乔太华 蔡同玉

[摘  要] 如何践行“课标”中对“学习过程”的要求，是命题者必须思考的问题，命题时选择一个几何图形的研究过程作为压轴题，是评价学生学习能力的新尝试. 文章从一个恰当的背景开始，引导学生就某个特征，从如何下定义到研究性质和判定进行思考探究，能较好地体现试题的指标，让学生真切地感悟数学思想的真谛，发展数学核心素养.

[关键词] 学习过程;问题设计;思维线索;背景设计

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）要求数学教学引导学生通过实践、思考、探索、交流等获得基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验. 这一要求强调了学习的过程性. 同时“课标”指出：“在书面测验中，积极探索可以考查学生学习过程的试题，了解学生的学习过程.”如何践行“课标”中对“学习过程”的要求，本文以一道阶段测试题为例，粗浅地谈谈试题的命题过程及感悟.

命题立意

在学生学完苏科版数学教材八年级上册第1章“全等三角形”、第2章“軸对称图形”和第3章“勾股定理”后，笔者决定进行一次阶段测试对教学进行评估，根据学习内容决定将阶段测试卷的最后一题设计为考查学习过程的试题. 前两章主要研究的是几何图形，“课标”要求引导学生经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握几何图形的基础知识和基本技能，以及参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动，发展合情推理和演绎推理的能力，清晰地表达自己的想法. 鉴于此，结合考试与课堂教学的区别，编拟试题时应着重体现出研究一个几何图形的基本路径：现实背景—定义—性质—判定，让学生经历观察、操作、画图、猜想等活动过程. 笔者着重考查学生的阅读理解、类比学习、推理验证等能力，检验学生的数学素养，发现学生的潜能，引导学生在学习过程中养成自主学习、主动探究的习惯.

命题过程

1. 素材选择

首先选择以“三角形全等”和“等腰三角形”为背景的新定义试题，而对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究一直是命题的热点，因此笔者决定选取这个素材进行命题. 关于这个素材绝大多数研究的套路是如何证明这两个三角形全等，笔者决定改变这个套路，选择将上述情形作为一个研究对象，研究它的定义、性质、判定、应用.

试题如何给出定义？新定义型试题一般都是先给出定义，而学习过程是先给出背景，然后通过抽象归纳出本质特征后得到定义的. 因此笔者决定不直接给出定义，而是先给出背景，让学生进行自主抽象归纳得到图形的本质特征. 研究“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形的方法是课本所倡导的图形变换的方法，发现“满足两边和其中一边的对角对应相等”两个三角形可以拼成等腰三角形，笔者决定以这两个图形为线索进行命题. 基于以上思考，形成试题初稿.

2. 初稿

【发现】

在△ABC中，AC=AB，D是BC上任意一点. 小刚观察图1时，发现等腰三角形ABC是由△ABD与△ACD拼接而成的.小刚觉得能拼接成一个等腰三角形的两个三角形之间会有值得研究的内容，他把具备“有两边和其中一边的对角对应相等且能拼成等腰三角形”特征的两个三角形定义为“等互补三角形”. 请你帮助小刚进行探索.

【探究】

（1）等互补三角形的边与边、角与角之间会有什么关系？

填空：_____________.

（2）等互补三角形的判定方法有哪些？如图2，请写出两个即可，并选择一个进行证明.

①已知：________，求证：△ABC与△DFE是等互补三角形.

②已知：________，求证：△ABC与△DFE是等互补三角形.

【应用】

（3）已知：如图3，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，请用尺规在平面找一点D，使△ABD与△ABC是等互补三角形.

（4） 如图4，在△ABC中，∠B=∠C=30°，点E，F，D分别在AB，AC，BC上，且∠EDF=60°，若BE+CF=a，求BC的长.

