曾广尚

摘要：弹性力学是土木工程专业一门非常重要的课程，也是固体力学的一个重要分支。根据弹性力学的课程特点，文章从弹性力学与Schwartz交替法相结合处理多连通域孔洞问题以及类似案例解析等方面，探讨教学方法，并在理论公式推导和应用分析过程中，深入挖掘相关知识点蕴含的课程思政元素，以期优化弹性力学基础课与课程思政的协同育人效果。

关键词：土木工程专业；弹性力学；Schwartz交替法；课程思政

弹性力学是力学、土木、机械、材料等理工科专业的基础课程，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形与内力，也称为弹性理论，是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础。弹性力学课程的理论性强、概念抽象、公式复杂，且与数学理论联系密切，是学生比较头疼的课程。弹性力学课程中关于多连通域孔洞问题的理论在工程中应用非常广泛，但在教学中比较难讲透，是一个教学难点。因此，在学习过程中，学生会感到难以理解，在面对类似的力学问题时无从下手。笔者已经从事多年弹性力学研究，主要从几个方面探讨弹性力学结合Schwartz交替法求解多连通域力学问题的教学方法，并根据课程的特点，探索相关知识点的课程思政融合。

一、多连通域孔洞问题的处理方法——Schwartz交替法

如图1所示，为了加深学生对Schwartz交替法的理解，在教学中，教师可以将理论公式与更加直观的模型图相结合。

如图1（a）所示，考虑一个无穷大的平面，里面包含两个孔洞，即孔洞1和孔洞2，在无穷远处有作用力的力学模型。由于这个力学模型存在两个孔洞边界，所以在数学上是一个双连通域问题。对双连通域问题，采用直接的求解方法来处理一般非常困难，甚至有些多连通域问题无法直接求解。为了使该复杂的力学问题变得更简单，教师可以通过Schwartz交替法，把双连通域问题拆分为两个单连通域的问题分别处理，这两个单连通域问题是分别考虑这两个孔洞。具体的求解步骤如下。

第一步，只考虑孔洞1，如图1（b）所示，是一个单孔问题。由于该力学模型只存在孔洞1一个边界，所以这是一个单连通域问题。对单孔问题，教师可以利用弹性力学的方法求解出理论解答，接着根据理论解答可以求解出孔洞2虚拟边界上的多余面力1。

第二步，只考虑孔洞2，将多余面力1反作用于孔洞2边界上。如图1（c）所示，该力学模型与图1（b）的力学模型类似，也是一个单孔问题。由于该力学模型只存在孔洞2一个边界，所以是一个单连通域问题。教师可以再利用弹性力学的方法求解出理论解答，接着根据理论解答求解出孔洞1虚拟边界上的多余面力2。

第三步，只考虑孔洞1，将多余面力2反作用于孔洞1边界上。如图1（d）所示，该力学模型与图1（b）的力学模型一样，只是孔洞1边界上的作用力与图1（b）的不一样，可以继续利用弹性力学的方法求解出理论解答，接着根据理论解答求解出孔洞2虚拟边界上的多余面力3。按照该方法一直交替迭代下去，两个孔洞边界上的多余面力会随着迭代次数的增加而逐渐减小。当两个孔洞边界的多余面力足够小时，即可停止迭代。

第四步，将每一步的计算结果叠加起来，即能得到无限大平面带有双孔力学响应的理论解答。这就是通过Schwartz交替法处理多连通域力学问题的基本思路。从数学上可以证明，按照该方法迭代下去得到的解答收敛于精确解。在实际计算中，Schwartz交替法的收敛速度是比较快的，其迭代次数可以根据工程问题的精度要求来确定，一般迭代几步就可以得到很好的结果。

二、Schwartz交替法的案例解析

鉴于Schwartz交替法比较抽象难懂，并且在求解多孔应力集中问题还需要结合弹性力学知识，所以在讲授过程中，教师需要结合具体的案例进行详细分析：一方面，可以加深学生对弹性力学和Schwartz交替法的认识；另一方面，可以激发学生的学习兴趣。在课堂教学中，笔者采用了以下方法。

第一，在介绍Schwartz交替法处理多连通域力学问题的原理之后，教师让学生回顾曾经学过的结构力学中弯矩分配法的基本原理。例如，一般的连续梁结点角位移未知量的数目常有多个，弯矩分配法的基本原理也是每次计算时只考虑某一个结点角位移，其他结点角位移先用附加刚臂约束住，然后计算出其他结点由附加刚臂承受的不平衡力矩，接着依次单个释放附加刚臂的约束，将不平衡力矩反作用，计算出其他结点由附加刚臂承受的不平衡力矩。按照该方法反复循环迭代下去，使各结点上的不平衡力矩逐漸减小，最后各结点的弯矩逐渐趋近于精确值。这可以让学生在回顾结构力学知识的同时，更加透彻地理解Schwartz交替法。

第二，深埋双孔隧道问题，只有两个隧道边界，也是一个双连通域力学问题。教师可以运用Schwartz交替法结合弹性力学理论求解围岩的应力和位移，即每次计算只考虑其中一个隧道，假定另一个隧道不存在，再通过弹性力学中的方法求解，然后反复交替迭代，使得两个隧道边界的多余面力足够小，最后将每次的计算结果叠加起来所得到的最终解答趋近于精确解。

