聚焦参数方程在解题中的应用

2023-09-11四川省绵阳实验高级中学

中学生数理化(高中版.高考数学) 2023年6期

■四川省绵阳实验高级中学冯欢

参数方程是高中阶段的选修内容,在考题中常聚焦于直线与圆锥曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化,以参数方程为载体考查直线与圆锥曲线的位置关系,进一步研究最值、范围等问题。这些是命题的焦点,但是试题难度均不大。若将参数方程灵活地应用于圆锥曲线中,则会大大降低解题难度,拓宽解题思路。下面结合最新模拟试题介绍参数方程在解题中的应用,仅供复习参考。

一、以参数方程为载体的圆锥曲线的几何问题

例1(多选题)已知椭圆1上有一点P,F1,F2分别为椭圆C的左焦点和右焦点,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则下列选项正确的是( )。

A.若θ=60°,则

评注:解决椭圆中的焦点三角形问题一直是一个热点,特别是涉及面积问题,这时我们要灵活运用椭圆的定义、余弦定理等。本题在判断D 选项时需要求长度,该长度很特殊,与矩形的顶点坐标相关,这时我们可以用参数表示坐标,转化为三角函数问题,通过配角求最值。

二、以参数方程为载体的圆锥曲线的最值问题

1.万变不离“参数法表距离”之椭圆国的参数应用

评注:对于该问题,首先要弄清楚已知条件,从平方和等于0 可以得到两个平方分别为0,这时得到对应的两个点分别在直线和椭圆上。本题就转化为求椭圆上的点到直线的距离的最小值,这类问题的解决方法通常是切线法和参数法,切线法的计算量偏大,所以参数法是我们的优选方法。写出椭圆的参数方程,表示出椭圆上的点到直线的距离,再转化为三角函数求最值或值域问题。

2.万变不离“参数法表距离”之抛物线国的参数应用

例3在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;

(2)设P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最值。

评注:参数方程与普通方程的互化通常用cos2α+sin2α=1。

3.万变不离“参数法表距离”之圆国的参数应用

(1)求曲线C的轨迹方程,并判断轨迹的形状;

(2)设P为曲线C上的动点,且有O(0,0),A(1,0),求|PO|2+|PA|2的最大值。

解析：(1)消去参数θ,有(x+1)2+(y-2)2=(3cosθ)2+(3sinθ)2=9,即曲线C的轨迹方程为(x+1)2+(y-2)2=9,轨迹是以（-1,2）为圆心,3为半径的圆。

(2)设点P的坐标为(3cosθ-1,3sinθ+2),则|PO|2+|PA|2=(3cosθ-1)2+(3sinθ+2)2+(3cosθ-2)2+(3sinθ+2)2=18cos2θ+18sin2θ-18cosθ+24sinθ+13=6(4sinθ-3cosθ)+31。

又因为4sinθ-3cosθ=5sin(θ-φ)∈[-5,5],其中φ为锐角,且,所以|PO|2+|PA|2的最大值为61。