反思 本题就是一个全等三角形研究过程的缩小版. 先给出一个背景、一个图形的定义，但是图形的相关特征需要考生去观察、思考、归纳，然后研究性质、判定和应用，整个过程开放性较大. “发现”部分模拟了平时学习的一个片段，引出概念的同时，引导学生能自主发现和提出问题、分析和解决问题，提升学生的综合探究能力. 选择“拼成等腰三角形”作为概念的特征，与全等的概念类似，这样学生能顺利地借鉴研究全等三角形的方法. “探究”部分主要是研究等互补三角形的性质和判定，目的是要让学生类比全等三角形的性质和判定的研究方法. 性质直接根据定义是容易得到的，用符号表示或用文字表述都可，充分考查学生的表达能力;对于判定要求选择一个进行证明，从边角考虑有三种证明方法，其中有两种比较简单，可考查学生的辨析能力. 从性质选取适当的结论作为条件，具有一定的探究性. “应用”部分不但考查性质和判定的应用，而且考查了拼图、割补的转化方法. 整个过程具有关联性和生长性，能考查学生对研究几何对象的过程的掌握情况.

但是通过试做发现，学生要表达清楚“探究”中的性质还是有一定的困难，将其放在第一问的起点偏高;判定的探索和证明过于开放，因为在证明中要将图形进行割补和分类，在这里难度较大. 同时分值设置方面，最后一题一般10～12分，这些问题的分值不容易确定. 基于上述反思，形成试题二稿.

3. 二稿

【发现】

在△ABC中，AC=AB，D是BC上任意一点. 小刚观察图5时，发现等腰三角形ABC是由△ABD与△ACD拼接而成的.小刚觉得能拼接成一个等腰三角形的两个三角形之间应该有值得研究的内容，他把具备这个特征的两个三角形定义为等互补三角形. 请你帮助小刚进行探索.

【探究】

（1）等互补三角形的性质有哪些？即等互补三角形的边与边、角与角之间会有什么关系？

填空：等互补三角形中，有两组边分别相等，其中一组相等的边所对的角_______，另一组相等的边所对的角_______.

（2）等互补三角形的判定方法有哪些？

①小刚探索得到如下判定：

如图6，已知：AC=DE，CB=EF，∠A=∠D，且∠ABC与∠DFE不同为锐角或钝角，求证：△ABC与△DFE是等互补三角形.

小刚观察图5发现，当第3组边BD与CD出现相等这种特殊情形时，∠ADB=∠ADC=90°，显然当图6中∠ABC=∠DFE=90°时，△ABC与△DFE是等互补三角形. ∠ABC与∠DFE不等于90°怎么办呢？不妨设∠DFE<∠ABC，然后转化为全等或等腰三角形即可，所以本题可分两种情形进行证明. 请完成证明.

②如图6，请再写出两个类似的判定，不要求证明. 填空：

已知______，那么△ABC与△DFE是等互补三角形;或已知_______，那么△ABC与△DFE是等互补三角形.

【应用】

（3）如图7，在△ABC中，∠B=60°，∠C=40°，请用尺规在平面找一点D，使△ABD与△ABC是等互补三角形.

（4）如图8，在△ABC中，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，且EC≠BF，BE=EF=FC，∠ECB=30°，BF+EC=8，求BC的长.

反思 因为学生在用语言描述命题时，语言表达上往往很难严谨，所以将“探索”部分的第（1）题改为填空，指出性质探索的方向，降低起点. 其实性质中涉及四个方面，只需把其中三个作为条件即可得到等互补三角形的判定，但是若有条件证明两个角互补时，很容易就能证明等互补三角形，因此改为先给出一个判定，然后引导进行证明. 其实这个命题的证明需要分类，同时特殊情形也为一般情形的证明提供了方法，即作垂直利用全等即可，当然本题也可以割或补出一个等腰三角形，再证一次全等即可，这是最常见的思路，学生应该能想到. 最后一问中既需要考虑性质又需要考虑判定，考查的过程基本完整，同时把两个三角形进行了另一种拼图. 只要学生有意识地去找等互补三角形，就能获得思路. 在确定等互补三角形后，利用图5或直接割补再作垂直都可以求解，只要运用题目中涉及的方法和知识就能解决问题. 恰当的提示能给学生留下深刻印象，因为测试时的思维的高度集中，有利于刺激加强，所以在测试时涉及一些重要方法提示，有利于学生掌握这些方法.

