孙培翰 纪翔峰

摘要：基于风险规避出行时间和出行成本两种影响出行者路径选择的要素，提出了考虑双重不确定的目标导向型双属性用户均衡。采用高斯Copula刻画风险规避出行时间与出行成本的随机相关性，结合出行者风险规避出行时间和出行成本的实现概率刻画期望目标实现概率与目标间的相互作用，将所提出的用户均衡表示为变分不等式问题，采用基于路径的连续平均算法对其求解，数值实验验证了算法有效性。实验结果表明，出行者风险规避特性和目标导向特性会对交通网络均衡流量产生一致或相反影响，部分路径流量的改变可达16.4%。

关键词：城市交通；目标导向型分析；交通网络随机性；风险规避出行时间；感知误差；出行成本

中图分类号：U491 文献标志码：A

文章编号：1006-1037（2023）02-0105-06

doi：10.3969/j.issn.1006-1037.2023.02.17

基金项目：

国家自然科学基金（批准号：71801138）资助。

通信作者：

纪翔峰，男，博士，副教授，主要研究方向为交通和物流系统建模与分析。

中国作为一个资源节约型、环境友好型国家，近年来缓解城市道路交通拥堵的方案逐渐发生变化，从增加交通供给转向利用高科技手段运营管理城市交通系统，分析出行者的路径决策行为，为出行者提供决策支持。用户均衡原则是分析出行者路径决策行为的重要手段，指任何出行者均不能通过单方面改变路径选择以达到减少其出行时间的目的［1］。即均衡时，所有出行者的出行时间均相等，且该出行时间最小，否则出行者改变路径选择来减少出行时间，但该原则存在多个与现实不符的假设［2］。交通网络具有不确定性，如恶劣天气或交通事故导致的路段通行能力降低等［3］，出行者选择路径时需考虑出行时间的可靠性，即存在风险规避选择行为［4］。分析出行者风险规避特性下的路径选择的研究有出行时间预算模型［5］和均值—超量出行时间模型［6］。基于此类模型，衍生出众多拓展，如弹性需求下基于出行時间预算的用户均衡模型［7］；构建多用户随机均值——超量出行时间模型［8］和随机交通网络的双层规划路径决策模型［9］。另有研究提出了非期望路径出行时间模型，探讨了该模型与出行时间预算以及均值——超量出行时间模型间的关系［10］。出行者路径选择行为受多因素影响（如出行时间、出行成本以及出行时间可靠性等）也得到证实［4］，现有文献也对多因素影响下的选择行为进行了广泛研究［5，10-11］。基于未考虑感知误差［12］的研究，提出了基于可靠性的随机用户均衡模型［13］；构建了考虑交通网络随机性以及出行者感知误差的用户均衡模型［14］；讨论了信息诱导对出行者出行选择行为的影响［15］。实证研究表明可接受的出行时间和出行成本在出行者路径选择中发挥重要作用［16-17］，因此，基于出行者关注可接受的出行时间和出行成本这一行为特征，本文采用目标导向型分析方法［18-19］刻画出行者的参考点依赖特性与可接受的概念。其中，参考点即为目标［18］ ，给定出行时间（或出行成本）的目标，不超过该目标的出行时间（或出行成本）被定义为可接受的，若该条件满足，则目标实现。目标实现能为出行者带来效用；特别地，多目标的同时实现能为出行者带来额外效用，即目标间的相互作用。在已有研究的基础上，考虑随机交通网络上风险规避出行时间（Risk-averse travel time，RATT）和出行成本对出行者路径选择的影响，同时考虑感知误差的存在（即双重不确定性），提出目标导向型双属性用户均衡。本文研究拓展用户均衡的分析范畴，提出更符合现实情形的用户均衡原则，将所提出的用户均衡表示为变分不等式问题，采用基于路径的连续平均算法对其进行求解，通过数值实验验证了算法有效性，重点分析了出行者风险规避特性和目标导向特性共同作用下的交通系统表现（即流量分布）。

1 基于目标导向分析的路径效用建模

在具有拥堵收费的随机交通网络上建立路径效用模型，刻画路径出行时间T的分布［20］（具体推导过程请参考数值实验部分），得到T服从正态分布N（μ，σ2），其中μ和σ2分别表示均值和方差。给定路径出行时间的分布，根据均值—超量出行时间模型［6］，可得到RATT（表示为Tt）为

其中，α为出行者的置信水平，反映出行者的风险规避特性，取值一般为0.9或0.95［6］；当出行者为风险中性特性时值为0.5［6］；为标准正态分布。

出行者感知误差的存在使上述确定性的RATT变为随机属性，假设出行者时间感知误差为εt［21］，则感知的RATT可表示为t=Tt+εt；感知误差的存在又使确定性的出行成本C变为随机属性，假设出行者成本感知误差为εc，则感知的出行成本表示为=C+εc。假设εt和εc分别为t和的函数形式（见数值实验部分），同时考虑到出行时间和出行成本间的相互影响关系，可得t和间存在随机相关性。

