李子恒，王 康，李 琦，李 立，辛焕海

（1. 国网陕西省电力有限公司，陕西西安 710048；2. 浙江大学电气工程学院，浙江杭州 310027）

0 引言

随着我国电力系统的发展，电网高度互联、电力远距离和大规模输送已成为常态。同时，随着电力系统规模及复杂程度的提高，电力系统的暂态电压稳定问题也变得日益复杂［1-4］。明确暂态电压稳定问题的出现机理、提出有效的暂态电压稳定问题分析方法对于分析和提高系统暂态电压稳定性具有重要意义。

一般认为暂态电压稳定问题与系统受扰动后负荷等元件的动态特性有关，而以感应电机为代表的动态负荷是影响系统暂态电压稳定的关键因素［5-6］。众多学者早已指出暂态电压稳定分析应考虑电机的机电暂态过程［7-8］。文献［9-10］指出了暂态电压稳定问题与故障切除时间密切相关，提出了临界切除时间的概念和用于时域仿真的暂态电压稳定判据。文献［11-12］分析了故障切除时间对电压稳定性的影响，并提出了极限切除时间的计算方法。但极限切除时间无法反映暂态电压失稳的根本原因，且受到电机的负载转矩和转动惯量的影响。文献［13］分析了电网参数对系统暂态电压稳定的影响，文献［14］分析了感应电机负荷参数对暂态电压稳定的影响，但二者对于暂态电压失稳机理缺乏深入的分析。文献［15］提出了利用负荷节点的P-V曲线与感应电机机械特性曲线进行暂态电压稳定分析的方法。文献［16］指出暂态电压失稳的稳定边界不位于暂态P-V曲线的顶点，并在P-V平面重新描述了稳定边界，但基于P-V平面的分析无法直观反映感应电机自身的动态与电压失稳间的关系。文献［17］将感应电机类负荷以有功、无功功率作为激励，以设备内电势幅值和相角作为响应进行建模，并从异步电动机的幅相运动角度解释电压失稳机理，为暂态电压稳定问题提供了一种新的分析思路，但对于失稳判据及系统的暂态电压稳定边界缺乏详细的分析。

为了更直观地从感应电机作为动态旋转元件的物理本质着手分析此类负荷接入电网的电压稳定问题，本文提出了基于转速-电压坐标平面（ω-V平面）的暂态电压稳定性分析方法，描述了感应电机负荷在ω-V平面上的稳定边界。通过分析ω-V平面上电机ω-V曲线与稳定边界的交点，即系统的平衡点来判断系统是否具有电压失稳的可能。进一步地，通过对比系统受到扰动后感应电机在ω-V平面上的运行点与稳定边界间的关系，可直观判断系统是否会发生电压失稳。最后，本文利用单机无穷大系统及两区四机系统的仿真算例验证了所提稳定分析方法的有效性。

1 感应电机类动态负荷模型

1.1 感应电机的动态模型

在dq坐标系下，感应电机电气部分的动态模型可表示为式（1）—（3）［18］。

式中：上标“′”表示转子侧相关变量已折算至定子侧；Vds、Vqs和V′dr、V′qr分别为定子和转子d、q轴端电压；ids、iqs和i′dr、i′qr分别为定子和转子d、q轴电流；Rs、R′r分别为定子和转子绕组电阻；pf为电机极对数；ω0为参考系角速度；ωr为电角速度；Te为电磁转矩；φds、φqs和φ′dr、φ′qr分别为定子和转子d、q轴磁链，其表达式见文献［18］。

感应电机机械部分的动态模型可表示为：

式中：J为感应电机的转动惯量；β为感应电机的角加速度；Tm为机械转矩；F为摩擦系数；ωm为电机转子的机械角速度。

1.2 感应电机的稳态模型

稳态下感应电机某相的T 形等效电路如附录A图A1 所示。式（5）—（8）描述了感应电机的稳态特性，转子侧各变量已折算到定子侧［18］，其中电机等效电路定子侧和转子侧的回路方程分别如式（5）和式（6）所示。

