黄昌献

［摘 要］数学教师将数形结合思想融入教学之中，可以将抽象的数学概念转换为直观的图形，增强学生对数学知识的认知，降低数学学习难度，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效率。文章对数形结合思想在实数运算、整式运算、全等三角形、一次函数、二元一次方程中的应用进行分析探讨。

［关键词］数形结合思想；初中数学；应用

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）05-0017-03

数学学科具有很强的抽象性，致使学生对一些数学知识认识不到位，对基本的数学概念理解不深入，从而对数学学习缺乏兴趣，甚至产生厌学的情绪，导致数学学习成绩不理想，这十分不利于学生的长远发展。数学教师将数形结合思想融入初中数学教学中，可以让抽象的数学概念转化为直观的图形，从而增强学生对数学知识的认知，降低数学学习难度，激发学生的学习兴趣，提升课堂教学效率。

数形结合思想将几何与代数进行结合，将抽象思维与形象思维相结合，以此来增强学生对数学知识的认知。将数形结合思想融入初中数学教学中，可以引导学生从不同角度去看待数学问题，寻找数学问题的多种解决方法，从中选择最佳解决办法，从而更好地培养学生的数学思维，提高学生的解题能力。

然而在初中数学教学中，教师对数形结合思想的认识不到位，在基本概念知识的讲解过程中未能很好地将数形结合思想融入，致使概念教学的启发性不强，学生很难将基础知识运用到实际解题中，为学生后续的学习带来了困难。除此之外，教师未能将数形结合思想与实际教学相结合，对学生数形结合思想的培养不到位，学生未能深入理解数形结合思想的内涵及其应用价值。

在初中数学教学中，教材中的典型例题主要是引导学生将基础知识运用到实际解题当中，例题的形式是丰富且多样的，但其考查的根本知识点及其方法是没有变化的。但是，有的教师在教学中对于例题的讲解并不深入，未能将数形结合思想运用到例题讲解中，最大限度地发挥例题的价值，帮助学生形成良好的解题思路。那么如何在初中数学教学中有效应用数形结合思想呢？

一、数形结合思想的应用案例分析

在初中数学教学中，数形结合思想的应用十分广泛，本文主要介绍数形结合思想在实数运算、整式运算、全等三角形、一次函数、二元一次方程中的应用。

（一）数形结合思想在实数运算中的应用

［例1］如图1所示，在数轴上有A、B、C、D、E五个点，其中哪个点的位置最接近[34-4]？

通过图形观察比较直观，但是需要以“数”解“形”。对于多个图形，教师应引导学生从多个维度进行分析，进而找到其中隐含的等量关系。对于例2，利用数形结合思想的解题过程如下：

对于第一个图形，其空白部分面积可以表示为大正方形的面积减去小正方形的面积，大正方形的面积为[x2]，小正方形的面积为[y2]，所以第一个图形空白部分的面积为[x2-y2] 。第二梯形的面积可利用梯形面积公式进行求解，由于梯形的上底是[2y]，下底是[2x]，高为（[x-y]），因此梯形的面积为[S=（2y+2x）×（x-y）÷2=（x+y）（x-y）]。由于兩个图形的空白部分面积相等，因此可以得到[x2-y2=（x+y）（x-y）]。上述关系式的推导过程为平方差公式的推导过程。

（三）数形结合思想在全等三角形中的应用

［例3］如图3所示，在三角形ABC中，[AB=AC]，点[E]、[F]在边[BC]上，连接[AE]、[AF]，[∠BAF=∠CAE]，延长[AF]到点[D]，使[AD=AC]，连接[CD]。若[∠ACF=30°]，[∠AEB=130°]，求[∠ADC]的度数。

在解答本题的过程中，需将数形结合思想与全等三角形进行有机结合，进而求得[∠ADC]的度数。具体解题过程如下：

∵[∠BAF=∠CAE]，

∴[∠CAF=∠BAE]，

∵[AB=AC] ，

∴[∠ACF=∠ABE]，

∴[△ABE ]≌[△ACF]，

∴[∠AFC=∠AEB=130°]，

∵[∠ACF=30°]，

∴[∠CAF=180°-130°-30°=20°]，

又∵[AC=AD]，

∴[∠ADC=∠ACD=80°]，

故[∠ADC]的度数为80°。

（四）数形结合思想在一次函数中的应用

（五）数形结合思想在一元二次方程中的应用

［例5］如图5所示，在某小区内部有一块长方形空地，其长为18 m，宽为6 m。规划在其内部修建两块相同的长方形绿地，且它们的面积之和为[60 m2]，在两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通道的宽度是多少？

