霍普金森压杆整形器模型

2023-08-08苗飞超张向荣李东伟江涛周霖

兵工学报 2023年7期

苗飞超, 张向荣, 李东伟, 江涛, 周霖

(1.安徽理工大学化学工程学院, 安徽淮南 232001; 2.北京理工大学机电学院, 北京 100081;3.重庆红宇精密工业集团有限公司, 重庆 402760)

0 引言

霍普金森杆广泛应用于测试材料在高应变率条件下的力学性能。当采用霍普金森杆对试样进行测试时,试样应处于应力平衡和常应变率状态。然而,在采用传统的霍普金森杆对炸药材料进行测试时,试样两端很难达到应力平衡[1]。这主要是因为炸药属于准脆性材料,其失效应变很小,可能在材料失效时还未达到应力平衡状态。此外,常应变率状态要比动态应力平衡更难实现。采用霍普金森杆对炸药材料进行测试时,斜坡型的入射波是合适的,因此需要对传统的霍普金森杆产生的矩形波进行整形。三杆技术[2]、异型子弹[3]和整形器[4]都可以对入射波波形进行调整。在入射杆和子弹之间添加整形器是最简单、实用的入射波整形方法。整形器的塑性变形能够增加入射波的应力上升时间,有利于实现应力平衡和常应变率。

采用整形器调整入射波波形的试验方法已经成功应用于测试金属、橡胶和混凝土等多种类型材料[5-7]。整形器不仅应用于传统的霍普金森压杆(SHPB),还应用于霍普金森拉杆[8]装置,用来测试材料的动态拉伸性能以及控制入射波卸载段的波形[9]。整形器的材料要根据待测试样的力学性能选择,铜具有优良的延展性,是最常用的整形器材料[10]。在某些特殊情况下,还会采用两种不同材料整形器组合形成的复合整形器[11]。整形器增加了入射波的上升时间,使得试样两端应力平衡变得简单,然而实现常应变率要相对困难。为实现常应变率,需要合理设计试验条件如整形器材料和尺寸以及子弹的速度和长度。LS-DYNA和Abaqus等商业软件也被应用于研究整形器对入射波波形的影响[12-14]。然而,采用数值模拟的方法进行试验设计时,需要知道待测试样的力学性能,这正是需要试验测量的。因此,依然需要采用试错法对待测试样进行试验,以确定合适的试验条件。

Nemat-Nasser等[15]基于一维应力波理论首次建立了整形器理论模型,模型假设整形器是塑性不可压缩的,在变形过程中处于应力平衡状态,并采用幂律型响应函数描述整形器的应力-应变关系,预测了整形器变形对入射波波形的影响,计算值与试验值吻合较好。Frew等[16]进一步考虑了整形器的大变形和弹性卸载,使得模型可以预测更加真实试验条件下的入射波波形。但是,采用模型预测需要给定整形器卸载发生的阶段。整形器在不同阶段卸载,控制方程也有所不同。然而,在进行计算之前并不知道整形器的卸载时间。因此,Nemat-Nasser模型和Frew模型扩展到双整形器时,不能预测整形器卸载段的变形情况[17],也就得不到完整的入射波波形。在入射杆撞击端粘贴整形器后,相同长度的子弹产生的入射波长度增加,粘贴在杆中部的应变片记录的入射波和反射波信号可能发生叠加。因此,预测完整的入射波波形可以避免信号叠加的发生,对试验数据的有效性至关重要。

本文基于应力波理论分析一维应力波在子弹-整形器-入射杆中的传播过程,充分利用波的叠加原理构建整形器变形控制方程,据此建立能够预测预测完整入射波波形的整形器模型。采用T2纯铜作为整形器材料,开展SHPB试验和整形器试验,标定T2纯铜在一维应力状态下的本构模型。通过对比模型预测值和试验值验证模型的可行性和预测结果的准确性。

1 整形器模型

1.1 单整形器

采用Nemat-Nasser等[15]和Frew等[16-17]的假设,认为整形器是塑性不可压缩的,并且在变形过程中处于应力平衡状态,则有

(1)

(2)

式中:a0和a分别为整形器初始时刻和当前时刻的横截面积;eps(t)为工程应变;σin、σst、σps分别为入射杆、子弹和整形器的应力(压正拉负);A为霍普金森杆的横截面积。整形器的应力σps是工程应变eps的函数,因此式(1)和式(2)建立了σin和eps的关系。整形器的工程应变率为

(3)

式中:h0为整形器初始厚度;v3和v4分别为子弹/整形器界面和整形器/入射杆界面质点3和质点4的速度(见图1),可以通过对应力波的传播过程进行分析得到,从而进一步得到入射波σin。图1中,1、2、3和4分别为子弹左侧界面、入射杆右侧界面、子弹/整形器界面和整形器/入射杆界面。

