关至轩，吴 笛，刘玲娟

(上海师范大学数理学院数学系，上海 200234)

随着信息科学与技术的发展，信息安全问题备受关注。图像作为一种重要的信息载体，其安全性更是成为信息安全领域一个重要课题。在图像加密领域，学者们提出了众多加密方法，如Arnold变换[1]、矩阵变换[2]、DNA编码[3]等。混沌系统因为其初值敏感性与类随机性等性质[4]，被广泛应用于图像加密领域。作为一种典型的离散型混沌系统，Logistic混沌映射更是被广泛应用于图像加密领域。

1989年，Matthews[5]首次将混沌理论(Chaos theory)应用于密码学领域，并且设计出利用一维Logistic混沌系统生成密码的方法；1997年，Fridrich[6]利用二维混沌系统提出了基于置乱-扩散结构的图像加密算法，首次将混沌理论运用到图像加密领域。通过这类方法，能够较好地实现密钥对明文信息的影响扩散到多个密文信息中。国内学者对 Logistic映射在图像加密领域的应用也做出了许多贡献。2012年，代才莉[7]等提出了一种通过Logistic映射控制的安全算术编码方法，并将其应用于图像加密中。2013年，罗玉玲[8]等提出了一种基于量子Logistic映射的小波域图像加密算法，能够有效加强加密方法的安全性与高效性。2021年，李春彪[9]等基于正弦反馈Logistic混沌映射提出了一种新的图像加密算法并通过FPGA实现加密算法。

目前，大部分基于Logistic混沌映射的图像加密方法是将密钥参数输入混沌系统直接产生密钥序列，然后对图像进行加密。这种方法很难抵抗编码攻击，图像加密效果不好[10]。本文提出的加密方法利用了马尔可夫过程的无记忆性，密钥序列通过马尔可夫过程的转移概率确定，提高了密钥的安全性。通过灰度直方图[11]，相关性系数与相关性图以及信息熵[12]等方法对加密方法进行安全性分析，结果表明，提出的加密方法具有较高的安全性。

1 基础知识

1.1 图像加密模型

（1）发送方将明文图像M通过加密密钥k1与加密方案得到密文图像；

（2）发送方将密文图像C通过信道传输给接收方。

恢复过程为：

（1）接受方收到密文图像C；

当加密密钥与解密密钥满足k1＝k2时，该加密方案称为对称加密方案，反之称为非对称加密方案。图像加密模型的流程图如图1所示。

图1 图像加密流程图

1.2 Logistic混沌映射

Logistic混沌映射的定义为[13]：

定义1：Logistic混沌映射的迭代式为

其中参数 ∈（3.5699,4）。判断一个系统是否具有混沌性，常用方法包括计算Lyapunov指数以及绘制分岔图等。绘制Logistic参数 与Lyapunov指数的关系图如图2所示。

图2 Logistic映射参数与Lyapunov指数关系图

从图2可以看出，Logistic映射的参数在某个范围内存在混沌性。进一步，绘制Logistics映射的分岔图如图3所示

图3 Logistic映射参数与Lyapunov指数关系图

由图3可以看出，Logistic映射的参数在3.5699到 4的范围内系统产生复杂的动力学行为，表明Logistic映射具有混沌性。

1.2 马尔可夫过程

2 加密过程与恢复过程

2.1 加密过程

2.2 解密过程

解密具体步骤如下：

步骤1接收密文序列与密钥参数。

步骤3通过将密文序列的每个元素与密钥序列中对应的元素做模2减法运算，即

得到明文序列。

步骤4将明文序列转换为矩阵，并由加密过程的步骤5得出明文的像素矩阵P，最后将像素矩阵P转换为图像。

3 实验仿真与分析

本文通过对两幅256 256的灰度图像Cameraman与Lena进行实验仿真，并对实验结果进行分析，得到相应的结果。对图像Cameraman与Lena进行实验仿真得到的结果如图4、图5所示。