式中：Vms、V′mr分别为定子和转子电压；Is、I′r分别为定子和转子电流；Xs、X′r和Rs、R′r分别为定子和转子漏抗、电阻；Xm为励磁电抗；S为转差率。

对于一个三相感应电机，其电磁转矩具体如式（7）所示。

式中：I′r为转子电流有效值。稳态下感应电机转子的机械角速度ωm如式（8）所示。

式中：f为定子所施加电源的频率。

2 系统的功率特性及电机加速特性

由于感应电机类负荷机械动态与电磁动态相比，往往具有更慢的动态特性，且本文更关注感应电机类负荷自身动态特性对电压的影响，所以为简化分析，在分析含感应电机类负荷系统的电压稳定边界及电机自身的加减速特性时，采用感应电机的稳态模型，而在算例验证时采用感应电机的详细模型。下文算例将验证简化分析后结论的有效性。

2.1 感应电机的转矩差曲面及其加减速特性

由式（7）和式（8）可得，感应电机所能提供的电磁转矩如式（9）所示。

式中：ωs为定子角频率。

假设感应电机的负载转矩由两部分组成：一部分和电机转速的平方成正比；另一部分为恒定转矩。则电机的负载转矩可以表示为式（10）。值得注意的是，机械转矩具体表达式并不影响本文所提方法的适用性。

式中：Tconst为恒定转矩的负载转矩；α为恒定转矩负载所占比例；K为与电机转速的平方成正比的负载转矩和转速的平方的比例系数。

由式（4）可知，感应电机的角加速度β可以表示为式（11）。

记Te-Tm=ΔT，因为对于某电机，其转动惯量通常为正且恒定，因此当ΔT大于0 时，电机将加速转动，反之电机将减速转动。

电机稳态运行时，由附录A 图A1 可知，其阻抗可由转速确定。当端电压确定后即可计算得到电机的功率、转矩、电流等其他物理量。因此可将电机端电压V和电机的转速ω看作是引起电机转矩、电流等变化的自变量。分别以ω和V作为坐标系的x轴和y轴，将电机转矩差ΔT作为z轴，即可得到体现电机加减速特性的V-ω-ΔT空间转矩差曲面。以附录A 表A1 所示的电机参数为例，其转矩差曲面如附录A 图A2 所示，图中平面表示ΔT=0。若无特殊说明，后文图中数值均为标幺值。

2.2 系统中感应电机的功率特性曲线

由于本文重点关注暂态过程中感应电机自身动态特性对电压稳定的影响，因此，不失一般性地对外部系统进行简化［16-17］，将感应电机所接入的电网采用戴维南等效电路进行等值。当感应电机接入系统后，电机的端电压可表示为关于电源电压及各参数的函数。对于附录A 图A3所示的单机无穷大系统，感应电机端电压Vm可表示为式（12）。

式中：Vs为电源内电势；Zs为电源内阻抗；Zline为电机负荷对应线路阻抗；ZT为降压变压器阻抗；Zload为负荷端其他等效负荷阻抗（包括其对应配电线路阻抗）；Zmotor(ω)为由电机转速ω决定的电机阻抗。

对于一个确定的等效系统，当Zmotor(ω)确定后，稳态下的机端电压即可由系统其他参数确定。而Zmotor(ω)由电机转速ω确定，因此得到系统中电机的有功功率P为附录A 图A4 所示的ω-V-P空间上的1条曲线。该曲线描述了在一个给定系统中，电机稳态工作点随电机转速ω在ω-V-P空间上的移动轨迹。接入该系统的电机的所有稳态工作点均位于该曲线上。

3 ω-V平面上的稳定边界

由于系统中感应电机的功率与加减速状态均可由电机转速ω与机端电压V共同确定。为了更清晰地分析电机的工作状态及其与电压稳定间的关系，建立ω-V平面，并将电机的功率曲线、转矩差曲面投影到该平面进行分析，如图1 所示。为便于展示，转矩差ΔT曲面以等高线形式呈现。