试题首先给出一个模拟学生的探究活动的背景，这既是为了得出概念的需要，又提示学生在平时的学习中要做一个有心人. 探究问题处处有，如何应用描述性概念，需要学生自己先去抽象归纳定义，然后研究性质，再研究判定，最后应用. 对于性质给出了提示，但是判定需要学生自主去探究，这充分考查了如何得到定义，如何根据性质得到判定的过程. 对于判定先给予提示，然后要求完成，提示暗示了研究问题的策略，从特殊入手，一般可以转化为特殊，也可以向其他方向转化，最后一问在确定是等互补三角形后即可回到定义拼为图5，也可利用证明判定的方法进行求解. 但是仔细回味，觉得性质的提示太直接了，并没有对性质提炼过程的考查. 基于上述反思，形成试题定稿.

4. 定稿

【发现】

在△ABC中，AC=AB，D是BC上任意一点. 小刚观察图9时，发现等腰三角形ABC是由△ABD与△ACD拼接而成的. 小刚觉得能拼接成一个等腰三角形的两个三角形之间应该有值得研究的内容，他把具备这个特征的两个三角形定义为等互补三角形.请你帮助小刚进行探索.

【探究】

（1）等互补三角形的性质有哪些？

填空：如图10，若将C与E且B与F重合（点A，D在CB两侧），可拼成等腰三角形，那么_______. （写出3个以上的结论）

（2）等互补三角形的判定方法有哪些？

①小刚经探索得到一种判定：若两个三角形，有两组边分别对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，另一组等边所对的角不同为锐角或钝角，那么这两个三角形是等互补三角形.

小刚进行了如下分析：

已知：△ABC与△DFE中，AC=DE，CB=EF，∠A=∠D，且∠ABC与∠DFE不同为锐角或钝角，求证：△ABC与△DFE是等互补三角形.

小刚观察图9发现，当第3组边BD与CD出现相等这种特殊情形时，∠ADB=∠ADC=90°，显然当图10中∠ABC=∠DFE=90°时，△ABC与△DFE是等互补三角形.∠ABC与∠DFE不等于90°怎么办呢？转化思想是法宝，不妨设∠DFE<∠ABC，然后将其转化为全等或等腰三角形即可，因此本题可分两种情形进行证明. 请完成证明.

②如图10，请再写出两个类似的判定，不要求证明.

【应用】

（3）如图11，在△ABC中，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，且EC≠BF，BE=EF=FC，∠ECB=30°，EC+BF=8，求BC的长.

反思 选择图形的组成要素来研究图形的性质和判定是一种基本思路，因为这里无法确定对应边和对应角，所以必须给出提示，否则学生很难表达清楚. 这时回到定义中去，让学生结合图形并根据定义将对应关系确定好，用重合进行表达，不影响学生对性质和判定的发现与研究过程的考察.

定稿中“发现”部分一改之前直接给出条件限制的“新定义”的方法，而是给出一个模拟自主学习的片段. 学生根据等互补三角形这个名称去自主探索图形，充分考查了自身的抽象概括能力. “探索”部分考查了“图形的性质和判定研究什么和怎么研究”的过程，性质和判定研究的是图形的组成要素和相关要素之间的位置、大小等关系，除此之外，我们还要重点研究性质与判定的互逆关系. 这些都由学生自主去探究，如果学生没有积极参与平时的学习，那么他们不知道该探究什么和如何去探究，充分体现了学习过程的重要性. 等互補三角形的组成要素是边和角，关于它们的性质一般有四个，两组边等、一组角等、一组角互补，判定可以从中任意选取三个作为条件，而其中有两个的证明较难，但是方法基本一样. 这里选择一个并做了一些提示，目的是降低难度，让题目更有梯度. “应用”部分的试题倒不是太难，关键是如何让学生应用上述知识来解决. 解题的关键是学生要有概念意识，先根据条件找一找有没有等互补三角形，然后运用“发现”中的图形意义及“探究”中的判定证明方法（拼、分、补、作垂直等）. 整个过程设置流畅，梯度明显，难度恰当，暗含线索，充分展现了研究几何对象的方法和内容，体现了对学生学习过程的考查，培养了学生的基本活动经验、探究能力、数学核心素养.

参考答案：

（1）AC=DE，CB=EF，∠A=∠D，∠ABC+∠DFE=180°.