假设两个目标均得到实现时的效用为1，采用μt∈（0，1）表示RATT的目标得到实现时的效用，μc∈（0，1）表示出行成本的目标得到实现时的效用；假设两个目标均未得到实现时的效用为0。当效用不在［0，1］范围内时，可通过缩放使其在该范围内。采用γt表示RATT的目标，γc表示出行成本的目标（设定规则见下文），路径出行效用ω为［19］

其中，表示联合概率。等式右侧第一项为RATT的目标得到实现的概率及其效用，第二项为出行成本的目标得到实现的概率及其效用，第三项为两目标均实现时的概率及其带来的额外效用。故式（2）为出行者目标导向特性下的路径出行效用的期望值。

采用高斯Copula刻画随机属性t和间的相关性，得到联合概率

此处选取高斯Copula仅作为概念验证，也可采用其他形式的Copula函数［22］。而模型具体应用过程中Copula函数的选择及其参数估计问题可参考相关文献［19］，此处μ1=Pt≤γt，μ2=P≤γc，ρμ1μ2表示皮尔逊相关系数，其值为0到1之间。

μt+μc<1时，即单个目标实现为出行者带来的效用较小，但两目标的同时实现可为出行者带来额外效用，两目标间存在相互作用关系。1－（μt+μc）的值越大，目标间相互作用越强，因为额外效用越大，反之亦然； μt+μc=1时，两目标间无相互作用关系。μt和μc的比值可衡量不同目标实现的重要性，当两者比值大于1时，RATT的目标实现较为重要。其他情况可类似定义。给定两者的比值α，当目标间不存在相互作用时，则

给定目标间无相互作用下的效用值，引入参数β（β>1），得到目标间存在相互作用下的效用值为μtβ和μcβ。参数α和β的值在模型应用过程中可通过陈述偏好法获得。

2 基于目标导向分析的用户均衡分析

2.1 均衡表示

考虑一个具有多起点和多终点（即多OD对）的交通网络，N为节点集合，A为路段集合，R和S分别表示起点和终点集合。对于起点r∈R和终点s∈S（即OD对rs），qrs为OD对rs间的出行需求，Prs表示连接OD对rs的所有路径，frsp为路径p∈Prs上的流量。路段a流量为va（a∈A），路段路径关系矩阵用δrspa表示。若路段a在路径p上，δrspa=1；否则δrspa=0。路段出行成本为ca，则路径出行成本为crsp=∑a∈Aδ（rs）paca

式（5）表示出行需求守恒，式（6）表示路段流量和路径流量的关系，式（7）表示路径流量的非负性。满足上述不等式组的路径流量为该交通网络的可行流量，表示为Ω。从长期来看，当没有出行者能够通过单边改变出行路径来提高自身效用时，即达到了用户均衡状态。采用ωrsp表示OD对rs间路径p的效用，πrs表示OD对rs间的最大效用，f表示路径流量向量…，frsp，…，ω表示效用向量…，ωrsp，…。

定义 假设出行者均选择最优路径来最大化其出行效用，即在均衡时，所有被使用路径上的效用是相等的，且是最大的；所有未被使用路径上的效用小于或等于该最大效用。

在均衡状态下，若（frsp）*>0，πrs－ωrsp（f*）=0；若（frsp）*=0，πrs－ωrsp（f*）≤0，p∈Prs，r∈R，s∈S。其中，*表示均衡值。上述均衡问题可表示为变分不等式问题VI（f，Ω），即找到一个向量f*∈Ω，满足f*Tf－f*≥0，f∈Ω，其中f*=－ωf*，因在本文模型中，出行者通过路径选择以实现效用最大化。现有文献对变分不等式与均衡条件间的等价关系进行了深入探讨［6］，此处不再赘述。当路径效用ω为f的连续函数时，又因为集合Ω是紧致的、凸的，可知变分不等式问题的均衡解存在；但由于路径效用函数的形式复杂，不一定满足严格单调关系，故难以保证均衡解的唯一性。

2.2 目标设置

设定RATT目标时：

（1）出行起点和终点间存在多条路径，一个合理的假设为OD对间RATT目标为路径上RATT目标的函数，故首先设定OD对间路径上的目标，在此基础上设定OD对间RATT的目标；

（2）出行者总希望以期望概率实现目标，故OD对间路径p上RATT的目标可表示为机会约束问题：γrsp，t=minγ|PTp，rst≤γ≥θ，其中，θ为出行者的期望目标实现概率；

（3）作为风险规避的出行者，期望目标实现概率一般较大［19］，导致某些路径上的目标过于保守，预留时间过长，故出行者会选择最小预留时间，即γrst=minp∈Prsγrsp，t，进而得到RATT的目标。