图1 电转矩差曲面及电机功率曲线在ω-V平面上的投影Fig.1 Projections of torque difference surface and motor power curve on ω-V coordinate plane

3.1 系统的平衡点

结合式（11）可知，图1中表示ΔT=0的等高线即为电机加速、减速的分界线。为便于表述，先将此曲线定义为ω-V平面的稳定边界，下文将详细说明该稳定边界与电压失稳间的关系。

由上文分析可知，图1 中电机的ω-V曲线（曲线1、2）表示该电机接入系统后在电路约束下所有可能出现的稳定工作状态。因此，若电机的ω-V曲线与该稳定边界存在交点，则表明此时的电机既满足由电路约束的稳定工作条件，又没有进行加减速运动，即电机处于平衡状态。该交点即为感应电机在该系统的平衡点。

由图1 可知，若电机的ω-V曲线为曲线1，则其与稳定边界相交于点A，当电机转速低于点A的转速时，ω-V曲线位于加速区，电机工作点将向点A移动；而当电机转速高于点A的转速时，ω-V曲线位于减速区，电机工作点也将向点A移动。这意味着点A为该系统的稳定平衡点。若电机的ω-V曲线为曲线2，则其与稳定边界交于A′、B′与C′这3 点。类似上文对点A的分析可知，点A′、C′和点A类似，也是系统的稳定平衡点。而当系统状态位于点B′时，如果系统受到扰动，电机的转速低于点B′的转速，电机将进入减速区，最终沿ω-V曲线运动到达平衡点C′；而如果电机受到扰动，电机的转速高于点B′的转速，则电机将进入加速区，电机的工作点将沿ω-V曲线移动到平衡点A′。因此，点B′为系统的不稳定平衡点。

3.2 系统稳定边界与电压失稳的机理

利用上述ω-V平面上电机转矩差曲面和电机功率曲线的投影及系统稳定边界可以方便地说明系统的电压失稳机理。不同故障切除时刻对电压稳定的影响情况如图2所示。

图2 不同故障切除时刻对电压稳定的影响Fig.2 Effects of different fault cleaning times on voltage stability

假设电网正常工作时，电机的ω-V曲线为图2中的曲线2，电网短路后，电机的ω-V曲线变为曲线3。短路瞬间，若忽略电磁暂态过程，由于电机转速不能突变，电机工作点由曲线2 上的点A变为曲线3 上的点A′，由于点A′位于减速区，因此电机工作点将沿着曲线3 向左移动，直到故障切除时，电机工作点由曲线3转移至曲线2。

若故障在点D′被清除，则电机状态跳变到点D。由于点D位于电机的加速区，在正的转矩差下，电机将加速，并沿曲线2 向点A移动，最终到达原来的稳定平衡点A，即此时系统不会出现电压失稳。若故障在点E′被清除，则电机工作点转移到点E。由于点E位于电机的减速区，因此电机工作点将沿曲线2向点C移动，最终达到稳定平衡点C。但此时系统到达的平衡点已经偏离原来的系统平衡点，电压维持在点C所对应的0.5 p.u.附近，即电压跌落后不能恢复至正常值，系统出现了电压失稳的问题。

假设短路前电机的ω-V曲线为图2 中的曲线1，由于ω-V曲线与稳定边界仅有1个稳定平衡点，即额定工作点，则不论短路故障何时切除，电机都将回到加速区，系统电压都将恢复到额定值，因此不会出现电压失稳的问题。

综上，当感应电机ω-V曲线与稳定边界仅有1个交点时，电机自身动态不会引起系统的暂态电压失稳；当电机ω-V曲线与稳定边界有多个交点时，系统在受到大扰动后可能会出现电压稳定问题。而电压是否会失稳与故障切除后电机工作点与稳定边界的位置关系有关：若故障切除后电机工作点位于稳定边界下方的减速区域，且位于不稳定平衡点左侧，则感应电机将减速运行，无法自行恢复到正常工作点，系统电压也因此无法恢复至正常值，感应电机的动态将引起系统的暂态电压失稳。

