江苏省苏州工业园区东沙湖实验中学 葛善成 李明树

《义务教育数学课程标准(2011版)》指出：“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验和理解、思考与探索……要重视直观，处理好直观与抽象的关系.”[1]七年级学生好动、好奇、好表现，采用形象生动的数学实验教学有利于激发学生的学习兴趣，有利于学生广泛、积极主动地参与学习.

1 教学案例

1.1 创设情境，激发兴趣

播放微视频，了解几何形体画派创始人蒙德里安及其作品；欣赏蒙德里安晚期的代表作《红、黄、蓝的构成》(如图1).

图1

师：你能从这幅作品中发现什么？

生1：长方形、正方形，水平线、垂直线，等等.

师：很好！看来你也有成为数学家的潜质.

师：事实上，数学家发现如果一个正方形的边长是整数，那么它就可以被分割成有限个边长为1的小正方形.大家同意吗？

生(众)：同意.

师：举个例子，如果正方形的边长是5，那么它可以被分割成多少个边长为1的小正方形？

生2：25个.

师：有没有可能分割成26个正方形？

生3：不可能.

设计意图：通过欣赏艺术作品，学生既可以体会艺术来源于数学，发展自身的审美趣味，感悟数学的文化价值，同时又为用图形法证明无理数奠定逻辑基础(即一个边长是整数的正方形可以被分割成有限个边长为1的小正方形).

1.2 问题探究，建构模型

问题1计算1+2+3+4+……+99+100.

生4：由错位相加法，可知

师：非常棒！还有其他做法吗？

生5：分组相加，原式=(1+100)+(2+99)+……+(50+51)=101×50=5 050.

师：很好！我们还可以从“形”的角度研究这个算式，加数1可以用1个小方块表示，加数2可以用两个小方块表示……，把这些小方块拼在一起(如图2).

图2

师：这幅图形像什么呢？

生6：梯形、三角形、阶梯……

师：这个图形与算式的和有什么关系呢？

生7：图形中小方块的数量就是算式的和.

生8：图形的面积就是算式的和.

师：很好！那如何求这个图形的面积呢？

图3

师：非常好！借助方块纸把原算式转化成“阶梯形”，再用拼图法求“阶梯形”的面积，求出原算式的和，那么你能求1+2+3+……+(n-1)+n的和吗？

师：很好！那么你能用类似的方法解决问题2吗？

设计意图：引导学生从形的角度思考，探索方块纸的摆放规律，感受数与形之间存在的一定关联，为学生更好地理解求和问题提供了直观便捷的途径.

问题2计算1+3+5+7+……+(2n-1).

图4

生11：把这些小方块拼成一个大正方形(如图4)，大正方形的边长为n，所以大正方形的面积为n2，即原式=n2.

图5

师：非常棒！那么接下来可以算什么？

生13：连续的偶数和.

师：很好！自己动手操作试试看.(略)

设计意图：在问题1的基础上，探究连续奇数和的拼图规律，学生在充分尝试、猜想、调整、再探究之后展示方案，进而解决连续偶数的和问题.帮助学生抓住利用拼图求和的本质，培养学生思维的连贯性和深刻性.

1.3 类比迁移，深度探究

问题3计算：12+22+32+……+n2.

生14：我由问题2联想到每一个加数都对应着一个“阶梯形”(如图6)，然后把这些“阶梯形”拼成一个规则图形求面积，但好像拼不了.

图6

师：把这些“阶梯形”每一层剪开，然后在KT板上拼一拼，试试看.

图7

设计意图：问题3的思维层次较高，具有一定的挑战性.引导学生用前面积累的活动经验，将抽象的算式具体化、形象化，分析不同拼图方案的可行性，使其经历自主探究、合作交流并形成数学模型的过程.

问题4计算：13+23+33+43+……+n3.

图8

师：小组合作，动手操作.

师：还有其他思路吗？

生17：用小立方体拼图……(略)

设计意图：问题4的设计遵循了由低到高、螺旋递进的原则，基于前面的经验积累，学生的抽象思维能力得到了提升，解决该问题的方案也多样化.对于学生的各种方案，可鼓励学生在课后继续探究.