采用相似原则，可得到出行成本的目标γrsc。

3 求解方法

采用基于路径的连续平均算法对所提出的模型进行求解。

Step 1 設定k=1以及收敛率为ε0；设定皮尔逊相关系数ρ；

Step 2 基于现有的空路段流量v1a进行全有全无分配，得到OD对rs间的路径流量frs，1p；

Step 3 基于当前路径流量frs，kp，更新路段流量va以及感知值的边际分布；

Step 4 基于式（2）计算目标导向型双属性路径效用ωrs，kp，得出OD对rs间的最大效用πrs，k；

Step 6 基于现有的路径流量计算更新方向drs，kp和步长sk，采用frs，k+1p=frs，kp+skdrs，kp更新路径流量；设定k=k+1，跳至Step 3；根据drs，kp=rs，kp－frs，kp（rs，kp为辅助流量）计算更新方向；如果ωrs，kp=πrs，k，rs，kp=qrsmrs；否则rs，kp=0，mrs为第k步时，OD对rs间具有最大效用的路径数量；步长sk=1/k+1。

经验证，本文所用基于路径的连续平均算法收敛［23］。在现有算法中，需要进行路径枚举，使得算法在大型交通网络上的效率较低。但本文研究重点在于出行者行为建模，故设计高效算法在大型网络上求解将在未来研究中探讨。

4 数值实验

采用如图1所示的交通网络验证出行者风险规避特性和目标导向特性共同作用下的交通系统表现，共有3条路径和5条路段。其中路径1包含路段1和2；路径2包含路段1、3和5；路径3包含路段4和5。OD对（1，4）间的交通需求为1 500。测试中算法的最大迭代次数为106，收敛参数ε0=10-6，皮尔逊相关系数为0.7，出行者的期望目标实现概率为0.9。

路段出行时间tava采用BPR函数，tava=t0a（1+0.15（va/Ca）4）计算，其中，t0a表示自由流时间，Ca表示通行能力。出行时间波动来自于路段通行能力降低［20］ ，假设路段通行能力服从均匀分布Uηaa，a，上界a表示路段设计通行能力，下界参数ηa反映路段通行能力降低，值越小，路段出行时间波动越大，可靠性越小，反之亦然。基于上述表示，可得路径出行时间Trsp服从正态分布，均值和标准差分别为

设出行者的置信水平α=0.9，结合式（8）、式（9），得到路径RATT。测试中涉及的其他数据见表1。

假设路径RATT和出行成本的感知误差均服从正态分布，分别为N0，Ttσ2t和N（0，Cσ2c），则感知的RATT服从正态分布NTt，Ttσ2t，感知的出行成本服从正态分布NC，Cσ2c。本文选择σ2t=σ2c=1。

首先测试不同目标实现效用下的交通系统表现，效用值的不同反映了目标实现的重要性。μt=0.8，μc=0.2（α=4）时，RATT目标实现的重要性较高；μt=0.5，μc=0.5（α=1）时，出行成本目标实现的重要性较之前升高，测试结果见表2和表3。对比可知，当仅考虑出行者风险规避特性时，选择路径2的出行者数量增多，而选择路径1和路径3的出行者数量减少，因为路径2具有较小的出行时间波动性，可靠性较高；当仅考虑出行成本目标的重要性升高时，选择路径2的出行者数量减少，而选择路径1和路径3的出行者数量增多，因为路径2具有较小的出行成本目标实现概率，反之亦然；出行者的风险规避特性和RATT目标实现的重要性对流量分布具有一致的影响，而出行者的风险规避特性和出行成本目标实现的重要性对流量分布具有相反的影响。在本文测试中，当考虑两者的共同作用时，选择路径2的出行者数量改变可达16.4%。

为测试目标间不同程度相互作用下的交通系统表现，令μt=0.66，μc=0.34，目标间无相互作用关系；μt=0.33，μc=0.17（β=2）时，目标间存在相互作用关系，结果见表4。可知，出行者风险规避特性下的测试结果与上述结果相同；当仅考虑目标间相互作用关系对均衡结果的影响时，相互作用关系的存在使选择路径2的出行者数量减少，而选择路径1和路径3的出行者数量增多，因为路径2上目标同时实现的概率较小，反之亦然；出行者的风险规避特性与目标间相互关系对流量分布具有相反的影响。测试中，当考虑两者的共同作用时，选择路径2的出行者数量改变为6.8%。

5 结论

在收费交通网络上，考虑交通网络随机性和出行者感知误差这双重不确定的影响，探讨了出行者路径选择行为，拓展其分析范畴；基于目标导向型分析方法提出了双属性用户均衡，该均衡具有行为一致性，刻画了出行者路径选择中可接受的概念，拓展了传统分析的范畴；重点分析了出行者风险规避特性和目标导向特性共同作用下的系统表现（即流量分布）。研究发现出行者风险规避特性和目标导向特性对流量分布可产生一致的影响，也可产生相反的影响；部分路径的流量随着特性的改变而改变較大。流量改变反映了出行者对实现出行时间目标和出行成本目标的权衡，当实现出行时间目标较为重要时，较多出行者会选择出行成本较高的路径，反之亦然。本研究中，交通网络的拥堵收费是给定的，未来可基于本文研究探讨最优拥堵收费问题，重点关系上述两类特性耦合关系对收费设计的影响。

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