张星

[摘  要] 高中数学教学犹如包含教学设计、教学过程与教学反思的三套马车. 教学设计是一项复杂的教学技术，对教学成效有着直接影响. 巧妙构思，优化教学设计是每个教师必备的基本技能. 研究者摘录了几位青年教师在“等比数列的前n项和公式”教学中“教学情境与公式推理”的几个片段，具体谈谈优化教学设计的方法.

[关键词] 教学设计;方法;情境

今年，本校青年教师“教学比武”中，有几位教师不约而同地选择了“等比数列的前n项和公式”教学. 笔者近距离学习观摩了教师们的表现，产生了一些思考. 现摘录“情境创设与公式推导”的几个教学片段，对教师们的构思与设计谈一孔之见.

情境创设

创设丰富的教学情境是激发学生学习兴趣的一种重要策略，也是为学生提供学习素材与知识背景的基本手段[1]. 创设良好的情境可为枯燥的高中数学教学增添不少色彩，使得抽象的知识变得生动，有效引发学生主动思考与探索.

1. 情境片段摘录

情境1：穷人跟富人借钱，富人提出，第一天借一万元给他，但穷人需还1分钱;第二天借两万元给他，穷人需还2分钱;第三天借三万元给他，穷人需还4分钱，以此类推，富人每天借给穷人的钱比前一天多一万元，而穷人每天还给富人的钱是前一天所还钱的两倍，到30天时互不相欠. 聪明的你们，帮他们算算在这场交易中，谁是获利的一方？

情境2：印度是国际象棋的发源国，当时国王准备奖励象棋的发明者，谁知发明者所提出的奖励让大家大跌眼镜. 发明者希望国王赏给他一些麦子，麦子的数量为：在棋盘的第一格中获得一粒麦子，第二格中获得两粒麦子，第三格中获得四粒麦子，以此类推，棋盘上共有64格，每一格的麦子数量为前一格的两倍. 大家算一算，国王究竟要奖励给这位发明者多少麦子.

情境3：教师取出一堆小棒，带领学生一起玩游戏，将小棒分成15堆进行摆放. 第一堆放1根，第二堆放2根，第三堆放4根，后面的每一堆都是前一堆的两倍，请大家快速计算出这15堆小棒的总量.

2. 对比分析

观察以上三个情境，这些都是大家耳熟能详的内容，创设这几个情境的效果在本节课究竟如何呢？真正有价值的情境，不仅是促进学生学习的认知背景，更是激发学生学习热情的导火索.

情境1雖然成功地吸引住了学生的注意力，但又不可避免地少了点“数学味”，尤其对于高中生而言，有些内容未必幼稚了些. 一些自控力较差的学生，不由自主地将注意力转移到了故事情境中（有趣），但对于故事里所折射出来的“理”往往视而不见，也就弱化了利用数学知识来分析与研究具体问题的意图.

多位教师应用了情境2，从中也能看出教师对于渗透数学文化已经有所觉察，但学生对于这个情境也很熟悉，俗话说“熟悉的地方看不到好风景”. 此情境的应用，在本节课中并没有达到理想的效果. 观察学生的表现，不难发现该情境并没有激起学生探索未知的动力与热情. 该情境的创设可判定为流于形式的走过场.

想要吸引学生的注意力，激发学生自主求知与探索，让学生充分感受思考的魅力，应着重在“情、理”上下功夫. 有些教师一味地追求趣味、视觉刺激与虚拟化人物的应用等，往往导致教学出现丰富的“境”，但缺少“情”.如一位教师应用情境2时，花了较长时间播放关于国际象棋的知识，看似渲染了课堂气氛，激发了学生的热情. 其实，深层次分析后发现此过程不但没有诱发学生注意本节课的教学内容，甚至还分散了学生的注意力，使得问题的发现与解决缺失了“情”的驱动.

至于情境3，虽为学生所喜欢的游戏，但缺乏具体操作过程，更无撬动学生思维的“点”，属于“无境无情”的败笔. 高中生已经有了一定的抽象思维，于他们而言，过于简单的情境无法达到理想的启发效果. 鉴于此，在没有合适的情境背景下，可直接应用充满“数学味”的问题情境切入主题，反而能起到较好的教学效果. 如本节课，可直接提出问题：S=1+2+22+…+263的值是多少？

3. 优化方案

问题是推动学习的根本，恰到好处地提出具有吸引性、启发性与挑战性的问题是情境创设的主要价值所在，也是衡量所创设的情境是否成功的标准. 因此，在情境创设时，教师应充分开发背景材料，激发学生内心深处解决问题的紧迫之感.

