无锡市太湖格致中学 陈 锋 江阴市夏港中学 刘 玉

初中数学核心概念主动建构的教学研究，倡导以学生为本，自主探究、合作交流、师生互动的数学课堂，以概念形成、概念辨析、概念强化、概念应用和概念发展为基本流程，引导学生主动构建概念，体会“核心概念”.其目的就是从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面改进数学课堂教与学的方式，培养学生的数学学科核心素养，发挥数学教育在“立德树人”的根本任务中“不可替代”的作用.

1 核心概念主动建构的设计原则

(1)情智交融.教师正确运用“情意原理”,激发学生的情感，加强执教者和学习者之间的情感交流，放大学生学习的动机，激活学生对所学内容的好奇心和求知欲，用良好的情意状态促进认知发展，变学生的消极被动状态为积极主动状态.

(2)引导参与.教师正确设计“认知支架”，为学生搭建开放思考和积极探索的平台，通过学习单设计，引导学生积极参与学习的主动建构，在支架性问题的探索中学会发现和提出问题、分析和解决问题，掌握概念、获取知识、发展能力.

(3)学法指导.教师正确设计“单元教学”，围绕单元“核心概念”积极挖掘、补充、整合、重组教材，以基本问题引导学生选择恰当的方法展开学习，在过程中适时揭示学习展开的路径和知识生长的脉络，在活动中学会学习的方法，不断提高学习能力.

(4)元认知.学生在建构具体知识的过程中，通过对建构过程的再认识，感悟其中所蕴含的基本思想方法.这个过程中教师通过适时的点拨和学生及时的反思、总结、分享、串联，让学生把自己的认知过程展示出来，帮助学生体悟到概念性知识中所蕴含的核心概念.

2 核心概念主动建构的设计策略

根据课堂教学实践，核心概念的教学策略从三个方面展开.第一，根据核心概念的特点进行教学内容分析，即从备课、学生预习、课堂生成内容等方面进行分析.在此基础上，认真思考哪些教学内容和方法是学生建构核心概念最感兴趣的，哪些核心概念是学生已经知道的，哪些核心概念是学生经过自主学习可以主动建构的，哪些核心概念是需要教师引导点拨才能建构的，哪些核心概念是学生目前无法认知的.在备课时要尽可能考虑周全，在上课时作出准确的判断，进而采取正确的对策.第二，教学内容的选择和整合.根据不同的核心概念，在课堂教学中围绕核心概念主动建构应该选择什么教学内容，怎样选择教学内容，教学内容可以作怎样的整合.第三，根据学生特点和核心概念的特征确定教学方法.不同的学生、不同的班级具有不同的特点，不同的内容领域体现不同的核心概念，有相应的教学方法和不同的设计策略.如何通过恰当的设计策略，让更多的学生彻底理解学科中真正重要的“核心概念”，这正是策略研究要重点解决的问题.用明确的核心概念来引领教学，清晰界定预期结果，预设结果达成的证据集合，指导教学内容和教学方法选择.

3 核心概念主动建构教学设计案例

下面分别在初中数学“数与代数”“图形与几何”“概率与统计”“综合与实践”四大领域各撷取一例说明核心概念主动构建的设计原则与策略的具体应用.

3.1 案例1 因式分解

(1)对核心概念的简要说明

“因式分解”是多项式乘法的逆运算，是一种重要的计算方法，是初、高中化简运算的基础.“因式分解”的概念不难理解，但为什么要因式分解？对这个综合“数感”“符号意识”“运算能力”的问题，可以引导学生经历主动建构的学习过程来达成.

(2)主动探究的建构流程

1)尝试性计算——直观感受

问题1 你能用几种不同的方法计算1002-992？

请几位学生回答，得出如下3种方法.

法1：直接计算.1002-992=10 000-9801=199.

法2：转化法.1002-992=1002-(100-1)2=1002-1002+2×100-1=199.

法3：逆用公式法.少数思维灵活的学生能联想到平方差公式，即1002-992=(100+99)(100-99)=199×1=199.

2)对比式感知——算法比较

问题2 你认为哪种计算方法更简单呢？(学生对比后普遍感到法3更简单.)