4 算例分析

4.1 暂态电压失稳的电压波形

为验证本文提出的ω-V平面中的稳定边界理论的有效性，算例1 基于MATLAB／Simulink 仿真平台对附录A 图A3 所示的单机无穷大系统的电压稳定问题进行了分析。单机无穷大系统参数如附录A 表A2所示。

系统受到的扰动为在负荷母线施加三相接地短路故障，经过故障切除时间Tcl后，短路故障切除。为便于说明不同故障切除时间对电机动态及电压稳定性的影响，未采用实际保护设备动作时间，下文算例2 类似。该系统受大扰动后的电压波形如图3所示。

图3 系统受扰动后的电压波形Fig.3 Voltage waveforms of system after disturbance

系统受到扰动前，负荷母线电压为0.994 p.u.。由图3（a）可知，故障切除后，负荷母线电压在2.5 s时恢复到正常值0.994 p.u.；由图3（b）可知，故障切除后，负荷母线电压长期处于较低水平，无法恢复至正常值。

4.2 暂态电压失稳的ω-V平面稳定分析

根据ω-V曲线和ΔT曲面的定义，可绘制该系统在故障前以及故障时的ω-V曲线和电机的ΔT曲面等高线，如图4 所示。图中，ΔT=0 的等高线即为稳定边界，故障前电机的ω-V曲线与稳定边界相交于A、B、C这3 点，其中点A为稳态工作点。ω-V曲线的BC段位于稳定边界之下，即电机的减速区。按照电压失稳的机理分析，若故障切除后，电机的工作点跳回到ω-V曲线的AB段，如图中所示的点D，则系统工作点将向点A移动，最终稳定在原始平衡点A，系统不会发生电压失稳；而若故障切除后，电机的工作点跳回到ω-V曲线的BC段，如图中所示的点E，则系统工作点将向点C移动，最终稳定在新的平衡点C，系统将发生电压失稳。

图4 系统的ω-V曲线与稳定边界Fig.4 ω-V curve and stability boundary of system

分别将故障切除时间Tcl=0.2 s 和Tcl=0.3 s 时，电机的实际ω-V轨迹绘制在ω-V平面，如图5 所示。图中，轨迹1 为Tcl=0.3 s 时的电机ω-V轨迹，由于故障切除后，电机的工作点E位于稳定边界下方，即减速区，因此电机工作点沿BC方向移动，最终稳定在点C，电压无法恢复。而轨迹2为Tcl=0.2 s时的电机ω-V轨迹，由于故障切除后，电机的工作点D位于稳定边界之上，即加速区，因此电机工作点沿BA方向移动，最终回到故障前的工作点A。由此可以看出仿真结果与理论分析结果一致。

图5 电机的实际ω-V轨迹Fig.5 Actual ω-V trajectory of motor

4.3 ω-V曲线的误差分析

观察实际的ω-V轨迹可发现，在电压变化率较大的区域，轨迹并非完全沿着ω-V曲线移动。这是由于在绘制电机的ω-V曲线时，忽略了电机的暂态过程。若暂态过程相对于电机的惯性时间常数不够小时，在电压变化的过程中，转速的变化不能忽略，实际的ω-V轨迹就会偏离理论分析时的ω-V曲线，这种误差在电压变化率较大的区域会更加明显。

附录A 图A5 为电气参数相同、转动惯量不同的电机在暂态过程的ω-V轨迹。在故障开始阶段，小转动惯量的电机转速下降较快，而电压受储能元件影响缓慢下降，因此实际工作点并非跳变；大转动惯量的电机转速下降较慢，在电机母线电压完成变化的过程中转速几乎不变，因此该电机的实际的ω-V轨迹更贴近理想ω-V曲线。

