文∣田红梅

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出：要引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理等方法分析问题和解决问题。[1]这一要求明确了核心素养导向下基于真实情境展开数学学习和思考的一般路径。杜威认为“思维起于直接经验的情境”，强调情境对于学生的思维具有激发作用。思考题作为苏教版数学教材中一个专门的板块，常常以纯数学化的良构问题出现，对学生而言，它的思维层级高，难度更大。因此，在思考题教学中，教师应尽可能将所要研究的问题置于真实情境下，在个体与环境的相互作用下推动学生的认知发展。

“重叠”问题是苏教版二年级上册“表内除法”单元的一道思考题(见图1)。该题对二年级的学生而言较抽象、不易理解。学生可能凭直觉找到一些方法，但并不能说清楚其中的道理。那么，面对二年级的学生，我们到底应该让其经历怎样的探究过程？问题背后的数学道理需不需要让学生明白？经过研究思考，笔者认为，教师应当致力于创设能给学生带来情感触动、能为学习的展开提供支撑的真实情境，促进真问题的研究及学生思维发展。这更符合小学生数学学习的过程和目标。笔者尝试从物型情境、图文情境、延展情境、变式情境四个维度展开，全面呈现学生在真实情境下自主探究、思维进阶的过程。

图1

一、物型情境：具身体验，精准认知原点

物型情境是人们利用实际物体或模型创造的情境，以便更好地理解和体验相关的场景或问题。根据皮亚杰认知发展理论，小学低年级学生的思维处于具体运算阶段，这一阶段的思维一般还不能离开具体事物的支持。因此，基于物型情境，提供适切的支架让学生充分地活动，以外显化的方式降低其所面临任务的复杂性，对于加深儿童对数学的理解具有重要的意义。学生对“重叠”的认识，并不止于对集合圈中重叠部分的了解，还应当能感知“为何要重叠”“重叠了会带来什么变化”“重叠部分和不重叠部分之间有什么关系”等要点。教师可以借助2个呼啦圈创设情境，让学生站一站、玩一玩、说一说，亲身体验“重叠”是如何发生的。物型情境让问题解决回归学生的经验原点、生活原点，思维进阶从这里启动。

【教学案例1】

上课伊始，用2个呼啦圈做“站圈圈”的小游戏，瞬间激发出学生的学习热情。教师提出问题：想要使每个圈站1人，需要几人？到圈里来站一站。有学生认为需要2人，1个圈里站1人；也有学生认为1人就可以了，只要将2个圈部分重叠，让1人站在重叠部分。随着学生边说边演示，其他人看到重叠部分的学生确实既在左边的圈里，又在右边的圈里，巧妙而有趣地满足了游戏要求。游戏继续，教师接着提问：如果有3个人，想要每个圈站2人，怎么站？想要每个圈站3人呢？最后，教师把2个圈移到课件上，从直观具体的实物圈抽象出数学上的集合圈，帮助学生完成对“重叠”的初步认识。

具身认知理论认为“学习是全身心参与的过程，具身体验应为知识有效获取不可缺少的途径，其知识建构应该依赖于学生自身的感知、体验及由此产生的对外界事物的解释”[2]。怎样能使每个圈都站1人？从“需要2人”到“只要1人”，在物型情境的亲身体验中，“重叠”成为解决问题的需要，伴随着学生的主动思考自然出现。而后，游戏升级：总人数不变，每个圈站的人数越来越多。学生再一次在圈里站一站，判断是否正确，持续感受“重叠”的含义。这一环节道具简单，过程也不复杂，但在物型情境下，我们分明可以感受到，成人眼中的问题解决过程，在学生眼里就是一段有趣的游戏经历。他们乐在其中，充分感知，“重叠”由一个抽象的词转化为一个生动的画面，从平面变得立体。

二、图文情境：尝试探究，感知学习路径

图文情境是通过结合图像和文字来表达和传递信息的一种方式。在图文情境中，图像和文字相辅相成，相互补充，图像直观地展示事物的形象，而文字则进一步说明和解释图像所表达的含义和信息，图文结合共同构建起更加生动而又充满吸引力的问题情境。对小学低年级的学生而言，他们很少遇到现实世界中的复杂问题，他们的世界简单而生动，所以适切的图文情境在他们眼里就是真实的生活场景，其间遇到的问题往往能够引发他们真实的思考，让他们在探索解决、寻找共性的过程中丰富问题模型，感知学习路径，促进思维的发展。