第三，浅埋单孔隧道问题，只有地表边界和隧道边界，也是一个双连通域力学问题。教师可以运用Schwartz交替法结合弹性力学理论求解地层的应力和位移，即每次计算只考虑存在其中一个边界问题（半平面不包含孔洞问题或者无穷大平面含有孔洞问题）。教师可以通过弹性力学中的方法来求解，然后反复交替迭代，使得两个边界的多余面力足够小，最后将每次的计算结果叠加起来所得到的最终解答趋近于精确解。

第四，依此类推，运用Schwartz交替法结合弹性力学理论还可以解决更加复杂的力学问题，如半平面或无穷大平面含有任意个数孔洞的应力集中问题。因此，Schwartz交替法在处理多连通域力学问题时是非常便利的。

在讲解完以上各案例之后，教师让学生动手将每个案例的理论公式反复推导练习，学生对知识的理解会更加深刻。

三、弹性力学和Schwartz交替法教学中的课程思政

（一）爱国主义教育方面

弹性力学的理论知识非常重要，在课程思政教学过程中，教师可以通过展示实际工程案例，强调我国在土木工程方面不断创新所取得的重大突破，培养学生的家国情怀与国际视野。例如，目前世界上最大的水利水电大坝——三峡大坝、世界上规模最大的跨海工程——港珠澳大桥、中国第一高楼——上海中心大廈、国家标志性建筑——国家体育场（鸟巢）等重要土建工程。教师通过典型的土木建筑工程案例，可以强化爱国主义教育，使学生充分了解我国在基础建设方面取得的重大成就，并树立专业报国的远大理想。

（二）培养逻辑思维、发散思维和创新思维

弹性力学的公式非常多，推导比较复杂，是一门非常具有挑战性的课程。Schwartz交替法原来是为了求解拉普拉斯方程的狄利克雷问题而提出的，该方法把双连通域问题化为两个单连通域问题进行处理。后来，有学者利用弹性力学结合Schwartz交替法有效地解决了多孔应力集中问题。如《围岩力学分析中的解析方法》中通过弹性力学结合Schwartz交替法求解出了双圆形孔洞问题的解答。在讲解完双圆形孔洞问题后，教师可以让学生尝试求解更加复杂的非圆形孔洞问题，以及多孔渗流问题，逐渐增加课程的难度。这样的教学方式可以激发学生的求知欲，活跃课堂气氛。学生在理论的推导训练中，不仅提高了数学和力学思维交叉融合的能力，还提高了逻辑思维、发散思维和创新思维。

（三）培养化繁为简，逐个突破问题的能力

Schwartz交替法是将多连通域问题化为一系列单连通域问题进行求解，也是一种逐次逼近的方法。换言之，Schwartz交替法是将一个复杂的问题拆分成一系列简单的问题来处理，这种思想可以应用到学生的学习、生活中。在面临复杂的问题时，一些学生会感到不知所措。其实，在很多情况下，学生可以将复杂的问题合理地转化成若干个简单的问题，将所有简单的问题理清楚并解决好，这个复杂的问题也就迎刃而解了。因此，教师可以通过将Schwartz交替法原理与其他问题相联系，引导学生抓住问题的本质，将问题化繁为简。

（四）增强学生的专业责任意识、安全意识、行业标准规范意识

教师可以引入一些典型的工程事故案例，如2003年7月1日，正在建设中的上海轨道交通4号线某通道出现渗水引发坍塌，造成地面一幢建筑物发生倾斜，其裙房部分倒塌；2006 年1月22日，宜万铁路马鹿菁隧道的平导洞在施工过程中发生特大突水事故；2010年7月11日，广西宾阳县那适2号隧道施工现场发生塌方事故。教师详细讲解相关工程事故案例发生的原因，让学生充分了解这些工程事故发生的原因，增强学生的专业责任意识。

笔者以弹性力学结合Schwartz交替法求解多连通域问题的教学为例，结合启发式教学法，引导学生在无穷大平面含有两个孔的应力集中问题、半平面含有一个孔的应力集中问题的基础上，思考半平面或无穷大平面含有任意个数孔洞的应力集中问题，从简单的圆形孔洞问题拓展到复杂的非圆形孔洞问题。此外，笔者深入探索、挖掘与该教学内容相关的思政元素，并融入课堂教学，以思政元素开展德育工作，培养德才兼备的人才。

参考文献：

[1]徐芝伦.弹性力学[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]朱慈勉，张伟平.结构力学[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]王学俭，石岩.新时代课程思政的内涵、特点、难点及应对策略[J].新疆师范大学学报（哲学社会科学版），2020（2）.

[4]陈子荫.围岩力学分析中的解析方法[M].北京：煤炭工业出版社，1994.

基金项目：上海市教委（人事处）高校青年教师培养资助计划，项目编号：ZZSIT21023。

（作者单位：上海应用技术大学城市建设与安全工程学院）