【优化方案1】

情境创设的目的在于吸引学生的注意力、启发思维、训练心智等，那么问题情境形式要结合教学目标、教学内容与学生的认知特点等综合因素. 高中生已经有了较好的抽象逻辑思维，对于与数学本身相关的问题有着较高的思维操作能力，对于知识本身的问题情境有着较强的接受能力. 鉴于此，教师设计问题情境时，可从简约而不简单着手，让学生思索问题时揭示内心困惑，从而更深层次地进行探究.

等差数列与等比数列作为两种特殊数列，学生已经有了大致了解. 在对等比数列的定义、通项公式等已经有了一定认识的基础上，类比等差数列的研究过程，本节课要探讨的问题是什么呢？基于此思考，教师可单刀直入地引入本节课的探讨主题，将学生的注意力集中在“什么是等比数列的前n项和”及“如何求等比数列的前n项和”.

【优化方案2】

在教学中，渗透数学文化是促进学生全面发展的重要手段之一. 本节课的情境创设，可从史料中寻找素材，让学生从多元化角度感知数学文化与历史，以提高学生对数学学科价值的认识.

结合马格尼茨在《算术》中记载的“卖马”素材，创设以下情境：

有一个人想在集市上买一匹马，付给商家156卢布后又后悔了，他认为这匹马不值156卢布，便想把马退给商家. 商家闻言后，提出了一个新的购买方案，即买马蹄上的钉子送马. 具体方案为：马的每个蹄子上都钉着6枚钉子，买者只需支付第一枚钉子戈比（1卢布=100戈比），第二枚钉子戈比，第三枚钉子1戈比，以此类推. 此人一听，觉得用这个购买方案肯定花不到10卢布就能得到这匹马，便欣然同意了. 但付款时他却傻眼了，大家帮他算一算，这笔交易中共花掉了多少钱？

这是一个集趣味性、文化性与价值性于一体的情境，学生分析、探索这个情境后，很快就将精力投入到“等比数列的前n项和”的探究中. 显然，这是一个有血、有肉、有料、有趣的情境，为本节课教学奠定了良好的情感基调.

公式推导

课堂教学设计应充满智慧，让学生的思维卷舒开合、张力十足. 成功的课堂，不仅要有猜想、验证与积极的情感体验，还要有思辨的氛围与“再创造”的机会，让学生亲历知识的形成与发展过程[2]. 本节课的教学重点在于引导学生感受思维的力量，经历公式的推导过程，掌握相应的知识与技能，获得解决问题的能力.

1. 教学片段摘录

第一步，求解“国王奖励”问题.

师：我们求解等比数列1，2，22，…，263的和时，计算实质是什么？

生1：计算实质为：求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项和，列式为S=1+2+22+…+263①.

师：若将式①的两边同时乘公比2，可得到怎样的等式？

生2：2S=2+22+23+…+264②.

师：我们一起来观察式①与式②，它们之间有怎样的关系？通过这两个式子我们能获得S的值吗？

（学生沉默）

师：式②减式①可以把相同的项消除掉，获得结论S=264-1.

第二步，回归到等比数列进行求和.

师：在以上求和过程中，我们通过相邻项关系的突破，消除相同项达到了解题目的. 这种计算方法就是我们常说的“错位相减法”，其适用于一般等比数列求和问题吗？现在我们一起来探讨，将这种方法应用在推导等比数列前n项和公式中：

已知S=a+aq+aq2+…+aqn-1①，在式①的两边同时乘公比q，可得qS=aq+aq2+aq3+…+aqn②.由①-②，得（1-q）S=a-aqn.当q=1时，S=na;当q≠1时，S==. 整理得S=

na，q=1;=，q≠1.（教师特别强调“分类讨论”的注意事项，总结“错位相减法”的过程与步骤，要求学生深刻理解并掌握“乘q、错位、减”等步骤）.

第三步，拓展公式的推导.

师：除了以上方法，大家还有其他的推导方法吗？

当学生还沉浸于思考中时，教师提出：结合等比数列的定义去想. 教师尚未给学生充足的思考空间，接着又讲起了“等比性质法”与“整体代换法”.

