袁伟斌，王惠文

（云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500）

为了处理不确定、模糊的决策信息，模糊决策理论已发展成为一个研究热点。自Zadeh[1]首次提出模糊集理论以来，各种不同拓展形式的模糊集相继被提出。Atanassov[2]加入了非隶属度的特征，定义了直觉模糊集。Torra[3]引入了犹豫模糊集的概念，允许隶属度有多个可能值，更客观地反映人的犹豫程度。在此基础上，Zhu等[4]提出了对偶犹豫模糊集理论，既加入了非隶属度的特征，又考虑了决策者的犹豫程度，是对直觉模糊集和犹豫模糊集的拓展，从而也是目前研究的热点之一。对偶犹豫模糊集在实际决策问题中应用也很广泛，如模式识别[5]、投资选择[6-7]、教学质量评价[8]、网络信息安全[9]和分配问题[10]等。

在多属性决策问题中，距离测度是一重要指标。Su等[5]提出了基于扩展原则的对偶犹豫模糊集的距离公式，需要人为扩展元素，从而无法还原真实信息。Chen[11]和Zhang[12]引入了不同的距离公式，避免了人为扩展。但上述这些距离度量在实际问题中仍有可能出现无法识别的情况。因此，本文提出了新的对偶犹豫模糊距离的公理性质，并给出基于改进犹豫度的新型对偶犹豫模糊距离公式，最后通过一个数值算例证明其合理性。

1 预备知识

为便于分析，记A(xi) ={hA(xi),gA(xi)}为对偶犹豫模糊元。

定义2[5]设A、B是集合X={x1,x2,…,xn}上的两个对偶犹豫模糊集，则A、B间的距离d(A,B)满足以下条件：

1）0 ≤d(A,B) ≤1；

2）d(A,B) =d(B,A)；

3）d(A,B) = 0当且仅当A=B。

基于上述距离的定义，Su等[5]提出对偶犹豫归一化Hamming距离：

定义3[5]设A、B是集合X={x1,x2,…,xn}上的两个对偶犹豫模糊集，则A、B间的对偶犹豫Hamming 距离为

从公式（1）可知，计算时需要人为添加元素达到元素个数相同，从而会导致信息失真。因此，Chen等[11]提出了不同的对偶犹豫Hamming距离如下：

公式（2）避免了人为扩展的问题，但在实际问题中，仍可能出现无法识别的情况。

例1设X={x},A,B,C∈DHFS(X)，其中

则由公式（1）可得d1(A,C) =d1(B,C) = 0.066 7，由公式（2）可得d2(A,C) =d2(B,C) = 0.041 7，可知上述两个公式都无法识别出C距离A更近还是距离B更近，因此有必要重新考虑其距离测度问题。本文将提出基于隶属度与非隶属度完全偏差及犹豫度偏差的对偶犹豫模糊距离测度。

2 新型对偶犹豫模糊集距离测度

定义4设X={x1,x2,…,xn},A,B,C∈DHFS(X)，定义d为对偶犹豫模糊集距离测度，其应满足如下条件：

1）0 ≤d(A,B) ≤1；

2）d(A,B) =d(B,A)；

3）d(A,B) = 0当且仅当hA(xi)=hB(xi),gA(xi)=gB(xi),l(hA(xi))=l(hB(xi)) =l(gA(xi))=l(gB(xi))=1；

4）d(A,C) ≤d(A,B) +d(B,C)，其中l(hA(xi))、l(hB(xi))、l(gA(xi))、l(gB(xi))分别表示hA(xi)、hB(xi)、gA(xi)、gB(xi)中的元素个数。

定义5设A∈DHFS(X),∀xi∈X,则对偶犹豫模糊元A(xi) ={hA(xi),gA(xi)}的对偶犹豫度定义为

定义6 设X={x1,x2,…,xn},A,B∈DHFS(X),则A、B间犹豫度偏差广义距离定义为

其中λ∈[1, + ∞)。

受文献[13]启发，A、B间隶属度完全偏差广义距离记为

A、B间非隶属度完全偏差广义距离记为

结合上述隶属度完全偏差、非隶属度完全偏差以及犹豫度偏差3个信息维度，本文给出新型对偶犹豫模糊集距离测度如下：

定义7设X={x1,x2, …,xn},A,B∈DHFS(X)，则A、B间对偶犹豫广义距离定义为

其中参数α,β,γ∈[0, 1],α+β+γ= 1。

由于不同属性之间也有一定差异，因此有必要将不同属性的权重考虑在距离测度中。

定义8设X={x1,x2, …,xn},A,B∈DHFS(X)，则A、B间犹豫度偏差广义加权距离定义为

A、B间隶属度完全偏差广义加权距离记为

A、B间非隶属度完全偏差广义加权距离记为

定义9设X={x1,x2, …,xn},A,B∈DHFS(X)，则A、B间新型对偶犹豫广义加权距离定义为

其中参数α,β,γ∈[0, 1],α+β+γ= 1。

引理1 （Minkowski不等式）任给(a1,a2,…,an),(b1,b2,…,bn) ∈Rn,λ≥1,则有

定理1设X={x1,x2,…,xn},A,B,C∈DHFS(X)，则ddhg(A,B)满足定义4中的4条性质。

证明设。

1) 由于hA(xi),gA(xi),hB(xi),gB(xi),uA(xi),uB(xi) ∈[0, 1],

从而有

故有

从而有

又由α,β,γ∈[0, 1],α+β+γ= 1，故有0 ≤ddhg(A,B) ≤1，因此性质（1）满足。

2) 由于ddhg(A,B) =ddhg(B,A)显然成立，故性质（2）满足。

3) 充分性：若ddhg(A,B) = 0，则有

从而可得hA(xi) =hB(xi),gA(xi) =gB(xi),且l(hA(xi)) =l(hB(xi)) =l(gA(xi)) =l(hB(xi)) = 1。

