栾功 肖宝莹 莫培权

［摘 要］文章基于强基计划，以“以生为本”的育人理念为指导，以“根+空”双向教学为抓手，从人才选拔、课程建设、课堂变革、多元评价、协同育人等方面构建“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式，探索中学数学拔尖创新人才的培养机制。

［关键词］强基计划；双向；五维；交互；中学数学；拔尖创新人才；培养模式

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）02-0036-04

在教育全球化的時代背景下，我国对培养什么样的人才以符合新时代发展的要求进行了新的探索。2020年1月，教育部发布《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》，决定自2020年起在全国部分高校开展基础学科招生改革试点（简称“强基计划”）。2022年10月，习近平总书记在党的二十大报告中指出，我们要坚持教育优先发展、科技自立自强、人才引领驱动，加快建设教育强国、科技强国、人才强国，坚持为党育人、为国育才，全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之。当今的国际竞争实际上是人才的竞争，创新人才是提升国家国际竞争力的核心力量。《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010 —2020年）》明确指出，高中阶段教育是学生个性形成、自主发展的关键时期，对提高国民素质和培养创新人才具有特殊意义。可见，在中学阶段培养拔尖创新人才尤为重要。

基于此，我校于2021年开展了关于中学数学拔尖创新人才培养的研究，经过两年多的探索实践，构建出了“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式，并取得了较好的实践效果。

一、“双向一五维一交互”中学数学拔尖创新人才培养模式的目标和内涵

（一）目标

“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式以“以生为本”的育人理念为指导，通过人才选拔、课程建设、课堂变革、多元评价、协同育人“五维”人才培养路径，培养具备良好的学术素养、应用能力、创新能力的中学数学拔尖创新人才。

（二）内涵

（1）双向。“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式以“根+空”双向教学为抓手。在《现代汉语词典（第7版）》中，“根”有“事物的本源”的释义，引申为事物、事情的本质，体现在教学上就是知识的本质、基本思想及核心素养；“空”有“不包含什么”的释义，引申为“空白”“空无”之意，体现在教学上主要为“留白”“置空”，但并不仅限于时间、空间上的留白，更多的是通过时间、空间上的显性留白，实现知识生长、逻辑发展、思维发散以及能力养成等隐性发展。

从上面表述不难看出，“根+空”双向教学有两重含义。一是落实“根”，即把握“根”、抓住“根”。教师在教学中应从课程要求和概念理解的本质出发，结合学生的已有知识经验、思维水平，牢牢把握住课堂教学的核心。二是释放“空”，也就是“留白”，从时间、空间上的显性留白出发，实现知识生长、逻辑发展、思维发散以及能力养成等隐性发展。“抓根置空”下的强基础和重思维正是中学数学拔尖创新人才培养的两个主要方向。

（2）五维。“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式中的“五维”指人才选拔、课程建设、课堂变革、多元评价、协同育人。人才选拔方面，需选拔出兴趣志向高、学科基础扎实、意志品质强、后续发展潜力大的拔尖创新人才。明晰人才的选拔标准是后续构建拔尖创新人才培养路径的基础。课程建设方面，应致力于实现通识教育与专业教育的相互融通，设立涵盖教材内容的学生基础课程，跨学科、跨学段的无界阅读课程，以提升实践能力为本的数学实验课程，着重激发学生科研兴趣的数学写作课程，等等。课堂变革方面，除了保持传统的课堂讲授方式，还应积极引导学生开展合作型学习、项目化学习、个性化学习、研究性学习等，在关注学生个性化发展的同时，充分激发学生的探究欲、挑战欲和成就欲，培养学生交流与合作的能力以及分析和解决问题的能力，强化学生的实践能力和创新意识。多元评价方面，有别于一般的单一量化评价，多元评价关注学生学习过程中的兴趣培养和思维培养，注重发掘学生的创新潜力、创新能力和实践能力。通过量化评价和质性评价，进一步优化课程建设、课堂变革、多元评价的具体举措，形成良性闭环。协同育人方面，应深化科教融合，实现家校、高校和中学协同育人，共同助力厚基础、宽视野的拔尖创新人才的培养。

（3）交互。“交互”是指通过多种方式的相互作用，以及五个维度拔尖创新人才培养路径的共同作用，助力学生应用能力、创新能力、创新素养的提升。强基计划背景下的“双向—五维—交互”中学数学拔尖创新人才培养模式如图1所示。

二、“双向一五维一交互”中学数学拔尖创新人才培养模式的实施

（一）选拔人才

人才选拔是一个长期的梯队建设工作，在选拔中学数学拔尖创新人才时除了要遴选热爱数学学习的学生，还要遴选具备较强的数学思维能力和创新能力的学生。对此，我们构建了指向拔尖创新人才选拔的高中数学测评体系，并开展了一系列数学素养测试活动。第一，分阶段开展全员性的“高一学生数学运算素养大赛”“高一学生逻辑推理素养大赛”等一系列数学素养测试活动，以便发现数学基础扎实的学生。第二，针对有一定数学基础的学生，开展教材习题改编、原创性试题命制等活动，以便发掘具有创新潜质的学生。第三，结合新教材的“文献阅读与写作”栏目开展文献阅读与写作活动，选拔具有科研兴趣的学生。第四，结合新教材的“探究与发现”栏目开展数学探究与数学建模活动，发现具有较强数学建模等素养的学生。第五，创建拔尖创新人才选拔测评题库，丰富拔尖创新人才测试题型。这样，通过一系列数学素养测评活动，综合考评学生的思维个性和创新品质，从而遴选出具有创新潜质的学生，并进行分梯队培养。