2. 分析与优化方案

教材虽好，但呈现给我们的结论都是静止的. 教师应结合学生的身心发展规律，将静止的书本知识转化成动态且富有生命力的问题，鼓励学生在猜想、类比、总结与提炼中体验知識形成与发展的过程，感受数学独有的魅力[3]. 但以上公式推导过程，显然少了一些灵动性，整个过程都以教师传授为主，学生的自主能力未能有效发挥.

（1）渗透从特殊到一般的数学思想

特殊到一般是指从特殊的信息中提取一般规律的过程，也是一个充满创造力的过程. 观察以上教学过程，整个教学步骤看似遵循了学生从特殊到一般的认知发展规律，教师也提出了具有启发性的问题供学生探讨，但并未给学生留下充足的时间与空间去思考，结论由教师直接给出. 学生的思维因缺乏深度思考，而削弱了学习体验，导致归纳与演绎推理过程中的思维断层.

不论是“错位相减法”，还是“等比性质法”，抑或“整体代换法”，都由教师机械式地直接传授给学生，完全忽略了学生自主探索的过程. 鉴于此，笔者设计了以下两个优化方案.

【优化方案1】

引导学生归纳S=20+21+…+2n-1的结论，即S=1，S=3，S=7，…，然后猜想S=2n-1. 在此基础上，教师鼓励学生自主归纳q=3时的结论，即30+31+32+…+3n-1=. 至此，启发学生猜想一般性结论：1+q+q2+…+qn-1=（q≠1）. 等比数列求和公式在学生的自主探索中跃然纸上.

【优化方案2】

等比数列的公比存在两种情形，即q=1与q≠1.

当q=1时，毫无悬念，S=na.

当q≠1时，S=a+aq+…+aqn-1，该怎么求呢？教师可引导学生从项数较少的情况出发，如当n=1，2，3时，S=a，S=a+a=a（1+q），S=a+a+a=a（1+q+q2）. 鼓励学生结合1+q+q2的代数结构进行联想，获得立方差公式的因式，得到S=，回归到n=1，2时，可得S=，S=，那么对S=的猜想应运而生.

（2）探寻“错位相减法”的教学价值

新课标强调：要尊重学生原有的认知水平，尽可能地为学生提供充足的思维活动空间，让学习经历一种思维自然生长的过程. 在教学中，教师若能激活学生的思维，则不仅有助于学生理解与掌握知识和技能，还能让学生发现知识背后的数学思想方法，体会归纳演绎过程，为形成良好的数学观念奠定基础.

学生原有认知体系中，与本节课相关的内容是等差数列前n项和公式的推导方法. 基于此，教师可带领学生先回顾等差数列前n项和公式的推导过程，重温“等差数列形式上的倒序相加，其实结合的是数列项的性质”. 由此，引发学生思考：求等比数列的前n项和，应从哪个角度进行分析？该如何构建公式？能否参考等差数列求和时应用的“倒序相加法”，获得一个常数列呢？

当学生深入分析与探索以上问题后，教师还可以鼓励学生在原有基础上延伸思维，通过其他途径找到公式的推导方法. 如从等比数列的定义出发，累加等式a+a+…+a=q（a+a+…+a）. 这种方法显然比直接构造方程更合理，与学生的最近发展区也更契合. 随着探究的逐渐深入，以及创新方法的应用，学生不仅能体会到方程思想的妙处，还能辩证地认识各种解决方法之间的联系，学生的数学核心素养在自主探索中也能得以有效发展.

教学思考

数学思想方法一般隐含在知识内部或数学概念、定理的形成过程中，而精心编拟的教材常常会掩盖知识产生、发展过程中所蕴含的思想方法. 教师应着力于知识规律的发现与探索，优化教学设计，为学生的思维打开一扇窗，启发学生思维发展，让学生通过自主思考、探索，发现知识的形成过程，感知其中所蕴含的数学思想方法等，将深层次的知识与思维的潜形态转化为显形态.

总之，站在一定高度的课堂教学设计，不仅能为课堂打开一扇窗，还能为学生的思维提供更广阔的空间，让学生感知、体验、领悟教材所呈现的结论外，享受教育带来的愉悦感.

参考文献：

[1] 何克抗. 建构主义的教学模式、教学方法与教学设计[J]. 北京师范大学学报（社会科学版），1997（05）：74-81.

[2] 周琦. 核心素养理念下的数学变式教学——以“找规律”的教学设计为例[J]. 数学教学通讯，2020（20）：40-41+45.

[3] 任全红. 数学教学设计视角：关注数学思维过程[J]. 教学与管理，2013（36）：108-110.