【教学案例2】

经历了前面的游戏环节，学生意犹未尽。于是，教师又创设了7个小矮人玩“站圈圈”游戏的图文情境，出示7个小矮人的图片及文字信息：7个人，2个圈，想要每个圈都站4人，怎么站呢？在学生初步思考后提出如下步骤：(1)用小矮人剪影，在圈圈图上尝试摆一摆；(2)同桌之间交流尝试的方法。学生自主尝试、交流后汇报，逐步提炼出“尝试—检验—调整—再检验”的一般路径。

上述教学活动，故事情境中的小矮人以剪影的形式出现在圈圈里，实际上是换了一种支架延续案例1的站圈游戏，代入感十足。从亲身参与到借助剪影操作，每个圈站的人数从2人到4人，这不是低阶的简单重复，而是从直觉感知逐步走向有序探究，思考路径逐步明晰。教师明确游戏规则后，要求学生尝试在圈圈图上摆一摆，并且把自己尝试的方法和同桌交流。显然，在这里教师关注的不是学生摆出来的结果，而是“你是怎么尝试的”。学生找到解决方法的路径可能是不同的，比如在两边的不重叠部分依次同时站1人、2人、3人，利用“平均分”的方法使两边人数同样多，让剩下的人站重叠部分，再检验是否需要调整；也可以先确保每个圈站4人，让4人都站在重叠部分，然后进行调整，直到7人都站进圈里；等等。方法不同，相同的是学生始终在真实问题情境下尝试、检验、调整、再检验，直到符合游戏规则。

有人认为，现在和将来的社会已经不再需要只会快速演算的劳动者，而更加青睐对自己的数学能力充满自信、愿意主动尝试、善于进行数学推理和论证并解决问题的人。图文情境下，每一个学生都作为游戏的主体参与到问题解决中来，对照教师的要求进行沉浸式地思考问题，在反复“尝试—检验—调整—再检验”的过程中，感受到这一路径的普适性和一般性。图文情境中的真实任务让数学问题有了支撑，为学生的思考找准了生发点，使问题解决有了意义感和价值感。

三、延展情境：层级思辨，显化问题模型

根据SOLO分类评价法，比格斯把学生对某个问题的学习结果由低到高划分为五个层次：前结构、单点结构、多点结构、关联结构和抽象拓展结构。不同层次代表不同的思维层级，体现了学习过程和学习结果的多样性。教师在教学中应当引领学生经历“碎片化思考—关联思考—拓展思考”的递进过程，通过对已有结果的对比分析，把握不同方法的要点和实质，对问题进行抽象概括，逐步深化，在层级思辨中，使问题模型逐步显化、完整。这就需要教师通过延展情境进一步拓展原来的学习情境，提出更具挑战性和复杂性的问题或任务，让学生在此基础上进行更深入透彻的思考和分析，培养高阶思维能力和创造力。

【教学案例3】

解决了前面的游戏问题，教师让学生利用已有经验继续思考：7个小矮人，2个圈，如果想要每个圈站5人，怎么站？问题解决后，引导学生观察、比较黑板上的两幅图(如图2)，说一说有什么发现。学生比较后很快得出：(1)总人数没有变；(2)每个圈的人数变多了；(3)重叠部分的人变多了，不重叠部分的人数变少了。进一步的思考自然生发：这里的“多”与“少”之间藏着什么规律呢？学生尝试解释，而后教师借助动画演示让学生看到“每个圈站4人”时两个圈由分开到重叠的动态变化过程，讨论重叠部分的“1”是怎么来的。在此基础上，进一步解释为什么“每个圈站5人，要在中间重叠部分站3人”。在交流过程中，帮助学生逐步提炼出“想”“比”“叠”这一更高位的思考方法。

图2

在之前的图文情境中，学生通过自主尝试、探究，找到了多种解决问题的思路，并能够把这些思路结合起来，发现问题解决的一般路径。这表明学生对这一问题的学习结果已经超越多点结构层次，达到关联结构层次，但还未能实现问题的抽象拓展，需要进一步的延伸思考。因此，教师没有止于问题解决，而是进一步延伸原来的图文情境，让学生在延展情境下进一步观察、比较，尝试发现规律并解释规律，由表及里，层层递进，同时引导学生用数学语言阐释结果背后的道理，让不同思维层次的学生获得不同的发展。为了让学生理解重叠部分的“1”是怎么来的，教师借助动画演示，让学生清晰地看到少1人就要让1人站中间，让这个人“以一当二”用2次。在这个发现、解释的思考过程中，学生的思考更加条理化、结构化，集合圈问题模型逐步显化：“想——2个圈分开要几人”“比——实际上少几人”“叠——少几人就在重叠部分站几人”。在这里，延展的真实情境成为数学学习中，学生对知识的感知从浅层理解到建构模型、思维进阶的联结和基础。