图1 单整形器示意图

1.2 波传播过程分析

整形器的厚度远小于子弹和入射杆的长度,而且铜的声速较高,波在其中的传播时间较短,可以认为整形器两端应力平衡,因此应力波在整形器中的具体传播过程可以不用考虑[16]。子弹以速度v0撞击粘贴在入射杆撞击端的整形器上,产生幅值相同、方向相反的压缩波,传入子弹和入射杆中。传入子弹中的压缩波在子弹自由面处反射一个拉伸波,向子弹撞击端传播。由于整形器为弹塑性材料,而且在变形过程中其横截面积逐渐变大,传入子弹的压缩波并非矩形波,进而子弹撞击端反射的拉伸波并不能将子弹中的应力卸载至0 MPa。

图2 应力波在子弹-整形器-入射杆中的传播过程示意图

相邻两次反射的时间间隔τ=2Lst/cb,其中Lst为子弹长度,cb为霍普金森杆的声速。子弹和入射杆均为线弹性的,则在[nτ,(n+1)τ]时间段,对应力和质点速度增量应用叠加原理,可得

(4)

(5)

(6)

(7)

动态连续性条件[18]给出Δσ=±ρbcbΔv,ρb为霍普金森杆的密度,负号表示左行波,Δv为质点速度增量。利用动态连续性条件以及式(5),可以将式(6)和式(7)改写为

(8)

(9)

至此已经得到了v3和v4的表达式(式(8)和式(9)),将其代入式(3)中,就可以得到整形器应变率

(10)

(11)

等号右侧第2项可以按照式(11)格式展开如下:

(12)

然后,将式(12)代入式(11)中,得

(13)

重复以上两个步骤,直至式(11)等号右侧第2项消去,最终得到

(14)

最后,将式(14)、式(1)和式(2)代入式(10)中,得到整形器工程应变的表达式:

(15)

式中:整形器应力σps是整形器工程应变eps函数,则求解此常微分方程就可以得到eps。进而可以根据式(1)和式(2)得到入射波波形σin(t)。

在以上入射波波形表达式的推导过程中只用到了应力波基本原理。这些基本原理在一维应力条件下普遍成立,不会因为整形器处于加载阶段还是卸载阶段而有所改变。因此,由式(15)、式(1)和式(2)可以计算得到包含加载段和卸载段的完整入射波,而不必像Nemat-Nasser等[15]和Frew等[16]的模型一样对卸载段单独处理,而且在不同阶段卸载对应不同的公式。在双整形器和多整形器情况下,这种优点体现得更加明显。

1.3 双整形器和多整形器

对脆性材料而言,合理地调整整形器尺寸和其他试验条件,可以使试样处于应力平衡和常应变率状态。但是,当待测试样为金属材料时需要两个整形器[19]。两个整形器一般采用两种不同的材料,其中一种材料强度较高如钢,另一种材料强度相对较低如铜。两个整形器用一个可以近似为刚体的高强度、高硬度的金属圆片隔开。两个整形器和金属片的相对位置如图3所示。图3中,3、4、5和6分别为子弹/整形器1界面、整形器1/金属圆片界面、金属圆片/整形器2界面和整形器2/入射杆界面。

图3 双整形器示意图

两个整形器的工程应变率表达式为

(16)

(17)

式中:上标1和2表示整形器编号;v5(t)和v6(t)分别为金属圆片/整形器2界面和整形器2/入射杆界面的质点速度。隔开两个整形器的金属圆片硬度高、强度高,可以将其作为刚体处理,则金属圆片两端质点速度相同,即v4(t)=v5(t)。将此式代入式(16)和式(17)中,得

(18)

式中等号右侧的质点速度项可以按照1.1节的方法消去,消去此项后的表达式为

(19)

(20)

以上双整形器的推导过程很容易扩展到多个整形器的情形。类似于式(19)和式(20),多整形器的控制方程为

(21)

式中:M为整形器个数。为方便求解式(21),开发了多整形器(MPS)代码。MPS采用输入文件的形式,将杆件信息和整形器的材料特性输入到文件中。

2 SHPB与整形器试验

为采用整形器模型对入射波波形进行预测,首先需要知道整形器的应力-应变关系。在一维应力状态下,可以采用简单的幂函数表达式

(22)

描述整形器的应力-应变关系。式中:εen为工程应变;σ0、n和m均为待标定参数。

为得到T2纯铜的真应力-工程应变关系,对T2纯铜样品进行标准SHPB试验,并对不同尺寸的T2纯铜进行整形器试验。试验在重庆红宇精密工业集团有限公司动态加载实验室完成。试验采用钢杆对T2纯铜进行测试,使得T2纯铜应变尽可能大,进而扩展整形器的应力-应变关系的适用范围,提高整形器的预测能力。SHPB的杆件材料参数如表1所示。SHPB试验采用的样品尺寸分别为φ5.0 mm×2.5 mm和φ5.0 mm×5.0 mm,相应的应变率分别为5 000 s-1和3 500 s-1,试验结果如图4所示。