问题3 哪位同学能把法3用含有字母a,b的算式表示出来呢？

学生根据以上例子，得出a2-b2=(a+b)(a-b).

3)一般化定义——建构认知

(教师记上式为①，记a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)为②，记x2-2xy+y2=(x-y)(x-y)为③.)

问题4 仔细观察等式①②③，左右两边有什么共同特征？

在教师的引导下，学生得出“左边是一个多项式，右边是两个多项式的乘积式”的结论.

教师顺势提出了“因式分解”的概念.

…………

(3)主动探究的建构评说

上述教学过程是用一组问题对“因式分解”定义的由来进行的一次主动建构.问题1是一个开放性问题，有利于激起学生探究的兴趣.问题2引导学生在对比中获得对核心概念的初步认识，激发认知需求，从而促使学生主动同化和顺应.问题3是通过经历“从特殊到一般”的过程，培养学生的抽象概括能力.问题4是引导学生全面掌握公式的结构特征，从而自然地提出“因式分解”的概念.这一建构过程，不仅能深化对“因式分解”概念的理解，而且体现了学生学习的主体性、主动性.

3.2 案例2 三角形的三条重要线段

(1)对核心概念的简要说明

关于教材中的中线、角平分线、高等概念，如果只进行简单介绍，那么学生对概念的理解是浅显、不深刻的.同时，对学生“几何直观”“空间观念”“推理能力”等核心素养的培养也是不利的.为此，我们考虑设置一个主动探究建构的过程.

(2)主动探究的建构流程

1)画图探究——促直观

上课伊始，教师请学生拿出纸尺和笔，与学生一道回顾已学过的“角平分线” “垂线”的画法，让学生在操作中体会、唤醒.

再提问：如图1，点P在△ABC的边BC上运动，当P运动到什么位置，会有一些“特殊”的线段？(学生画图探究.)

图1

2)类比定义——建互联

师：类比学过的角平分线、垂线、中点等定义，尝试给这些“特殊”线段下定义.

学生经过片刻思考后，唤起回忆，陆续表述三角形的角平分线、垂线、中线的特征，但叙述不完整.

3)完善定义——助推理

在教师的引导下，学生相互补充、完善，得到三条重要线段的概念，引导学生将概念转化为几何语言，以帮助学生真正理解概念的本质，从而更好地运用概念……

(3)主动探究的建构评说

这一环节的主动建构侧重于核心概念的发生过程，让学生先复习旧知，带着问题，在操作中去探究、去发现.这样，激活了学生已有的认知经验，再用问题驱动学生主动建构.第一步通过学生在图形上自主尝试、探究，给予他们感受、体验的时间；第二步通过类比旧知，初步感悟核心概念，引导学生感悟类比是探究发现的重要途径；第三步借助图形，通过交流反思，补充完善概念，帮助学生把新的问题“同化”到已有的认知结构中.通过主动建构让学生在动态中理解核心概念、把握核心概念的本质.

3.3 案例3 七年级“统计图表”

(1) 对核心概念的简要说明

统计图是数据分析、描述的核心概念，同样的数据可以用不同的方法进行分析，不同的统计图也各有优势.这些都需要在全面细致的读图过程中让学生体悟到.如果教师不重视，那么学生的“数据分析观念”就得不到有效培养，“应用意识”“创新意识”的培养也会落空.

(2)主动探究的建构流程

1)激活探究欲望——直观感知

小王应聘时，经理说：“我们公司股东和员工‘有福共享、有难同当’，从2010年到2012年员工的工资总额增加了5万元，股东工资总额也只增加了5万元.”经理拿出了三年的工资总额统计图(图2)给他看.

师：如果你是小王，你会怎样判断？

2)引导整体观察——深化分析

图2

师：图2中两条折线告诉我们什么?

师：从图2中2010年、2011年、2012年的数据你发现了什么？

3)逐渐深入细节——重构认知

师：看统计图是先要观察什么？

生3：看它的横轴表示什么，纵轴表示什么.

师：那图中横轴和纵轴分别表示什么呢？

生4：横轴表示年份，纵轴表示工资总额.

