■陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学 杨晓乾

坐标系与参数方程作为选做题,由于难度不大,极易被考生选择。本题第一问考查内容多为方程互化,第二问常利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中ρ,θ的几何意义来解决问题,内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等。本文例析坐标系与参数方程问题中的常见解题策略,以求帮助同学们找到“破题”入口,顺利解答。

一、利用参数的几何意义“破题”

点评:一般地,遇到直线与曲线交于两点,常常是将直线参数方程的标准形式代入曲线方程,得到关于t的一元二次方程,再结合根与系数的关系及参数t的几何意义求解,属于常规题。当然本题也可将直线和曲线的参数方程都化为普通方程来解决。

例2在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=

(1)求曲线C的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;

(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,线段AB的中点为M,若点P的直角坐标为(2,1),求的值。

二、利用参数方程或极坐标方程巧设点的坐标“破题”

例3已知曲线C的参数方程为,以平面直角坐标系的坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。

点评:本题第(1)问利用椭圆的参数方程设出点M(2cosα,sinα)是关键,这样就将问题转化为三角函数的最值求解;第(2)问利用OP⊥OQ的特点和极径的几何意义,巧设点P,Q的极坐标,大大简化了运算。

(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;

(2)求曲线C1上的动点到曲线C2的距离的取值范围。

点评:本题中在将曲线C1的参数方程化为普通方程时极易出错,三种方程的互化要注意其等价性,否则就算第(2)问巧设点的坐标,最后结果也是错误的,这一点同学们要足够重视。

三、利用极坐标的几何意义“破题”

例5在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为曲线C的方程为x2+y2+8y+7=0。以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系。

(1)求直线l及曲线C的极坐标方程;

(2)设直线l与曲线C相交于M,N两点,满足||OM|-|ON||=2 5,求直线l的斜率。

点评:在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,大多数情况下是将参数方程和极坐标方程化为普通方程后求解,或者直接利用参数方程和极坐标方程的几何意义求解。本题只要准确理解极坐标中极径和极角的含义,就能迎刃而解。

(1)求曲线C的极坐标方程;

点评:本题具有一定的综合性,不但考查了极坐标方程与普通方程的正确转化,而且考查了极坐标中点的坐标的设法,以及极径、极角意义的灵活应用。

总之,在复习过程中,要正确理解核心概念,熟练掌握基础知识与技能,注重思想和方法的总结,强化参数方程中参数的几何意义,极坐标中极径、极角的探究应用,学会与圆锥曲线、三角函数等知识的有机整合,增强解决坐标系与参数方程问题的信心和能力,从而达到快速“破题”的效果。