湖北省宜昌市夷陵区东湖初级中学 黄 新 湖北省宜昌市教育科学研究院 张 钦

笔者曾有幸参加中考数学命题工作，现将中考数学试卷第23题的命题考查靶向、命题预设、素材选取、雏形编制、试题打磨等命制过程进行展示，与大家分享.

1 设想与来源

1.1 命题设想

中考是在完成义务教育基础上进行的选拔性考试，命题要考虑初中学生升入高中后继续学习的潜在能力.根据中考功能，命题组确定第23题为几何压轴题，命题定位于通过几何图形的运动与变换，借助数学活动，考查数学核心知识.命题设想以教材中的素材为原型，最好在“数学活动”中选取；重视推理，突出考查合情推理与演绎推理的有机结合[1]；关注探究，注重对数学基本活动经验的考查；关注交汇，考查初中几何核心知识，规避试题模式化；注重公平，规避资料上出现的题目；强化核心，有效导向初中几何的教与学.

1.2 试题取材

查看人教版教材，笔者首先找到人教版八年级下册第64页“数学活动”中的活动1： 折纸做60°，30°，15°的角.

图1

教材原题: 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图1).

(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.

(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时，得到了线段BN.

观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？

教材意图：教材给出利用矩形纸片折出30°角的方法，运用折的过程得到全等三角形，以及利用直角边和斜边的关系判断30°角的方法，这个活动既有动手操作，又有一定的趣味性.本活动关注学生通过动手操作和观察经历数学思考，主动获取数学知识，并感悟数学思想方法，积累基本学习活动经验，同时复习矩形的性质、三角形全等以及直角三角形等核心知识.

2 试题编制与打磨

作为中考数学试题中的几何压轴题，考查高度必须高于教材难度，并且尽量覆盖初中阶段几何核心知识，考查基本图形的典型性质.母题出现在八年级下册，它所涉及的初中几何知识比较少，笔者在此图形的基础上，通过折叠变换改变条件，整合相关性质和图形间关系，以探究相关结论来创编,达到命题预设.

2.1 改变折叠方式，初稿框架稚现

第1稿：四边形ABCD是矩形，P是AB上一点，将△PBC沿PC折叠得到△PB′C，直线CB′与AD交于点E，BE，CP交于点F，DC=6.

(1)如图2，当点A与点P重合时，比较线段AE与DE的大小；

图2

图3

(2)如图3，点P在运动的过程中，有唯一点P使PB′∥BE，求AP∶PB；

图4

(3)如图4，当PB′∥BE时，半径为2的⊙O与△PBC的两边相切，且点O在△PBC的内部或边上，求PB的取值范围.

诊断分析：第(1)问为“比较线段长度大小”这个基本的数学问题，考查折叠的基本性质及直角三角形边角关系，绝大多数学生能解决，体现了试题由易到难的基本特征.第(2)问考点设置比较好，体现了数形结合思想.第(3)问关联圆的知识，突出了对核心知识与方法的考查预设.第1稿出来之后，命题组成员认为“以矩形及矩形折叠为基本条件，将矩形上一点设置为动点，折叠所得图形随动点的移动而变化”为题干的思路比较好.但是，第(2)问入口太窄，方法比较单一，难度偏大，建议将动点改为定点，重新编制题干；第(3)问把圆的知识放进去，感觉比较突兀，导致本道题不流畅、不自然，有拼凑之嫌，同时分类太多致使书写量偏大，不利于考生解答.于是尝试将(3)中“⊙O与△PBC的两边相切”改为“以CF为直径作圆，交DE于点G”，将动圆设置为定圆，以更好地突出考查数学本质，于是得到第2稿.

2.2 精准考查核心， 改造条件设问

第2稿：四边形ABCD是矩形，P是AB上一点，将△PBC沿PC折叠得到△PB′C，CB′与AD交于点E，BE，CP交于点F，PB′∥BE.

(1)如图5，①求证：BP=BF；②E是AD的中点，且AD=nAB，求n的值.

图5

图6

诊断分析：第2稿中，第(1)问中“E是AD的中点，且AD=nAB”不简约，并且条件“AD=nAB”的出现，可能会给学生带来一定的思维障碍；第(2)问设置求“tan∠ECG”，需要学生自己搭桥太多，计算量过大，证三角形相似次数太多，而且方法单一.命题组经过讨论，认为圆在这里出现仍比较牵强，不能突出对核心知识的考查，决定只在直线型中挖掘新的结论，突出对学生解决问题方式的考查.

2.3 优化条件设问，突出运算推理

第3稿：已知矩形ABCD中，P是边AB上一点，把△PBC沿着直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，CG交线段AD于点E，连接BE，与线段PC交于点F，且BE⊥CG.

(1)如图7，AE=DE，求证：AD=2AB；

图7

图8

(2)如图8，AE

诊断分析：在讨论第3稿时认为，设置第(1)问的目的，一是考查三角形全等的证明方法，二是为求tan∠PCB的值作铺垫.虽然第(1)问中设置的“求证AD=2AB”的方法较多，有利于考查思维的全面性，但对于本题后续问题的解决有干扰，并且后续第(2)问中的①②问都要用到三角形相似的知识，因此决定将第(1)问直接设置为证三角形全等.第(2)问给的数据为分数，在形式上给学生造成运算的心理负担，于是将条件中的数据设置为整数，给学生以简洁的感觉，体现人文关怀，但是对比本地模拟题中大多是求正切值，①中求tan∠PCB的值存在套路，达不到预期的区分度，因此改为“求cos∠PCB的值”.

2.4 直击数学本质 ， 彰显人文关怀

确定好题目考查方向后，再次核对课程标准中对应的知识及能力要求，看是否符合命题要求.最后环节是语句的打磨及图形的再构造，确保试题简洁、美观、悦目，确保考查的效度[2]，彰显人文关怀.最后得到如下中考数学第23题.

中考稿：在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，BE交PC于F，点E在AD上.

(1)如图9，当点E是AD的中点时，求证：△EAB≌△EDC；

(2)如图10，①求证：BP=BF；

②当AD=25，且AE

③当BP=9时，BE·EF的值.

图9

图10

诊断分析：本题最终以矩形为背景进行图形变换，以考查几何推理为主，并设问求线段长的乘积及三角函数值等，充分考查学生几何直观、空间想象、逻辑推理和数学运算等核心素养.设问具有关联性，“①求证：BP=BF”，为解决第②问起到搭桥的作用；②中条件“AE

3 命题感悟

3.1 打磨细节，增强考查的效度

编制本题时，难点定在对数学思维的考查，并在题干及问题设置上渗透人文关怀.精心打磨题干语言，力求与教材中的习题语言的规范性一致，通过多次打磨，降低了学生阅读量，学生不存在阅读障碍；精心搭建桥梁台阶，通过设置递进式问题引导学生思维；精心拓宽解题入口，秉承“人人都有获得数学教育的机会”理念，争取让 “人人都敢于尝试压轴题”，试题解法多样，便于不同水平的考生都能有施展身手的舞台.

3.2 适时反思，着眼核心素养