江苏省无锡市华庄中学 刘振芹 周建平

纵观近几年的中考数学试题，不难发现题目均构思精巧且思维含量高，注重考查学生的关键能力和必备品格.因此，专题复习课的定位就要着力于学生思维的发展和关键能力的培养.那么，如何科学地选编复习题就显得尤为重要！笔者在2022年无锡市初中数学教研活动中执教了一节“与圆有关的概念”复习课，现就本节课如何以问题驱动指引学生的思维做回顾与思考，与同仁交流.

1 教学实例

1.1 问题情境，引发思考

引例若AB=5，BC=3，求AC.

生1：2.

师：你是怎么想的？

生1：点C在线段AB上，AC=2.

师：有没有不同想法的同学？

生2：8.

师：说说你的想法.

生2：点C在线段AB延长线上，AC=8.

学生的回答超出笔者的预设，根据回答，笔者启发学生再思考有没有其他情况.

图1

生3补充：△ABC是直角三角形且AB边为斜边时，AC=4.(笔者顺势请该生板演作图，如图1.)

追问：BC的位置确定吗？

笔者动手演示，学生意识到BC位置不确定.笔者继续引导：这样的点C有多少个？学生回答：无数个.这时强调AC并不是一个具体的取值，而是一个范围，最后引导学生给出点C的轨迹：以B为圆心，BC长为半径的圆(如图2).

设计意图：通过问题情境启发学生独立思考，在质疑情境中学生从特殊走向一般，再从一般走向特殊.既复习了圆的定义，又感受了运用确定性思维进行数学化思考的方法.这种创新概念复习的方式切实关注学生的思维体验，比直接让学生回忆概念，再用其解题的传统方式更能让学生达到对概念本质的理解.

1.2 问题拓展，搭建框架

图2

问题1 这张图(图2)清晰地呈现了点与圆的位置关系，有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？

问题2 类比，直线与圆又有怎样的位置关系？

问题3 若在直径上取点D，大家能作出过D点的圆的最短弦吗？

学生通过板演作图和计算，感悟垂径定理的作用，如图3.

问题4 既然垂径定理涉及弧，那么弧的度数又与什么有关？

图3

问题5 当∠EBN=72°时，求∠EMN的度数.

学生通过计算回顾圆周角定理，如图4.

图4

最后，笔者引导学生回顾圆的中心对称性和旋转不变性，进而得到圆心角、弧、弦之间的关系.

设计意图：复习课是建构知识体系的过程，既要顾及基础知识，又要提高思维含量.因此，笔者通过设置有序的问题串，把“知识线索”转化为“问题线索”，引导学生在解决问题的过程中建构思维导图(如图5)，进而从知识结构的视角实现思维的优化.

图5

图6

体验中考(2021年无锡中考第25题)如图6，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B.

(1)求证：∠PBA=∠OBC；

(2)若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE.

学生经过独立思考，给出证明思路.

生4：由AC是直径，得∠ABC=90°.由PB切⊙O于点B，得∠PBO=90°，故∠PBA=∠OBC.由∠PBA=20°，∠PBO=90°，得∠ABO=70°.又OA=OB，则∠AOB=40°，所以∠AOB=∠DCE.又∠DEC为△OBE外角，∠OBE=30°，得∠CED=70°，所以∠ABO=∠DEC，故△OAB∽△CDE.

师：有没有更简便的方法？

笔者适时总结，在解题方法多样化的基础上，引导学生关注方法的最优化，复习才能事半功倍.

设计意图：中考复习课的落脚点要回归到中考题，通过案例体验中考，让学生感受本节课复习的知识点是如何串联起来的，同时在书写的规范性以及方法的选择上引导学生.

图7

1.3 问题延伸，发展能力

1.3.1 一题多变，着力发散思维

例题如图7，在三角形ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E.

(1)求证：BE=CE；

(2)若BD=2，BE=3，求AC的长.

学生容易想到用三线合一证明BE=CE.求解AC的问题，学生给出了两种方法.

图8

图9

笔者稍加点拨：你还能找出其他相似三角形来求AC吗？引导学生从相似角度，结合图形深入思考.

图10

设计意图：本例题难度不大，通过勾股定理和相似两种思路思考问题，并挖掘相似的两种求解途径，让学生体验解题方法的多样性，在一题多解中有效培养学生的发散思维.