证明 当∠ABC=∠DFE=90°时，将C与E，B与F重合，因为∠ABC+∠DFE=180°，所以A，B，F，D在一条直线上，即可拼成等腰三角形，△ABC与△DFE是等互补三角形.

（2）①不妨设∠DFE<∠ABC，则AB

②若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角互补，那么这两个三角形是等互补三角形;若两个三角形，有一组角相等，一组角互补，且相等角的对边相等，那么这两个三角形是等互补三角形;若两个三角形，有一组角相等，一组角互补，且互补的角的对边相等，那么这两个三角形是等互补三角形. 也可以结合图10用已知和求证进行表达.

（3）方法不唯一，提供一种. 由∠A=60°得∠ABC+∠ACB=120°，又由BE=EF=FC，得∠EBF=∠EFB，∠FEC=∠FCE，则得∠EBF+∠FCE=∠FEC+∠EFB=∠FBC+∠ECB，所以∠FBC+∠ECB=60°. 又∠ECB=30°，所以∠ECB=∠FBC=30°. 所以△EBC与△FBC是等互补三角形.所以∠BEC+∠CFB=180°，将△EBC与△FBC拼成等腰三角形，即可得到BC=.

命题感悟

1. 选择有价值的问题情境

在平时的作业中，若能多出现一些学生学习过程的背景，使学生在解题的同时，也能激发相应的情绪感应. 这是一种潜移默化的学习方法的渗透，学生经常去做这样的题目就会受到感染，获得启示，从而会不自觉地进行模仿，运用这些方法进行学习. 背景可以选择一个知识的形成过程，或对某个问题的思考和交流过程，或对某个错误的交流纠错过程，或对某个问题的自主探究过程. 这些过程可以白描、对话或卡通图示等方式出现，形式尽量活泼一点，语言要简洁、精炼.

2. 设计适当的引导过程

将一个学习过程通过问题进行呈现是一件比较难的事，学习的过程情境性较浓，有时需要根据问题的回答引出下面的问题. 在设计引导问题时，要突出核心内容，那就是一般的思维方法、思想、体现核心素养的元素等. 如新概念的抽象过程、研究数学对象的基本套路;学生之间的交流探究过程中，如何去感悟、理解、接受、质疑同学的观点，自我反思的过程等. 本题中，对于等互补三角形的概念只是描述性的，需要学生自己去观察提炼特征;对性质的研究给出了条件，但未告知结论，需要学生知道研究的图形的几何要素是什么，否则抓不住关键点;给出一个判定，通过指示提醒学生思考的方向，而具体怎么做，还需要学生有一定的思维能力，这些都充分体现了数学核心素养. 过程引导过细，无法考查学生的探究过程;过程太开放，学生无法把握住关键点，因此怎样设问就显得特别重要. 不能把一个探究过程设计为课堂巩固练习的形式，只有过程之形却无探究之实，第二稿便具有这样的特征.

3. 鋪设自然的思维线索

问题中的每个小问最好能环环相扣，逐步递进，形成一个小型的类似“科研”的过程，从而能有效地考查学生科学的思维方式，而不是让学生单纯地做几个题目. 如几何概念的定义过程，首先如何用数学的眼光观察一类事物，其次定义一个几何对象要完成哪些事情（背景—定义—表示—分类），最后如何确定分类标准（几何对象组成要素的关系），引导学生从这些方面思考. 对于一类数学对象，无论是几何对象还是代数对象，“特殊情形”往往是很重要的. 相应的，“特殊化”也是发现和提出问题的重要方法. 针对这些教师可以思考，如何通过问题将这些数学的思维方式展现出来. 教师还可以将一些常用的数学思想方法作为一条主线，从简单的问题开始，逐步提升难度，让学生边解决简单的问题边反思，通过对每个小题进行类比，不断将深层次的问题向简单的问题转化，从而获得解决问题的方法.

这样命题意在引导教师不要把数学教学理解为单一的解题教学，而要关注学生的学习过程和方法，重视对新知识、新概念、新方法的探究过程，多组织有效的数学活动，多创造学生参与数学活动的机会，多让学生真正经历知识的形成和应用过程，在过程中感悟数学思想，在过程中积累基本活动经验，提升数学探究能力，发展数学核心素养.