根据题干可知，本题考查的是一元二次方程，通过列方程的形式来解决此几何问题，具体解题过程如下：

假设人行通道的宽度为[x]米，将长方形内部的两块绿地进行平移得到一个新的长方形，则该长方形的长为（[18-3x]）米，宽为（[6-2x]）米，则可列方程[（18-3x）（6-2x）=60]，化简得[x2-9x+8=0]，解得[x1=8]，[x2=1]。当[x1=8]时，人行通道的宽度大于长方形空地的宽度，不符合题意，舍去，最终可得到人行通道的宽度为1米。

二、数形结合思想的应用反思

（一）以形助数

初中数学教材融合了几何与代数基本知识，教材中的一些概念、定义会涉及大量的数学语言，学生理解起来有很大难度，致使学生未能透彻理解，进而导致学生在后期学习应用中错误频出，从而打击学生学习的积极性。因此，教师在初中数学教学中应加强数形结合思想的应用，将抽象的数学概念转化为直观的数学图象，以加强学生对数学概念知识的认识与理解。

例如，在讲解“函数”概念时，教材上有关函数的定义为：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量[x]与[y]，并且对于[x]的每一个确定的值，[y]都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说[x]是自变量，[y]是[x]的函数。此定义学生理解起来会很吃力，教师可以将其中的函数关系用图象来表示，以便学生深入地了解其中的对应关系。

在初中数学教学中，教师应注重培养学生的数形结合思想，教师应引导学生自主探索利用数学结合思想解决数学问题的方法，将题干中的代数信息转化为图形，结合图形特点进行求解。通过不断地训练，提升学生解决数学问题的能力。例如，在讲解二次函数时，教师可利用多媒体将二次函数的图象呈现出来。对于二次函数增减性的变化、图象变换等知识点，教师可通过几何画板制成动态图象，以加深学生对相关知识的理解。总之，在初中数学教学中，教师应以形助数，增强学生对抽象知识的理解。

（二）以数解形

在题目涉及较多几何图形时，学生在解题过程中往往束手无策。对此，教师应引导学生利用代数思维来理解图形内容，以解决问题。例如，在求解几何动点问题中某图形的最大面积时，由于其动点变化情况多样，教师在讲解时可以结合代数思维将其进行分类，分别求解各种情况下图形的面积并加以比较。将以数解形的思想运用到几何动点问题中，可以帮助学生更好地理解题目，找到合适的解题方法，求出正确的答案。在几何探究中，教师可以引导学生将图形放置到平面直角坐标系中，将相关问题的求解转化为代数问题，使得求解过程更加简便，以此增强学生对相关知识的认知。在初中数学教学中，教师应培养学生以数解形的思维，引导学生将复杂图形简单化，降低学生的解题难度，更好地培养学生的数学思维，提高学生的数学学习水平。

（三）数形结合

在初中数学教学中，教师应将数形结合思想贯穿整个数学教学中，加大对学生数形结合思想的培养。在课前预习环节中，教师可引导学生利用数形结合思想去预习相关知识，记录预习中遇到的问题，以便上课时带着问题听讲，加深学生对数学知识的理解。在课上，教师在讲解数学概念、经典例题时，可将代数思维与几何思维进行有机结合。对于同一道题，教师可向学生讲解多种解题方法，如只采用几何方法、只采用代数方法、代数方法与几何方法相结合等。通过多种解题方法的对比学习，可以强化学生对数形结合思想的掌握。学生在掌握数形结合思想之后，还需不断地加强训练，真正地将其理论知识应用于实践当中。在课下，教师可以给学生布置适当的数学练习题，要求学生采用数形结合思想来解答。在反复练习中，加强学生对数形结合思想的運用，进而更好地培养学生的数学思维能力。

综上所述，在初中数学教学中教师应引导学生充分利用数形结合思想来解题，提高学生的学习效率，培养学生的数学思维。教师还应充分发挥数形结合思想中以形助数、以数解形的作用，将数形结合思想应用到教学全过程，以提高学生的数学学习水平。

［   参   考   文   献   ］

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（责任编辑 黄桂坚）