（二）课程建设

课程是经过加工梳理的适合学生学习的学材，拔尖创新人才的培养更需要确定适合学生的课程。经过问卷调查和多次研讨发现，除开设国家课程外，我们还为拔尖创新学生开设了数学实验课程、数学建模课程、数学写作课程、无界阅读课程。以数学实验课程为例，我们通过实践和对比，归纳整理得到设计高中数学实验的四大步骤、五个类型和六大原则（如图2），其中四大步骤分别是选取数学知识素材；设计渗透知识的情境和“脚手架”；开发支撑实验的模具、工具、技术软件等；小组合作、实验交流、展示总结。五个类型分别是现象解释型、结论验证型、问题解决型、规律探究型、建模应用型。六大原则分别是知识与趣味相融原则、书内和书外结合原则、可操作与可视化原则、学习与创造兼顾原则、训练与思维统一原则、自主与合作协调原则。要特别强调“脚手架”的搭建，根据“最近发展区”理论，学生对如何抽象、建模和分析会存在一定的困难，教师可通过搭建前置问题解决单这一“脚手架”，引导学生由已学已知知识逐步过渡到未知、需探究的知识，让学生经历“观察思考—抽象建模—猜想探究—分析求证”的知识再发现过程，让学生有效建构数学知识。

数学实验知识素材广泛，活动丰富，可帮助学生加深对新知识、难点知识的认知与理解，在培养学生的动手能力、探究能力、数学学科核心素养等有良好的效果。在许多数学知识的教学中都可以开展数学实验，不过建议重点在突破解决难理解的、抽象和复杂的问题时开展，这样效果会更佳。另外，数学实验的设计应该是封闭的，而实验过程应是开放的；实验的操作步骤应相对稳定；实验目的不能过多，越少越好，因为数学实验不像生物实验和化学实验有参照组；实验过程中使用的材料、工具应多样化，比如椭圆的性质可以通过折纸操作、借助计算机软件来进行研究，也可以参照椭圆形台球活动进行数学实验（如图3）。

（三）课堂变革

传统的数学课堂教学无法满足拔尖创新学生个性化学习、研究性学习、项目化学习、合作型学习的需求。在拔尖创新人才培养的当下，数学课堂教学面临全新的挑战。为了满足拔尖创新学生的学习需求，笔者团队经过近十年的实践探索，打造了以“以生为本”为育人理念、以“根+空”双向教学为抓手的高中数学生本课堂，其主要环节包括课前自主探究、课堂交流讨论和课后反思延伸。这三个环节都紧紧围绕“前置问题解决单”来展开。

“前置问题解决单”是供学生在学习新课前自主探究的问题解决单，其设计大有讲究，關键在于“抓根置空”，紧紧围绕教材内容所涉及的核心概念、基本思想来展开问题的设计，所设计的问题要具有起点低、入口宽、思维广的特点，能给具有不同思维习惯的学生留解答之白、变式之白、拓展之白。学生在自主探究后对没解决的问题或者新提出的问题做好标记，在课堂中针对这些问题和老师、同学进行交流讨论。这个环节最为精彩，通过交流讨论往往能提炼出不同视角的解题方法，发现不同层面的新的问题，进而思考和解决问题。在这样的发现问题和解决问题的过程中，学生很好地培育了思维能力和创新能力。在经历了课堂学习的精彩后，教师要求学生在课后对所解决的问题进行反思和总结，在反思和总结的过程中提出更高层次、更新的问题，以培育学生的高阶思维能力。

学生只有牢牢抓住核心概念、基本思想的根本，才能再生出更有价值的问题。例如，“圆锥曲线”大单元教学要找到解析几何学习的单元之“根”，即“坐标法”（即几何问题代数化的核心思想）。当学生掌握了“坐标法”，便可以通过对数学问题的深入探究实现思维素养水平的不断进阶。下面分享学生对一道椭圆开放性问题的探究。

问题 点[M]是圆[A：x2+（y+1）2=16]上任意一点，点[B（0，1）]，线段[MB]的垂直平分线交半径[AM]于点[P]，当点[M]在圆[A]上运动时，

（1）求点[P]的轨迹[E]的方程；

（2）[BQ∥x]轴，交轨迹[E]于点[Q]（点[Q]在[y]轴的右侧），直线[l：x=my+n]与轨迹[E]交于[C]、[D]两点（[l]不过点[Q]），且[CQ]与[DQ]关于[BQ]对称，则直线[l]具备以下哪个性质？证明你的结论。①直线[l]恒过定点；②[m]为定值；③[n]为定值。

