摘 要：本文针对高等数学中的凑微分法提出了“四部曲”做题法，该方法以所凑微分为目标，明确需要凑的导数形式，再补全等式，学生通过这种做题方法能在不背公式的情况下完成各种凑微分情况，并加深对凑微分的理解。对于凑微分法的教学设计，额外补充了特殊形式的积分求解方法，丰富教学内容，实现因材施教。

关键词：凑微分法；“四部曲”做题法；教学设计

高等数学又称微积分，其中最重要的内容便是微分和积分，其中，微分主要涉及的求导运算是大部分同学高中就接触过的，因此接受起来比较快。相反，积分是高中阶段没有接触过的运算，并且运算更复杂，以求导为基础，却不能只靠套用求导公式。因此，在教学过程中最先出现的积分方法，即凑微分法，成了很多同学开始掉队的地方，本文针对凑微分法提出了“四部曲”做题法，将凑微分过程以目标为导向逐步填充，帮助同学们快速掌握凑微分法，完成凑微分的过程，并在“四部曲”做题法基础上进行具体的教学设计。

一、教学内容及学情分析

凑微分是学习不定积分时非常重要的积分方法之一，也是按照教学进度最先出现的积分技巧，在凑微分时，需要先通过求导的经验去找到需要凑的微分，然后再套用积分公式去求解，过程中需要将求导和求积分熟练于心才能快速实现，对学生的公式熟练度要求很高。在实际教学中，由于刚刚讲授完不定积分的定义和直接积分法，很多同学对积分公式掌握得并不熟练，有些同学因为高中基础不好，对稍微复杂一些的求导问题及反三角函数等新的求导公式也不是很熟悉，这就导致了在集中应用两种运算时易混淆，不知道该求导还是该求积分的混乱情况，这也使得凑微分成了很多同学开始掉队的一课。

二、凑微分的“四部曲”做题法

由于凑微分涉及求导和积分两种运算，刚开始很多同学容易分不清什么时候该做什么，凑微分的目标也不明确，因此本文给出一种以目标为导向的凑微分“四部曲”，将凑微分的做题步骤拆分如下：

（1）将目标放到微分“d”里。先预留两行等号，在第二行后半段将预计想凑的微分放到微分符号“d”的后面。在做题时，先在这一步将想凑的目标摆在第二行，再进行其他部分。

（2）求微分。将第二行的微分通过求导求解出来，写在第一行后半段。这一步需要学生掌握微分的基本概念，即dy=y'dx，通过求导将需要凑的具体形式明确下来并体现在第一行后半段。

（3）凑等号。将第一行前半段根据相等关系补齐，如需要凑系数，可在这一步完成。

（4）补全。将上一步的第一行前半段直接抄在第二行前半段，或者整理好形式抄下来，此时两行式子全部完成，凑微分的效果也完全展示出来了。具体过程如图1。

图1中的标号即为实际做题时的书写顺序，其中曲线和实线标记的部分分别各自相等，教学过程中可提示大家按逆时针顺序完成。

在实际教学中发现，该方法在应对u=ax+b的时候可能不如直接背公式上手快，但在其他凑微分的情况下全都适用，不需要背过多的公式。学生如果没有按“四部曲”方式学习凑微分，在学过凑ax+b的微分后，继续学其他情况会有“感觉突然很难”的情况，而采用“四部曲”方法教学，同学们一旦习惯了这种做题方式，不论是凑ax+b的微分，还是凑其他形式的微分感觉都是一样的，并且对于凑微分法的理解和感受会更加深入和具体。

三、教学过程设计

（一）凑微分基本理论

结合实际使用的教材讲授凑微分法的原理。换元积分法的基本思想就是，若∫f（x）dx=F（x）+C成立，则当u是x的可导函数u（x）时，∫f（u）du=F（u）+C也成立。即将不定积分公式中所有的x同时换成u（x）时，公式也能成立，在这个变量替换过程中有一个关键点就是dx也换成了du，所以如果想对u套用以往学过的不定积分公式，就要把u放到微分里面，形成du的形式。

经过理论的讲解，同学们对凑微分的基本认识其实还很模糊，没有具体的概念。

（二）利用凑微分“四部曲”法讲授教材例题

根据实际教材例题及习题内容以讲练结合的方式进行讲授，一般分为u=ax+b和一般的u（x）两种情况。

这个过程只需要将每个例题按“四部曲”方式讲授，不需要对教学进程进行其他改动。例题讲解期间可能会有和原教材不完全一致的步骤，教师在这里需要给予学生必要的解释说明，提示學生凑微分的本质和“四部曲”的意图，不强求学生一定要按照这种方法做，只要能够完成题目即可。