必要性：反之显然成立。故性质（3）满足。

4) 结合引理1，可知

同理可证dh(A,C)和du(A,C)也满足三角不等式。

又ddhg(A,B) =αdh(A,B) +βdg(A,B) +γdu(A,B)，故有

因此性质（4）满足。

综上所述，ddhg(A,B)满足定义4中的4条性质。

例2设A、B、C为例1 中的DHFS，根据上述距离公式（4），并取λ= 1,α= 0.5,β=γ= 0.25,可计算得ddhg(A,C) = 0.097 2,ddhg(B,C) = 0.108 3，因此可识别出C距离A更近。

3 数值算例

3.1 决策步骤

本文根据TOPSIS决策方法的思想给出一种基于上述新型对偶犹豫模糊距离测度的多属性决策方法，具体步骤如下：

Step 1构建对偶犹豫模糊决策矩阵D=(rij)m×n，rij=(hij,gij)为对偶犹豫元，表示备选方案Ai(i=1, 2, …,m)关于属性Cj(j= 1, 2, …,n)的评估值。

Step 2确定不同属性的权重wk(k= 1, 2, …,n)。

Step 3根据决策矩阵确定相应的对偶犹豫模糊正理想解A+和对偶犹豫模糊负理想解A-，公式如下：

其中γij∈hij,ηij∈gij,i= 1, 2, …,m,j= 1, 2, …,n。

Step 4计算各备选方案的贴近系数，贴近系数公式如下：

其中i= 1, 2, …,m,ddhgw(Ai,A-)表示Ai与负理想解A-的距离，ddhhw(Ai,A+)表示Ai与正理想解A+的距离，ddhgw(Ai,A-)和ddhgw(Ai,A+)由公式（4）得到。

Step 5根据贴近系数Ri(i= 1, 2, …,m)，将方案Ai(i= 1, 2, …,m)进行排序，贴近系数越大则方案越优。

3.2 算例分析

重新考虑文献[14]中的例子。为提高国内航空公司的服务质量，民航局成立一个决策委员会，评估北方航空(A1)、南方航空(A2)、东方航空(A3)和厦门航空(A4)4 个航空公司。决策委员会根据预订和票务服务(C1)、安保和登机服务(C2)、客舱服务(C3)和响应服务(C4)4个主要属性对4个航空公司进行评估。决策委员会使用对偶犹豫模糊数对各属性下的4个航空公司进行评估，各属性评估值如表1所示。

表1 对偶犹豫模糊评价值Table 1 Dual hesitant fuzzy evaluation value

由以上的对偶犹豫模糊评价值，将提出的基于对偶犹豫模糊距离的多属性决策方法应用于航空公司服务质量评价问题。根据上述的决策步骤，具体求解过程如下：

Step 1构建对偶犹豫模糊决策矩阵

Step 2确定属性Cj(j= 1,2,3,4)的权重为w1= 0.25,w2= 0.25,w3= 0.3,w4= 0.2。

Step 3由决策矩阵可得正、负理想解为

Step 4首先计算各方案与正、负理想解的距离，根据公式（4），令λ= 1,α=,计算得

再由贴近系数公式计算得

Step 5最后根据贴近系数大小，对各方案进行排序为：A4>A1>A3>A2。因此A4为最佳方案。这与文献[14]中的排序结果A1>A4>A3>A2有所差异，说明使用不同的距离测度会影响最终的排序结果。

3.3 参数偏好分析

参数α、β、γ分别表示决策者对隶属度完全偏差、非隶属度完全偏差、犹豫度偏差的偏好程度。以下通过对α、β、γ的不同取值来体现决策者的不同偏好（表2）。

表2 不同偏好对排序结果的影响Table 2 The effect of different preferences on sorting results

从表2可知，对于决策者不同的偏好程度，方案排序会略有变化，但最佳方案始终没有改变，从而也说明了本文决策方法的合理性。

4 结论

本文针对现有距离测度的局限性提出了新型对偶犹豫模糊集距离测度，将对偶犹豫模糊集的犹豫度偏差考虑在内，从而增加了一个信息维度，能够更全面地利用数据信息，以及加入偏好参数，可体现出不同决策者的偏好。此外，结合TOPSIS方法，给出基于新型对偶犹豫模糊集距离的决策步骤并应用于航空服务质量评价，通过对参数的偏好分析验证了新距离测度的有效性和合理性。