表1 杆件材料参数

图4 T2纯铜的真应力-工程应变关系

整形器试验给出每次试验整形器的峰值应力和峰值应变。由式(1)和式(2)可知,整形器中的峰值应力可以由应变片记录的入射杆的峰值应力计算。

整形器的峰值应变则不能直接测量。但是整形器由峰值应力减小到0 MPa的过程中,整形器弹性卸载,相应的变形可以忽略。计算时取T2纯铜的弹性模量为100 GPa,在试验的应力范围内忽略弹性卸载变形导致的误差小于2%。因此,在试验后回收整形器测量其尺寸就可以计算峰值应变。每发试验可以得到1个试验点,针对T2纯铜进行了多发试验,试验结果如图4所示。

对图4中T2纯铜的SHPB和整形器试验结果进行标定,标定的参数为σ0=435.6 MPa,n=0.113 8,m=3.447。参数标定完毕后,可以采用模型对子弹撞击整形器所产生的入射波进行预测。图5 计算了两种不同工况下的入射波波形并与相应试验波形进行了对比。试验采用钢杆,子弹长度为200 mm。两种工况下子弹速度和整形器尺寸分别为:工况1,子弹速度8.03 m/s,整形器尺寸φ3.0 mm×1.6 mm;工况2,子弹速度9.48 m/s,整形器尺寸φ5.0 mm×2.5 mm。由图5可以看出,两种工况条件下,模型预测的入射波峰值点和卸载点等特征点均与测量值的偏差较小,入射波波形与试验测量波形整体吻合较好,验证了整形器模型的可行性和整形器应力-应变关系参数标定的准确性。

图5 两种不同工况下MPS计算值与试验值对比

为了分析子弹撞击过程中整形器的变形特性,图6给出了工况1条件下200 mm钢杆撞击整形器时,整形器两个端面的质点速度和工程应变随时间的变化情况。由图6可见:子弹撞击整形器后,v3>v4,故整形器开始发生压缩变形,应变增加的同时应力也在增加,波在子弹中传播一个来回的时间τ=80 μs;当t≈3τ时,v3>v4整形器应变开始减小,应力开始逐渐卸载到0 MPa;从应变最高点到整形器完全卸载,应变变化为1.28%,表明以上采用回收整形器的应变代替峰值应变是可行的。

图6 整形器变形程度随时间的变化

此外,图6也体现了建立整形器模型的必要性。若采用常规的SHPB,即没有添加整形器,则由应力波理论可知入射波的波长应为τ。添加整形器后,入射波波长明显增加。由τ=2Lst/cb可知,若子弹长度Lst较大,则添加整形器后,粘贴在杆中部的应变片记录的入射波和反射波信号可能发生叠加。因此,预测完整的入射波波形可以避免信号叠加的发生,为整形器设计提供指导。

为进一步验证整形器模型的适用性,图7采用MPS对Frew等[17]的铜/钢双整形器试验进行了预测,详细的试验条件参见文献[17]。图7表明,MPS和Frew模型的计算值均与试验值吻合较好,但是Frew模型只能预测加载段,而MPS可以预测包含卸载段在内的完整的入射波波形。由于Frew模型不能预测卸载段,文献[17]中并未给出整形器材料的弹性模量。图7计算时铜和钢在卸载时的弹性模量分别为100 GPa和200 GPa。铜/钢双整形器在试验过程中的变形特性与单个整形器相比更加复杂。

图7 双整形器时MPS计算值与试验值[17]对比

图8给出了在图7(a)工况下两个整形器端面的质点速度随时间的变化情况。质点v4=v5速度(详见1.2节),故图8中v4和v5位于同一条曲线。结合式(16)和式(17)可知,整形器的应变与两端质点速度所围成的面积呈正比关系。铜的强度小于钢,因此子弹撞击整形器后,铜整形器开始产生塑性变形,而钢整形器两端的质点速度相差极小,处于弹性变形阶段。随着应力的不断增加,在t=83 μs时钢整形器开始发生塑性变形,此时铜整形器的工程应变已经达到了89%。此后,应力增加的幅度开始减小(见图7(a)),钢整形器的应变开始大幅增加,而铜整形器的应变尽管也在增加,但是增加的幅值不超过2%。波在子弹中传播一个来回后,即t>τ=123.2 μs时整形器仍处于加载阶段,直至t=198.8 μs两个整形器均开始卸载。当应力完全卸载后,铜和钢整形器的工程应变分别为89.5%和4.8%。通过以上分析可知,采用两种不同材料作为整形器时,入射波波形的初始阶段主要由强度低的整形器控制,当强度高的整形器开始发生塑性变形后,则由其控制入射波波形。