针对“四部曲”的四个步骤，在教学时要注意几点：

第一，在试图将目标放到微分“d”里时，要由简到难设置例题，先让同学熟悉做题过程，再引导其灵活运用，可以将一些常见情况逐个展示，例如乘法形式或分数形式的表达式等，让学生多见多积累，进而在自己独立做题时有更多的经验。

第二，通过实际教学会发现，在进行到求微分的步骤时，很多同学可能不能及时反应，其原因在于在之前的课程中，同学们更多偏重于求导运算，对于求微分这个同类的运算印象不深，对此可以将微分的定义式即dy=y'dx写在黑板上，或者始终展示在PPT空白处。

第三，凑等号这一步在凑的时候大部分是凑一些倍数，这里要提示大家书写要清晰，不用急着把系数写到积分外面，以免运算有遗漏。另外注意这一步是将第一行与题干进行对比，保持等号成立。

第四，在补全第二行算式的时候可以进行一些形式上的整理，例如系数的合并和运算，表达式如果看上去不直观也可以整理一下，方便后面套用基本积分公式。注意这一步是将第二行与第一行进行对比，保持等号成立，与第三步有区别。

按照以上几点完成凑微分的“四部曲”运算后，只是完成了凑微分的步骤，后面求原函数时还需要套用基本积分公式，实际做题时，很多同学也会在这个步骤出问题，主要还是积分公式不熟练，同时，将以往的积分公式中的x换成其他x的函数u（x）时，同学们会不习惯。

由于凑微分的题目离不开求导公式的应用，需要同学们在掌握求导的基础上实现，如果教学过程中有学生因为基础不扎实遇到问题，可提示学生到导数的章节查找公式。

（三）补充题型

在讲授完两种情况的题目后，可根据实际授课学时补充形如∫1ax2+bx+cdx的题型。举例如下：

例1：∫1x2+2x+1dx；例2：∫1x2+2xdx；例3：∫1x2+2x+2dx。

首先引导学生回忆对于ax2+bx+c=0，学过什么非常重要的公式？部分同学会想到Δ，还有同学会说求根公式。帮助大家回顾公式Δ=b2-4ac后，提问大家举例的三个题的分母都是哪种情况，同学们通过运算发现三个题虽然只在分母差了一个常数，但所属情况完全不同。

最后对三个例题分别进行讲解。该类题型根据分母的Δ的符号可分为三类，这三类问题采取了完全不同的处理方法。

（1）Δ=0时，分母能凑成完全平方式，再凑平方里面的微分，即：

例1：∫1x2+2x+1dx=∫1（x+1）2dx=∫（x+1）-2d（x+1）

=-（x+1）-1+C=-1x+1+C

（2）Δ>0时，分母可以因式分解，拆分成两个分式再分别凑微分，即：

例2：∫1x2+2xdx=∫1（x+2）xdx=∫12（1x-1x+2）dx

=12［∫1xdx-∫1x+2d（x+2）］

=12［lnx-lnx+2+C］=12lnxx+2+C

（3）Δ<0时，分母不能因式分解，先凑平方，然后将平方以外的正数通过变换调整为1，再套用积分公式∫11+x2dx=arctanx+C，即：

例3：∫1x2+2x+2dx=∫11+（x+1）2dx=∫11+（x+1）2d（x+1）=arctan（x+1）+C

以上三种类型是按难易顺序排列的，Δ是同学们高中接触过的概念，该概念除了确定根的个数还决定了一元二次多项式是否能因式分解，是对高中知识的一个引申。通过这套例子，使同学们发现中学知识在高等数学的体现，感受数学整个理论体系的内在联系，认识到任何形如∫1ax2+bx+cdx的积分问题，均可以借助凑微分法找到原函数，充分展现凑微分的灵活性，体现凑微分法在微积分这门学科中的价值。通过利用Δ进行分类，提高同学们归纳总结的能力，提示同学们要透过现象看本质。

教师也可以通过这个例子进一步了解同学数学基础知识的掌握程度，发现个别同学的知识漏洞，在未来教学中可以有针对性地补漏，例如布置课前回顾任务等。通过学生的学习反馈，掌握学生对知识应用的熟练程度。

（四）课堂总结及作业布置

总结该堂课的教学内容，强调凑微分的做题方法。同时，对于求不定积分而言，其难度还在于识别题目属于哪种积分方法，因此在最后总结时，教师应着重提示大家凑微分的特点是能在被积函数中找到某一部分是另一部分的导数或导数的倍数，借此和后续其他积分方法区分开来。