图4 Cameraman的明文图像和密文图像以及恢复图像

图5 Lena的明文图像和密文图像以及恢复图像

从实验仿真结果可以看出，从密文图像里几乎无法获取到明文图像信息，而在有密钥参数的情况下，解密的图像几乎完全复原了明文图像的信息。

3.1 灰度直方图

灰度直方图反映图像中某种灰度出现的频率，是一种关于灰度级分布的函数，通过对图像中的灰度级分布进行统计，按照灰度值的大小排列其出现的频率。

在图像加密领域，灰度直方图常用于衡量密文图像的混乱度。若加密算法对于被加密图像可以有效加密，则密文图像的灰度直方图里灰度值会较为均匀分布在某一范围。对图像Cameraman和Lena绘制的灰度直方图如图6、图7所示。

图6 Cameraman明文图像与密文图像的灰度直方图

图7 Lena明文图像与密文图像的灰度直方图

从灰度直方图可以看出，图像 Cameraman和Lena经过本文所提出的加密算法可以得到有效的加密。

3.2 相关性分析

相关性分析是对两个或两个以上具有相关性关系的变量元素进行分析，从而进一步衡量变量元素之间的相关密切程度。对于一般的数字图像而言，像素值之间存在着较强的相关性。能否有效打破明文图像像素点之间的相关性是评价一个加密算法的重要指标，一幅理想的密文图像，相邻像素点的相关性应该是很小的。

从水平、垂直、对角三个方向上随机选取10000个像素点计算明文图像和密文图像在水平、垂直、对角三个方向上的相关性系数，相关性系数的计算公式为

其中式(9)中的方差 D（x），D（y）计算方法为

协方cov(x,y)差计算方法为

序列x的均值表示为

图8、9、10、11是 Cameraman 以及 Lena的明文图像以及密文图像的相关性图。

图8 Cameraman明文图像的相关性图

图9 Cameraman密文图像的相关性图

图10 Lena明文图像的相关性图

图11 Lena密文图像的相关性图

从测试图像的相关性图可以看出，明文图像经过加密以后相关性被破坏。进一步，通过式(9)计算相关性系数如表1所示

表1 Cameraman和Lena的相关性系数表

从测试图像的相关性图可以看出，明文图像经过加密以后相关性被破坏。进一步，通过式(9)计算相关性系数如表1所示

从表1给出的相关性系数表明，加密前的图像水平、垂直以及对角三个方向的相关性系数较大，说明加密前图像的像素点之间有较强的相关性；加密后的图像在水平、垂直以及对角三个方向的相关性系数趋于0，表明加密后图像像素点之间的相关性很小，甚至存在负相关性，定性表明加密方法可以有效打破图像的相关性。

3.3 熵值分析

在数字图像加密领域，信息熵可以反映一幅图像的不确定性，信息熵越大，表明所含信息的不确定性越大，也就是说图像包含的信息越混乱，信息熵的公式如下所示：

其中，L表示加密图像的灰度级，p（i）表示像素值所出现的概率。对于256256的灰度图像而言，熵的理想值是8，也就是说实际实验的熵值越接近8越好。密文图像的信息熵如表2所示。

表2 Cameraman和Lena的最优密钥与全局熵

由此可以看出，明文图像在经过本文提出的算法加密后，密文图像的信息熵接近8，不确定性增加，明文图像被有效加密。

3.4 密钥空间分析

密钥空间的容量也是保证加密方案安全性的重要考虑因素。对于一个加密方案而言，如果密钥可选择的情况越多，方案的安全性就越高。本文运用的密钥组为六元组，对于系数矩阵Q包含两个密钥元素，一维Logistic映射包含的密钥为迭代轮数M和控制参数 ，时间参数为t，初始状态z0，设随机数序列长度为r，则共有5+r个密钥。在精度为1015的仿真设备上进行加密运算，精确位是15位，则密钥空间满足

这意味着攻击者无法利用穷举法攻破本文所提出的加密方案。

4 结论

本文基于马尔可夫过程与一维Logistic混沌映射提出了一种新的图像加密方法，利用关于马尔可夫过程转移概率的柯尔莫哥洛夫微分方程的系数矩阵与一维Logistic混沌映射的控制参数与迭代轮次作为密钥参数生成密钥，进而对明文图像进行加密。仿真实验结果表明，所提出的图像加密方法可以有效对明文图像进行加密，并且用密钥恢复的图像可以较好地还原出明文图像的信息。通过相关性分析，绘制灰度直方图以及计算密文图像的信息熵等手段对加密方法进行安全性测试。结果表明，加密方法具有较高的安全性。