学生通过自主探究、交流讨论，确定直线[l]的斜率为定值，即结论②成立，同时归结了从通性通法、直线的参数方程、平移变换、第三定义入手的四种解法。其中，以第三定义的创新应用更为巧妙精彩。这些创新性的解题思维正是拔尖创新学生所需具备的。

教师引导学生继续进行探究。

探究1 在试题的解答过程中我们发现当[kQC+kQD=0]时，直线[CD]的斜率为定值，这个定值与点[Q]有关吗？

探究2 由圆锥曲线定义的统一性猜想，抛物线与双曲线是否也有类似性质？

引导学生挖掘数学问题的规律，指导学生深入了解数学问题的本质，有利于学生从根本上理解数学知识的内在联系，培养数学思维能力。

学生针对探究2的问题提出如下两个变式问题，并对一般性结论进行推广。

变式1 点[P（x0，y0）（y0>0）]为抛物线[C：y2=2px（p>0）]上一定点，[A（x1，y1）]、[B（x2，y2）]为抛物线[C]上两动点，若直线[PA]与[PB]的斜率存在且互为相反数，证明：直线[AB]的斜率是非零常数。

变式2 已知直线[l：y=-4x+m]与双曲线[E：x23-y212=1]的右支交于不同的[A]、[B]两点，点[Q（2，2）]，记直线[QA]、[QB]的斜率分别为[k1]、[k2]，求证：[k1+k2=0]。

推广 设点[Q（x0，y0）]是对称轴平行于坐标轴的定圆锥曲线（包括圆、椭圆、双曲线和抛物线）[C]上一定点，[A、B]是[C]上两个动点，若直线[QA]、[QB]的斜率互为相反数，则直线[AB]的斜率存在时为定值，等于[C]在点[Q]处切线的斜率的相反数（当[C]为双曲线时，点[A]、[B]在同支上）。

（1）当[C]是有心圆锥曲线时，设方程统一形式为[λx2+μy2=1][（λμ≠0）]，则[kAB=λx0μy0（y0≠0）]；

（2）当[C]是抛物线时，可设[C：y2=2px（p≠0）]，则[kAB=-py0]或[C：x2=2py（p≠0）]，则[kAB=-x0p]。

教师在教学中应“抓根置空”，引导学生在自主探究、交流讨论的过程中不断提出问题和解决问题，从而培养学生的思维能力和创新能力。

（四）多元评价

评价是教育教学中的一个重要环节，恰到好处的评价往往能极大地促进学生的学习、成长和发展。实践表明，实施多化评价，可全方位促进拔尖创新人才的培养。多元评价需关注“兴趣培养”“思维培养”，形成“量化标准”。拔尖创新人才的评价，不能单一地以高考成绩、竞赛成绩为标准，应关注学生在学习过程中所展现出来的好奇心、思维品质、团队协作能力、实践能力等综合素质。为此，我们结合数学探究性学习活动、文献阅读与写作活动、数学素养测试活动等对学生进行多元评价，从而使中学数学拔尖创新人才的选拔和培养更加精准有效。

（五）协同育人

拔尖创新人才的培养离不开家庭、社会的支持。如何借助好家庭、社会科教力量，做好大学和高中的教学衔接，完善基础学科人才贯通培养，成为协同育人中要解决的主要问题。为此，我们申请了市级规划课题“基于拔尖创新人才培养的‘大中衔接校本微课程开发与实施”，并邀请南宁师范大学数学与统计学院的教授加盟指导，充分整合大学和高中的教育和科技资源，联合社会组织共建共享重点实验室或基地大数据资源平台，探索协同培养拔尖创新人才的新模式和新策略。

三、“双向一五维一交互”中学数学拔尖创新人才培养模式的实践成效

经过多年的探索和实践，学生和教师的创新能力均得到了培养和提高，表现在以下几个方面。第一，通过多维课程的开设，激发了学生学习数学的热情，促进了学生思维能力的发展，仅2022年下半学期，学生完成论文写作26篇，其中不乏《圆锥曲线中的卡西尼卵形线的探究》《利用双曲线的光学性质推导切线公式》等佳作。第二，为喜爱数学的学生打造了一个课余“屋”——“第五象限”。“第五象限”社团和校刊的创办让在数学方面有天赋的学生有了展示自己的舞台。第三，连续两年培养出三位高考数学满分学子，近两年为“2+7”院校输送人才100余人，18人次获奥赛省一等奖。第四，极大地促进了教师的专业发展。2022年度，南宁三中五象校区的教师发表论文110篇，其中数学组教师就发表了33篇，其中在研拔尖创新人才南寧市专项课题2项，广西教育科学“十四五”规划课题1项，申报2022年南宁市微型教学成果12项，申报2022年南宁市基础教育教学成果奖1项。

中学数学拔尖创新人才的培养是一项系统且长远的工作，对于如何聚家庭、学校、社会之力培养具有爱国情怀、坚韧不拔品质以及创新能力的中学数学拔尖创新人才，我们的探索和实践一直在路上。

（责任编辑 黄春香）