布置课后作业时，可以将前述补充题型中的例3加大难度，改成凑平方后需要先凑分母中的1，作为课后作业的补充，例如：

例4：∫1x2+2x+5dx=∫14+（x+1）2dx=∫141+（x+1）24dx

=∫14·11+（x+12）2dx=14∫21+（x+12）2·12dx

=12∫11+（x+12）2d（x+12）=12arctan（x+12）+C

也可将该例子引申为分子有一次项的情况，如下方例5，留作课后的思考题。

例5：∫2x-1x2+2x+2dx=∫2x+2-3x2+2x+2dx

对于例5，可以给出如上第一步提示，之所以分母拆分出2x+2，是因为这样刚好是分母的导数形式，对于这种分子次数比分母次数低一次的情况，经常可以采用这种思想，在分子中找到分母的导数后，就能用来凑微分了，后续求解过程如下：

∫2x-1x2+2x+2dx=∫2x+2x2+2x+2dx-∫3x2+2x+2dx

=∫1x2+2x+2d（x2+2x+2）-∫3x2+2x+2dx

=ln（x2+2x+2）-∫3x2+2x+2dx

=ln（x2+2x+2）-3arctan（x+1）+C（具体过程参考例3）

通过例5可以展示出，任意形如∫mx+nax2+bx+cdx的问题都可以借助凑微分法处理，只需要将分子适当拆分成两个问题，分别处理即可，其中常数部分又回归到了之前提到的例1—例3的问题。

以上补充例子相对较难，可以让同学们选做，同学可以根据自己未来的发展规划及感兴趣程度决定是否深入思考。

四、结合信息化教学

针对本文提出的“四部曲”做题法，结合信息化手段进行教学和进行网络授课时，作为教师也需要进行相应的准备。

如需要在网络授课时讲解此方法，在录制视频课或进行直播课時，最好使用手写板，在屏幕上边讲边做，按照“四部曲”顺序进行书写，更清晰地展示凑微分的思路。

在线下授课时，需要教师提前做好PPT中做题步骤的拆解动画，按讲授顺序展示例题答案的各个部分，如果觉得不方便，还是在黑板上进行书写效果最佳。同时在学生做练习时，可以找同学在黑板上做，进而看出同学的解题过程，如果有不同的写法，应当一并在黑板上让学生进行展示，增加学生的自信，并且让学生们看到更多的做题思路，找到适合自己的方法，只要最后能够完成题目即可。

不论是线上还是线下课，都涉及其他信息化手段的使用，例如互动和测试等。对于本节课的内容，还是以具体手写计算过程为主，如果希望通过小测试活跃课堂气氛，快速量化学生的掌握情况，而教学软件不能很好地支持多种题型时，可以考虑设置一些找错误的选择题，如图2。

图2中的例题除了考查了凑微分的过程，还设置了一个易错选项B，在标准做题步骤中，B选项这一步应该是d（x+1），此处写成dx与d（x+1）等价，除了考查凑微分，还考查了同学们对微分概念的掌握。教师在设计题目时可以参考类似方式将其他知识点融入到本节题目中，起到区分题目难度的作用。

由于凑微分需要利用导数和积分公式等多种基础知识结合才能完成，因此在课前可以通过教学平台布置一些复习任务，以便更好地进行教学内容的讲授，避免学生掉队。同时对不同难度的课后任务进行区分，通过教学软件对学生课后任务及选做任务的完成情况进行量化。

结语

本文就凑微分法提出了“四部曲”做题法，在预留两行式子的情况下，强调以所凑目标为导向，明确具体微分的求导结果，再和题目对比，凑上必要的系数，最后补全表达式，完成凑微分的过程。

在教学设计过程中补充了分母为1，分子是二次多项式求积分的问题，既联系了高中知识，又展示了凑微分的灵活性，在实际教学时有学生感叹“这才是‘凑微分的感觉”。在凑微分中除了此类问题还可以拓展出分子为mx+n，甚至更高次多项式的情况，都可通过拆解回归到分子为1的问题，教师可以根据实际教学要求的难度和课堂剩余时间进行拓展，或留作思考题，让感兴趣的同学進一步提升，达到因材施教的效果。

本文主要介绍的“四部曲”做题法在实际教学中能使学生明确做题目标，避免求导与求积分混淆，不知如何进行的情况。学生在做题时只要熟悉这个步骤，不管对于简单的u=ax+b，还是复杂的中间变量形式，都能以这一种方式进行处理，也省去了背很多凑微分公式的过程，并且更能体会凑微分的内涵和目的。

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作者简介：赵文雯（1989— ），女族，汉族，天津人，硕士，讲师，研究方向：数学教育。