变式1如图11，在△ABC中，AB=AC，若点O在AC上向点C移动，以O为圆心，OC长为半径的圆交BC于E，ED⊥AB于D.求证：DE是⊙O的切线.

图11

图12

变式2如图12，在△ABC中，AB=AC=5，若点O在AC上向点C移动，以O为圆心，OC长为半径的圆与AB边相切，作ED⊥AB于D.若BD=1，求DE的长.

设计意图：变式1引起学生对直线与圆位置关系的关注，而变式2引导学生关注图形中相切的特殊位置关系，并为解决追问1和追问2作铺垫.这样一题多变的训练，不仅能加强知识的联系，还可培养学生的应变能力和发散思维能力，从而提升学生分析问题、探究问题和解决问题的能力.

1.3.2 多题一解，让发散走向集中

良好的思维品质除了要有发散性思维，集中思维也是不可或缺的一部分.集中思维以发散思维为基础，对学生思维能力的形成与发展具有重要作用.

接下来笔者在问题的本质上做延伸，促使探究更深一步，引领学生的思维更进一步.

学生对正弦条件有点无从下手，笔者适时引导.

师：正弦是什么图形里有的？

众生：直角三角形.

师：那么∠A所在的直角三角形有没有？

学生恍然大悟，意识到需要构造直角三角形，进而利用正弦定义建立方程求解.

教学中，笔者留给学生充分的时间进行观察和思考，直至学生认识到问题的本质.

追问2：若将变式2中的条件BD=1换成S△ABC=10，其余条件不变，求DE的长.

笔者在巡视中发现多数学生愁眉紧锁，说明他们不善于转化条件.于是启发学生思考：已知三角形的边长和面积，能确定什么？学生意识到面积条件可以转化为高，然后梳理出如下思路.

图13

图14

师：若是作AC边上的高BM呢？

生7：△AHO∽△AMB，如图14.

总结：题目的背景没有变化，条件一直在变，但是面积条件本质上还是∠A的正弦值，所以我们在思考问题时要关注变中不变，即万变不离其宗的思考方法，这样才能得到从一题多解到多题一解的训练提升.

设计意图：追问1和追问2是对变式2条件的稍加改变，问题看似没有关联，但解决途径是一致的，目的是利用多题一解的训练，帮助学生感悟基本图形，感知问题的本质，提炼解题思想和方法，让思维从发散走向集中，提高综合应用的能力.

追问3：若将变式2中的条件BD=1换成BC=6，其余条件不变，求DE的长.

鼓励学生课后探索.

2 教学的进一步思考

2.1 思维诱发，需重视阅读理解能力

阅读能力是最基础、最关键的学习能力，而解决数学问题的关键就是要学会审题.审题并非将题目诵读一遍，而是在读题时抓住“题眼”，即试题的核心与重点，从而看透问题的本质.作为教师，应认识审题的重要性，舍得花时间精耕细作，让学生经历“怎么做—怎么来的—怎么想到的”思维提升过程，教给学生审题技巧，提高获取信息的能力，长此以往，学生的审题能力与解题能力将得以大幅度提升.

2.2 思维培育，要凸显独立思考能力

《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称新课标)明确指出，要使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展[1].不同的人在数学上得到不同的发展，主要表现在学生的思维力上.张楚廷教授指出：“教学，从根本上说，是思考着的教学引导着学生思考，又让思考着的学生促动教师思考.而在这一过程中，问题是最好的营养剂；在这一过程中，教师的思考和问题意识起着主导的作用.”[2]因此，在思维培育上，教师要多给学生一点思考的时间，多给学生一点表达的机会，让独立思考与自由表达自然形成思维能力.

2.3 思维优化，要突出语言表达能力

新课标明确提出，会用数学的语言表达现实世界.表达能力是学习能力的最高体现和综合反映.只有通过表达，知识才能被激活，才能真正被转化、升华为能力.学生用书面语言或口头语言从不同角度、不同侧面阐述看法或发表意见，这既是理解的重要标志，也是从理解到创新的关键一步.因此，教师要鼓励学生大胆地用自己的语言阐述自己的认识和想法，这样不仅能促进他们独立思考，同时也能活跃思维，在交流和互动中产生新颖的观点和思路，从而增强思维的灵活性和广阔性.