四、变式情境：意趣共生，驱动思考延伸

数学课堂是深刻的，也应是灵性的；是有意义的，也应是有意思的。宋代大儒朱熹曾说：“教人未见意趣，必不乐学。”数学学习中的“意趣共生”则是将尊重儿童的生命意识放在教学的首位，以思维发展和素养提升为目标，以学生的主动、互动、能动为表征，形成意趣兼得的数学学习场。解决了2个圈重叠的问题，学生在脑海里完成了对集合圈模型的初步建构，此时，3个圈重叠问题已经呼之欲出。但教师并没有直接出示教材上的思考题，而是通过变式情境驱动思考主动延伸。创设变式情境，一方面要延续前面的故事情境，让学生保持连贯的思考；另一方面要通过新角色的引入、故事情节的变化、任务难度的加大，促进学生的情感投入和主动参与。变式情境下，学生不再是知识的搬运工，反而因问题解决过程与结果的不确定，更好地激发出探索动力和创造力，在真实而有意义的过程中感受到学习的“意趣”。

【教学案例4】

教师用PPT出示白雪公主和7个小矮人一共8个人，这一次他们想怎么玩呢？教师再次明确游戏规则：8个人，3个圈，要求每个圈站4人，该怎么站？圈数和人数的增加给学生带来了新的挑战。学生讨论后提出，可以将3个圈部分重叠或2个圈部分重叠。进一步思考发现，当2个圈部分重叠，只要“让右边的圈里站4人”，再考虑“左边2个圈怎样能使每个圈站4人即可”(如图3)。

图3

接下来，游戏继续。右圈的小矮人带着自己的圈悄悄移了过来，出现了新的重叠部分，于是2个圈重叠变成了3个圈重叠(如图4)。问题来了，有1个小矮人被挤进了右边重叠部分，现在每个圈还是4人吗？怎么调整？学生观察后发现，可以从左边重叠部分移1个小矮人到左圈的不重叠部分(如图5)。问题解决后，小矮人又把圈移过来了一点，又有1个小矮人被挤进了右边重叠部分……如此不断重复，直到最后回到2个圈重叠的初始状态(如图6)。学生在不知不觉中解决了教材中的思考题，且有序地找到了多种方法。接下来观察、寻找发现它们的相同之处，并思考：为什么重叠部分相加的和总是4呢？进一步发现规律背后的数学道理。

图4

图6

第一次看到7个小矮人时，就有学生小声嘀咕：“白雪公主去哪儿了呢？”所以，在这一情境中，当看到白雪公主出现时，学生的热情又一次被点燃，于创设的情境中主动积极参与探索。解决3个圈的问题时，教师有意突出了“让2个圈部分重叠”的方法，引导学生发现3个圈的问题可以转化为2个圈的问题，新知转化为旧知，感受转化思想。接下来，根据小矮人挤进挤出的故事情境，让圈圈动起来，完成从2个圈重叠到3个圈重叠的横向延伸。在此基础上，教师引导学生关注“变化”中的“不变”，并尝试结合2个圈重叠时“想”“比”“叠”的经验来解释，发现圈变多了，但道理是一样的：如果3个圈是分开的，需要12人，现在只有8人，少4人，所以必须让4人站在重叠部分，让他们数2次。在这里，解决问题的支架从剪影转换成三角形，让学生的注意力更多地集中在圈内物体的变化上，关注对象从真实情境中的人物自然转移到数学情境中的符号，完成从具身体验到直观再到半抽象的思维进阶历程。

心理学研究表明，好奇是个体学习的内在动机之一，是个体寻求知识的动力，能够推动个体主动积极地观察世界，探索解决问题的方法。真实情境下的问题，能够最大化地激发儿童的好奇心，让他们愿意主动参与学习过程，在自由的游戏和探索过程中感受到数学的意趣，享受思考。3个圈的问题如果直接出示，学生最终也能找到解决方法，但只是为解题而解题，部分学生还可能会产生畏难情绪。变式情境下的步步递进，使得2个圈到3个圈的数量变化以及3个圈的位置变化的情境都充满了童趣，学生的好奇心被不断激发，循着小矮人的游戏自然生发出更多的思考和探究。

真实情境融入问题解决助推学生思维进阶，需要教师的精心设计、悉心指导以及工具支持，同时还应鼓励学生积极探索、迎接挑战。将学习置于真实情境中，学生才能找到所学内容与真实世界的联结，在沉浸式的主动探究下获得经验、锤炼思维，从而形成问题解决、团结协作、自主创新和适应变化的综合能力，并衍生出归属感和价值感。而这，正是学生在未来社会的立身之本。