在进行电压稳定性判断时，由于电压是否会失稳仅由故障切除后的电机工作点决定，因此上述暂态过程引起的误差对稳定性的判别影响很小。

图6为临界状态下故障切除后的暂态ω-V轨迹，其中图6（a）表示系统临界不稳定，图6（b）表示系统临界稳定。受暂态过程影响，电机的工作点在稳定边界附近发生了多次振荡。图6（a）中振荡平息后的工作点位于稳定边界下方，因此电压无法自行恢复，系统出现电压失稳；图6（b）中振荡平息后的工作点位于稳定边界上方，因此电压会逐渐恢复，系统不会出现电压失稳。

图6 故障切除后的暂态ω-V轨迹Fig.6 Transient ω-V trajectory of motor after fault is cleared

根据两临界状态与稳定边界间的关系可知，本文所提稳定边界可准确判断系统是否会出现电压失稳。

4.4 两区四机系统算例

算例2 考虑图7 所示的两区四机系统。感应电机负荷经变压器T6、线路L13-14、变压器T5接于母线7。相关设备参数如附录A 表A3 所示。系统其余参数见文献［18］。仿真仍基于MATLAB／Simulink 仿真平台实现。

图7 两区四机系统结构Fig.7 Structure of two-area four-machine system

系统受到的扰动为1 s 时在母线15 处施加三相接地短路故障，经过时间Tcl后，短路故障切除。此电机在该系统中的稳定边界及不同故障切除时间下电机的ω-V轨迹如图8 所示，对应的母线15 的电压曲线如图9所示。

图8 不同故障切除时间下电机的ω-V轨迹Fig.8 ω-V trajectory of motor under different fault cleaning times

图9 系统受扰动后的电压波形Fig.9 Voltage curves after disturbance of system

图8 中的稳定边界（ΔT=0 对应的等高线）与故障前电机的ω-V曲线存在2 个交点，分别为1 个正常工作点与1 个不稳定平衡点。因此该系统存在暂态电压失稳的可能。

对比图8 中稳定边界与不同故障切除时间对应的轨迹可知，轨迹1（Tcl=0.16 s）由于故障切除后，电机运行点位于稳定边界下方，因此故障切除后电机继续减速，系统电压无法恢复至正常范围；而由轨迹2（Tcl=0.14 s）可知，由于故障切除后，电机运行点位于稳定边界上方，因此故障切除后电机加速直至恢复到正常工作状态，系统电压也随之恢复正常。

对比轨迹1、2 与稳定边界间的关系可以看出，本文所提稳定边界可有效判断系统是否会出现暂态电压失稳。仿真结果与理论分析结果一致。

由图9 所示的电压时域仿真曲线同样可看出，扰动前，母线电压为0.967 p.u.。由图9（a）可知，故障切除后，负荷母线电压在2.5 s 时恢复到正常值0.967 p.u.；由图9（b）可知，故障切除后，负荷母线电压长期处于较低水平，无法恢复至正常值。

值得注意的是，本文算例分析中的电机可以是实际接入系统的某一台具体电机，也可以是系统中某一区域具有相似动态特性的一些电机的等效电机负荷。当分析对象为某区域的等效电机负荷时，其分析结果即可表征大规模系统中某区域系统的暂态电压稳定性。

5 结论

本文提出了一种基于ω-V平面的暂态电压稳定问题的分析方法，分析了感应电机类动态负荷引起暂态电压失稳的机理，提出了ω-V平面的暂态电压稳定边界。

通过分析ω-V平面上电机ω-V曲线与稳定边界的交点，即系统平衡点，可以判断系统是否具有电压失稳的可能。进一步地，通过对比实际电机运行点与稳定边界间的关系，还可直观地判断感应电机的加减速状态和系统是否会发生电压失稳。本文所提的稳定边界可用于判断系统是否会出现由感应电机引起的暂态电压失稳，这对于充分认识该类电压失稳问题增加了一个新的视角。基于单机无穷大系统及两区四机系统的仿真结果与理论分析验证了本文方法的有效性。

未来笔者将进一步研究其他电力系统动态元件接入系统后的暂态电压稳定问题。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。