1.4 回归课本，启思明理

师：这里有两个边长为1的小正方形，你能把它们剪拼成一个大正方形吗？

生18：可以，如图9.

图9

师：大正方形的面积是多少呢？

生19：大正方形是由两个面积为1的小正方形拼成，所以大正方形面积为2.

师：如果设大正方形边长为a，那么a是多少呢？

生20：好像是无理数.

问题5 若a2=2，则a是有理数吗？

(众生疑惑.)

图10

生21：图10中，两个未重合的小正方形面积之和等于重合的大正方形面积.

生22：重合的大正方形和未重合的两个小正方形边长分别是2n-m,m-n，都是整数.

图11

生23：这个过程可以无限迭代，原大正方形可以无限分割(如图11)下去，最终会有某一个小正方形的边长小于1，这与“一个边长是整数的正方形可以被分割成有限个边长为1的小正方形”这一常识不符，所以假设是不成立的，即a是无理数.

师：非常棒！你能用类似的方法判断——若a2=3，则a是有理数吗？(略)

设计意图：无理数对七年级学生而言是一个非常抽象难懂的概念，首先通过拼图让学生感受无理数的客观存在，其次由于用有理数逼近无理数的过程算不完、算不尽，学生的接受程度并不高，通过无限拼图，将抽象的无理数证明直观化，彰显从实践操作到极限思维的升华，提升学生数学思维品质.

1.5 交流收获，课堂小结

让学生交流本节课的收获.

2 教学反思

2.1 在拼图中启思

数学的发展历程表明，越是高度抽象的数学内容，往往越需要形象直观的模型作为其解释和支撑.在数学教学中运用适当的图形或直观的模型能够帮助学生启发思路，理解抽象的数学知识，有利于学生的思维向更高级、更抽象的方向发展，自然数的求和问题对学生来说比较抽象，为突破这一难点，笔者以具身认识理论为指导，借助于方块纸设计拼图实验，启发学生主动思考.将算式中的加数用方块纸表示，那么算式的和就转化成所有方块纸的面积和，那么如何求方块纸的面积和呢？启发学生把方块纸拼成有规律的图形.基于以上的活动经验，学生甚至可以在“头脑”中拼图，求出连续偶数的和.通过动手操作、动脑思考的拼图，启发学生自主探究，体验和感受数学结论发现和再创造的过程，进而培养学生主动发现、提出问题，分析、解决问题的能力.

2.2 在直观中明理

几何直观有助于学生直观地理解数学，在培养学生创新能力和提升数学素养等方面影响深远.实践证明，数学实验是培养学生几何直观素养的有效载体，具有独特的作用和价值.笔者利用方块纸进行拼图实验培养学生体验操作的习惯，在实验中自然地发展学生几何直观素养.例如，问题5在直观操作的基础上，将直观与简单推理相结合，从图形的角度证明a是无理数，简洁但不失逻辑的严密性.学生在实验中经历观察、分析、交流、猜想、归纳等创造性的思维过程，构建方块纸无限分割的直观模型，从中感受到数与形的联系，获得过程性的知识.探索证明这一类无理数的思路使得操作与推理得到统一，拓展了学生思维生长的空间.

2.3 在思考中发展

笔者借助方块纸这一直观素材诱发学生的直观思维，引导学生动手“做”数学，启发学生的智力因素和非智力因素参与探究，达到启思的目的.探究的过程虽然不是严格的数学证明，但学生在“做”数学过程中的简单推理，就是明理的过程.其中，方块纸拼图是教学明线，正是因为方块纸的介入，使相对枯燥的数学问题变得有趣、有意义，让抽象的思考过程变得可视化.借助直观启发思考、积累基本活动经验则是教学暗线，如在问题1的引领下，借助方块纸拼图求连续奇数和、连续偶数和、连续自然数的立方和显得并不困难，甚至可在“头脑”中想象拼图，做到把“做数学”和“想数学”结合在一起，体现手脑协同的理念.在明暗结合、启思明理中引导学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，把握数学内容的本质，以简驭繁，为学生的持续发展和终身学习创造条件.