必然的现象。进而，增加事物的数量，让学生借助直观想象和演绎推理去表达，在深度思考中体会规律的稳定性。】

（5）模式建构，一一对应表征规律本质

师：像这样的一一间隔排列，我们可以用两种图形来表示它们。（课件出示○和□，并逐步隐去实物图）

师：这里的图形还可以表示什么事物？

生：可以表示大树和路灯、课桌和椅子、窗户和墙等许多物体。

师：是的，把这两种图形一对一地连一连，总会剩下一个图形没有图形与它对应。因此，在这样的间隔排列里，数量总是相差1。

【设计意图：数学是模式的科学，在具象研究的基础上，利用图形抽象建立一般数学模型，抽象化的操作不仅有利于学生理解内在的基本原理，把握本质，还有利于其良好数学认知结构的形成。同时，伴随着数学思维水平的提升，学生探索规律的经验、能力等也得以发展。】

3.研究两端不同的间隔排列，完善规律内涵

（1）动手操作，发现新问题

师：保持10个方片不动，摆放圆片，使它们一一间隔排列。如果让你来摆的话，你需要几个圆片？先想一想再摆。

（学生摆并展示交流）

师：有没有什么新发现？

生：这里方片和圆片的数量不是相差1，是一样多了。

（2）一一对应，研究新问题

师：学习要善于问个究竟，这时你有什么问题要问吗？

生：为什么会一样多呢？

师：是啊，是必然一样多还是巧合呢？

生：是必然一样多。一一对应连一连，这里正好连成了10组，没有剩余。

生：我明白了。如果一一对应正好连成几组的话，数量就一样多；如果一一对应连出几组后还有剩余的话，数量就相差1。

【设计意图：在已有认知的基础上，借助经验、概念、思想等获得新的发现，是人们探索未知世界的一般途径。这里以动作思维和直观观察为基础，学生又一次发现了新现象，教师再一次组织学生提出并探究新问题，实现了用一一对应的思想统整理解一一间隔排列不同类型的目的，在同化和顺应中实现了从知识结构到认知结构的升华。】

三、迁移运用，解释发现

1.一一对应，解决问题

师：公鸡、母鸡分别和小鸡一一间隔排成一行，队伍中间被草丛挡住了。你能知道每支队伍里谁多谁少吗？

师：如果公鸡、母鸡各有57只，那么小鸡有几只？

（学生分别作答并解释）

2.一一对应，解释发现

师：比较每串中两种珠子的个数，有什么发现？

生：每串中两种珠子个数都相等。

生：我是先数再比较发现的。

生：我是一一对应圈一圈，第一个圈6组，第二个圈9组。

生：我是想象着先剪开再拉直，两头肯定是不一样的珠子，所以都可以一一对应正好连成几组。

【设计意图：两个问题情境都给学生应用一一对应的思想创造了机会，在解决问题的过程中学生深刻体会了一一对应思想方法的价值，感受了其力量。同时基于一一对应的结果，学生自然将闭环的一一间隔排列现象纳入到刚刚建立的认知结构中，完成了必要的补充和更新。】

四、回顾反思，再聊“问题”

师：同学们，回顾一下这节课，我们提出和解决了哪些问题？你印象最深刻的是什么？现在你还有什么新问题吗？

【设计意图：问题引领探索，要特别重视通过反思积累思维活动经验。组织学生从发现提出问题的角度、分析和解决问题的策略、鲜活的体验、新问题的诞生等方面展开反思，能不断提高问题引领探索的能力。】

【教后再思考】

在核心素养观理念下，数学教学应处理好核心素养与“四基”“四能”及数学活动的关系。核心素养是学生在“双基”学习过程中，逐步感悟数学基本思想、累积数学活动经验而内化为心理特征的结果。有意义的数学活动是形成和发展核心素养的基本途径，其间“四能”是有效的思维载体。以整体的视角强化“问题引领探索”的教学活动，有利于实现“三会”素养与“四能”“四基”的有机融合，推动学习方式的变革。

一、在发现和提出问题中发展数学的眼光

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出“在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究”等是数学眼光的重要内容。本节课一共五次组织学生发现和提出问题。聚焦课题开展的主题性提问，涵盖概念、内涵、价值等方面，明确而具体，成为探索活动的驱动源。结合“都相差1”的发现提问，是对学生固有学习习惯的重要撞击。因为学生要么对已有发现熟视无睹而无从质疑，要么深信已有发现而无意发问，此时教师有意安排的“提问”一方面逼着学生驻足反观，另一方面也让学生体会到其间真的有问题要问、有问题可问，问题意识和提问方法得以发展。结合“数量一样多”的发现提问，是学生质疑意识的一次强化，学生再次体会到面对新发现仍然要以审慎的态度和探究的精神去提出问题。对“闭环间隔排列”的研究，陈述式的表达实则是更高级的问题提出，借助“一一对应”思想的主动探究，既促进了其认知结构的发展，又感受了数学思想的力量。反思环节对新探究点的提问，不仅能引领学生的思维走向纵深，还能促进其思维经验的积累。无论是针对课题的提问，还是针对探索阶段成果的提问抑或反思提问，都是基于真实情境对规律探索要点的发问，不仅有利于学生洞悉规律内涵，也切实发展了学生的数学眼光。

二、在分析问题过程中发展数学的思维《义务教育数学课程标准（2022年版）》认为数学思维的内涵主要体现在：数学思维的目的是理解和解释现实世界中的数量关系和空间形式；数学思维的运作离不开基本的数学思想方法；数学思维的基本形式是逻辑推理和数学运算；小学阶段的数学思维主要表现为运算能力和推理意识等。本课中的推理思维主要应用在两个方面：一是在分析比较各组排列的数量关系时，以合情推理提出新命题——在这些排列中两种物体的数量相差1。二是在探究新命题的过程中，应用一一对应的思想方法展开了多轮演绎推理，先是用一一对应去圈圈连连直观理解“相差1”的必然性，再通过一一对应去想象推理，体验规律的稳定性，还有在具体情境中用一一对应的思想去做数量关系推断等。学生借助推理和一一对应的思想方法去分析和理解客观现象的数量关系，这一运作过程就是数学思维的发展过程。

三、在解决问题过程中发展数学的语言

数学语言为人们简约、精确、概括地表达提供了可能，模型意识、应用意识是数学语言的重要表现。生活中的一一间隔排列类型丰富而又本质相同。本节课在具象研究的基础上，引导学生多层次利用图形抽象建立一一间隔排列的不同模型，初步经历了用数学语言表达现实世界的过程，并在模式化思维中体会了数学模型对解决问题的价值，发展了主动构建普适模型的意识。在解决问题的过程中，学生多次用一一对应的思想去解释规律的原委、体会规律的稳定性，并在具体情境中应用这一思想做出推断，逐步完善认知结构，数学语言在模型构建和思维表达中得以发展。