■江苏省靖江市斜桥中学 周琳娟

柯西不等式是不等式选讲部分中的重要不等式之一,是该选修部分的主要内容之一,也是历年高考数学试卷中的重要考点与热点之一,题目创新新颖,常考常新,形式多样,变化多端。在高考数学试卷中,经常借助柯西不等式来求解相关代数式的最值问题,以及对应不等式的证明问题等。

一、最值求解问题

应用柯西不等式求解最值问题时,其关键是构建条件与结论之间的联系,通过合理的恒等变形与配凑转化,使之符合柯西不等式的结构,利用柯西不等式来转化所求的代数关系式,联系条件来确定对应的最值问题。

例1已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|。

(1)求不等式f(x)≥3的解集;

(2)记函数f(x)的最小值为m,若a,b,c均为正实数,且,求a2+b2+c2的最小值。

分析：根据绝对值不等式得出函数f(x)的分段函数表达式。(1)根据分段函数进行分类讨论就能求出不等式f(x)≥3的解集;(2)利用分段函数的图像与性质确定f(x)的最小值,进而确定参数m的值,即得到对应关系式,利用柯西不等式的转化来确定相关代数式的最小值。

点评:涉及代数式的最值求解问题,关键是合理构建已知条件与所求代数式之间的联系,合理配凑符合柯西不等式应用的结构特征,从系数、参数等不同视角加以合理变形与转化,进而利用柯西不等式来确定相关代数式的最值问题。

二、不等式证明问题

应用柯西不等式来证明不等式问题时,其关键是恰当变形,化为符合柯西不等式的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可应用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大,从而证得对应的不等式成立。

例2(创新题)已知正数x,y,z满足x+y+z=1。求证:

分析：(1)结合所要证明的不等式,引入一次线性关系式进行配凑,利用柯西不等式加以转化,并利用不等式的性质与恒等变形来证明对应的不等式成立;(2)通过巧妙引入(x2+y2+z2)2,利用柯西不等式的转化,并结合基本不等式的应用加以综合,进而合理巧妙证明对应的不等式成立。

点评:涉及不等式的证明问题,关键是厘清不等式两边的关系,认清其内在的结构特征,以及所要证明不等式的适当变形与转化,借助常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等形式,合理配凑运用柯西不等式的条件,进而加以合理证明不等式成立。

三、综合应用问题

应用柯西不等式来解决一些综合应用问题时,涉及最值求解、不等式证明,以及多个知识点之间的交汇与融合等,其关键还是厘清柯西不等式的结构特征及所要求解问题之间的联系,合理转化,巧妙配凑。

(1)求m的值;

(2)对于任意的x∈D,求证:f(x)≤g(a,b,c)。

分析：(1)先求出函数的定义域,借助柯西不等式进行变形与转化,确定函数的最大值,进而得以确定参数m的值;(2)借助换元处理,令b+c=x,c+a=y,a+b=z,将函数g(a,b,c)加以恒等变形与转化,利用基本不等式确定对应的最小值,并结合f(x)的最大值,得以证明对应的不等式成立。

点评:涉及综合应用问题,同样是适当改变一些相关条件中的多项式的形态结构特征,对比柯西不等式的应用形式进行适当放缩与变形处理,并会结合条件进行必要的恒等变形与巧妙转化,综合其他相关知识,来达到利用柯西不等式解决综合应用问题的目的。

作为不等式选讲中的基本知识点之一的柯西不等式,是高考的基本考点之一,是重要不等式中一个比较常用的不等式。在实际利用柯西不等式求解相关代数式的最值、不等式的证明及综合应用等问题中,经常要进行结构特征的对比与关系式的巧妙处理,合理应用凑项、拆项、分解、组合等技巧策略,确保不等式成立时等号成立的条件,进而利用柯西不等式来解决相关的问题。