师：那统计图中的横轴、纵轴给你提供了哪些信息？

生5：观察上面的统计图，我发现员工工资总额2011年比2010年多了2.5，2012年比2011年也多了2.5，所以画出来按横坐标是年份，纵坐标是总额的话它是一条直线.那么股东的总利润也是每年增加2.5，也是一条直线.那么这两条直线显然倾斜程度是一样的，是两条平行线.

师：很好，观察得很仔细，有没有同学发现这两条线的起点是不同的.那他们的增长率一样吗？你知道他们的增长率分别是多少吗？

(3)主动探究的建构评说

教师利用上述一系列递进式的“元认识的提示语”，引导学生在自己的认知冲突中一步一步地去主动建构核心概念，并针对学生可能遇到的困难进行预设—教师对统计图的读法进行方法指导.这些都体现了教师心中学生的教学价值取向.教学中，教师不断渗透读统计图的方法，使得学生的感知、操作、对比等能力在活动中得到发展，“数据分析”这一核心概念就会潜移默化地在学生心中滋生.这样主动建构既培养了学生的数据分析能力，也使学生体会到统计知识应用于生活，进而建立“数据分析观念”.

3.4 案例4 设计包装纸箱

(1)对核心概念的简要说明

综合与实践课存在教学内容难以把握、教学目标难以确定、活动程度难以控制、评价标准难以掌握等问题，导致了学生“应用意识”“模型思想”等核心概念的培养成效甚微.为此，对于“设计包装纸箱”的数学活动课我们设置一个主动探究建构的过程.

(2)主动探究的建构流程

1)动手操作——初步感知

师：同学们，动动手，看看两个相同的包装箱可以怎样摆放，你有几种摆放方法.

学生分组进行探究，随后给出3种摆放方式，如图3：

图3

师：哪一种设计方案最佳呢？并说明理由.

生2：我选第1种，因为这一种方法将两个最大的面放在一起，所以整体的表面积就最小.

师：你是怎样得到这个经验的？

生2：小学里做手工时知道的.

2)数据验证——理性求证

师：怎么说明这种摆放方案是最佳的呢？

生4：用数据来说话，计算它们的表面积.

师生共同完成下列表格：

纸箱外观尺寸长/cm宽/cm高/cm表面积/cm2方案11054220方案22052300方案310102280

师：现在老师相信第一种方案是最佳的设计方案.我们再请生2来说一说他的经验.

生2：当其较大面积重叠时，包装箱的表面积较小.

师：如果三盒呢？这时其重叠面积大了，包装箱比2盒时表面积是否小了呢？

生3：要使得长方体的数量一定时，才成立.

3)合作交流——积淀经验

师：刚才我们操作了2个、3个，那6个呢？又该如何设计使包装箱的材料最省？动手摆一摆.

合作要求：①前后4个同学为一组，设计出本组认为材料最省的设计方案.②设计好的小组由组长展示.③组长汇报各组设计的包装箱的表面积.

学生合作探究，教师巡视.

师：我发现个人的智慧和集体的智慧不一样哦！还有没有不同的方案？

小组成果展示6种(如图4).

图4

学生根据上面的探究，初步排除了方案4和5.

师：为什么？

生5：方案4和5的设计虽然可以，但是这些方案太不节省材料了.

师：我们就采用方案1，2，3，6.

组长汇报这些方案的包装箱表面积，如下表：

纸箱外观尺寸长/cm宽/cm高/cm表面积/cm2方案110512460方案210106440方案310512460方案615104460

师：从节省材料的角度，大家会选择哪种方案？

众生：方案2.

师：请同学们观察前后2张表格中的长、宽、高和表面积的数据，你发现了什么？

生6：当长、宽、高的和较小时，包装箱的表面积较小.

教师板书：当包装箱是长方体时，长、宽、高的和较小时，包装箱的表面积较小.

(3)主动探究的建构评说

在上述教学中，首先，教师让学生动手摆放小长方体并进行直观感知判断，形成初步的感性认识；其次，让学生计算各种可行性方案的表面积，进行理性数据的求证，从而形成理性认知；再次，学生经过小组合作交流，得到了6种可能的方案并进行合理筛选；最后，借助数据进行数学思考，形成一般性的理性规律.在这一主动建构过程中学生积累丰富的活动经验，培养了学生的抽象、概括、判断等综合能力以及“应用意识”.