辽宁省沈阳市沈河区教师进修学校 王 丹

数学概念是指客观事物或现象的数量关系或空间形式在人们大脑中的反映.也就是说我们一旦对事物的本质属性产生了认识，就会在脑海中形成相应的概念.于数学学科而言，概念就是它的基础或构成细胞，是培养学生逻辑思维的关键性因素，学生只有形成了相应的概念，才能进行较好的思维.缺乏概念的支撑，不仅无法思维，更无法准确判断.

1 趣味导入，激发灵感

布鲁纳曾经说过：“学生若没有事先从直觉上接触过概念，贸然将概念以正规形式呈现在他们面前，会让概念的学习变得力不从心.”[1]由此可见，概念的导入对概念教学的成效具有举足轻重的影响.众所周知，兴趣是学习最好的老师.结合学生的心理发展特征，利用学生感兴趣的方式进行概念导入能起到事半功倍的效果.

常用的概念导入方法有以下几种：①分析现实材料，抽象概念.利用贴合学生生活实际的材料，如实物、模型或图示等，让学生在观察与分析中抽象出它们的特征形成概念.②结合内在需求引入概念.每个人都有内在发展的需求，而这种需求是推动学科发展的主要动力，教师可通过激发学生认知矛盾的方式，促使学生产生探究的欲望.③类比分析，明晰概念.类比是一种重要的数学思想，我们可将生活中具有共性特征的事物罗列到一起，鼓励学生在异同点的类比分析中明晰概念.

案例1“平行线”的概念教学

为了激发学生对平行线的兴趣，教师可让学生观察生活中熟悉的铁轨、公路分流线(见图1)等，从中抽象出它们共同的本质属性.

图1

学生在观察与交流后一致认为它们的共同属性是都有可以无限延长，却永不相交的线存在.

师：还有其他补充吗？

生1：应该是在同一个平面内，要是不在一个平面就不好说了.

师：非常好！这就是我们今天要学的“平行线”.现在请你们根据刚才的观察与分析，完整地说一说平行线的概念.

…………

以生活素材作为平行线概念教学的导入，不仅快速激起了学生探究的兴趣，还让学生在观察与交流中产生灵感，自主抽象出相应的概念.学生通过对生活实例的观察，体会到平行线的本质属性与生活实际应用价值.这种教学设计，有效地提升了学生从生活现象中抽象数学知识的能力，为培养学生的抽象逻辑思维奠定了坚实的基础.

2 注重交流，概念形成

概念的形成需经历一个概括的过程.概括就是以一些典型的事物或实物作为分析的载体，通过学习者的探究与交流分析出它们的共有属性.概括的过程就是概念形成的过程，而数学教学本就要求讲究背景、思想与应用，概念概括则体现了这个过程[2].学生的学习能力在概念概括中得以体现，因此，发展学生的数学能力首先要注重概念概括过程.

一般情况下，概念的形成不可能一步到位，需经历从模糊到清晰、从片面到全面、从特殊到一般的过程.因此，教师在概念教学时要保持充足的耐心，不要急于求成，可通过循序渐进的引导，让学生在合作交流、反思中由浅入深地实现概念概括.

案例2“方差、标准差”的概念教学

教师提供以下材料，供学生讨论：

如表1，这是江苏省某市2020年3月与2021年同期的每天最高气温对照情况：

表1 两年同期的每天最高气温对照 单位：℃

对于这组数据，该如何进行比较呢？学生尝试使用学过的平均数、中位数以及众数等，经统计分析后发现三个量竟然毫无差异，这样的结果让不少学生感到惊诧.如此，是不是说明这两年在同一时间段的气温就毫无差异呢？有些学生不禁提出疑问：除了以上几种比较方式以外，还可以用什么指标来分析这种差异？

此时教师提醒学生可尝试将数据绘制成统计图，然后再进行观察.学生的探究欲立刻就被激起，且快速进入小组合作学习的模式，各组学生积极地制图、分析、思考.巡查中，笔者发现学生有如下交流：

生1：从绘制而成的折线图中来看，这两组数据有着一定的起伏.如果去掉每组的最大与最小值之后，其他数据是否存在差异性波动呢？

生2：是不是可以用一个更加敏感的新指标来进行数据分析？

生3：咱们尝试从每个数值与平均数的关系着手呢？

生4：若将各个数据与平均数的差相加试试看呢？

…………

随着学生之间交流的不断深入，方差的概念随着学生的合作交流自然诞生.虽然有些组还处于不太肯定的探究阶段，但都已经认识到数据的个数对他们所提出的新指标有着影响.随后，各组代表逐一汇报了本组对这张表格的研究结论，教师在此基础上及时给予引导与完善.方差与标准差的概念也就在师生共同的交流中概括而成.

学生通过自主合作交流，从教师提供的材料数据中概括、提炼出其中的本质特征，虽然提炼过程中有各种障碍与疑问，但这些障碍与疑问很显然就是思维的脚手架，促进学生在一步步的思考与分析中获得新知.虽然学生的概括不一定准确，用词也不够精准，但他们共同探讨、交流的过程就是不断完善的过程.因此，教师应耐心地做好引导工作，倾听学生的言论，让学生在舒适、和谐的氛围内更好地思考与探索，为创新意识的形成与发展奠定基础.

3 变式拓展，灵活应用

概念的学习是为了更好地应用，应用能力体现了学生对概念的理解程度.因此，适当的练习是促进学生深入理解概念的有效方法.教学中，常发现一些学生已经掌握了课堂中的一些练习，但课后题目稍微发生点变化就又力不从心了.究其原因主要还在于没有深入掌握概念的内涵，从而无法灵活变通.因此，教师在设计练习时，可有意识地设计一些变式训练，让学生深切体验概念的灵活性，获得举一反三的能力.

变式在概念教学中的应用，按概念的类型主要分：①不定义型概念.此类概念的变式训练方式以描述或列举为主.②定义型概念.此类概念的变式拓展可应用逻辑关系编拟变式训练内容，如真、假、逆、否命题等.③不理解型概念.有些学生虽然能一字不落地背诵概念，但对它的理解程度却只停留在浅表层面.此类概念可从不同角度辅以正反事例进行变式设计.④不易想象型概念.如几何类的概念，可借助图形的变化进行变式训练，让学生在数形结合中对概念产生更加直观形象的认识.

弄清概念的内涵与外延是概念教学的首要任务，它对解决相应的问题具有重要影响.变式的应用能让学生学会从不同的视角观察与分析问题，对推进教学活动与完善学生的思维具有深远的影响.

案例3“一次函数”的概念教学

原题已知关于x的一次函数y=x(a-3)-3，求a的值.

变式1已知关于x的一次函数y=(a+3)x-3，求a的取值范围.

变式2已知关于x的一次函数y=(a+3)·xa2-3-3，求a的值.

变式3已知关于x的一次函数y=(a+3)x+4x-3，求a的取值范围.

这三个变式的设计，从学生对概念理解的基础上拓展而来，变式问题的提出与学生的最近发展区相契合.学生在对问题的探究与思考中逐渐领悟一次函数概念的内涵与外延，同时不少学生的思维也到“跳一跳，摘到桃”的效果.

总之，概念在数学学科中的地位犹如一座大厦的地基，对学生后期的学习具有决定性的影响.作为教师，不仅要关注学生对概念的理解程度，还要注重对学生概念应用能力的培养.让学生在概念学习过程中获得良好的数学思想与方法，为创造力的形成与发展奠定基础.