胡 屹，陈治友*，罗东升

（1.贵阳学院数学与信息科学学院，贵州 贵阳 550005;2.遵义师范学院数学学院，贵州 遵义 563006）

“建构主义认为，学习是学习者在原有知识经验的基础上，在一定的社会文化环境中，主动对新信息进行加工处理，建构知识的意义的过程。”[1]因此，在学习数学专业知识过程中，学习者主动地对知识进行建构应是建构主义的目标之一。影响这个目标实现的因素多而复杂，本文只从知识建构的视角讨论《常微分方程》教材中一些变量变换的构造问题。众所周知，数学教材有一个建构特点：教材的内容一定按照旧知识点到新知识点的顺序建构，教材中的新知识点往往会通过一些数学方法转化为旧知识点来呈现。由于数学教材有这个建构特点，使得学习者在学习和分析某些具体问题时就有了方向性。下面本文将从数学专业教材《常微分方程》中的一些具体案例出发，通过一些合理的数学思维方法，来具体分析每个案例中变量变换的构造的思维过程，从而让读者感受教材的建构特点在问题解决中的重要性，并意识到主动探究的学习方式可使学习者对数学问题的剖析和理解更加深刻。这样，对读者关于学习数学专业知识的主动性具有一定的促进作用。

1 “猜想验证法”构造变量变换

案例一[2]：

按文献[2]的定义：形如

提出问题：欧拉方程是一个变系数的齐次线性微分方程，而在此之前我们仅学过常系数齐次线性微分方程的解法，那又该怎样来解这个方程呢？

分析：根据教材的建构特点，问题解决的方向应是：化新为旧，若能将欧拉方程转化为常系数齐次线性微分方程，那么求解问题就迎刃而解。观察（1）的系数知道，系数变量是自变量x，则转化方法应是试着对自变量作一个变量变换。现在来看教材的解法：作自变量变换x=et将欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程。值得思考的是：这个变量变换是怎么构造出来的？做法是否唯一？下面我们用“猜想验证法”来探寻答案。

在文献[3]中，根据目标，作者提出了一个不完全正确的猜想将变换构造了出来，但是不完全正确的猜想会使对变量变换构造过程的呈现不够准确和完整，而正确的构造过程是怎样的呢？

2 “间接转换法”构造变量变换

3 “比较分析法”构造变量变换

从以上构造过程看，变量变换构造正确，并且做法不唯一。紧紧围绕作变量变换的目的，通过对比发现原方程和目标方程的结构相同，最终确定新旧变量之间的变换为线性变换。这启示着，变量变换的构造与方程转换前后的结构有着重要联系。

4 结语

“中国现代数学之父”华罗庚先生在《要学会自学》一文中曾提出：“我们只有了解结论是怎样得来的，才能真正懂得结论。”[4]正如教材中只给出了作变量变换能解决问题的结论，而探索变量变换的构造过程就是真正理解这个结论所必须经历的。华罗庚先生自学的方法总结起来就是两步：肢解与综合。如本文对变量变换构造过程的探索，本质上就是在将这些教学案例进行肢解，然后深度剖析其最初的思维过程。若将教材所有案例进行肢解，了解其本质，再将所有内容串联起来融会贯通，抓住贯穿全书的线索和精神实质，那这就是“综合”的过程，也是对教材知识进行一个完整的建构。恩格斯也曾说：“我们所需要的，与其说是赤裸裸的结果，不如说是研究。”[4]

正所谓见贤思齐焉，虽然我们作为一名普通的学习者，没有华罗庚先生那般的数学学识与特殊的自学能力和方法，但只要我们在学习的时候，多向华罗庚先生看齐，在遇到一些结论时，多探寻别人是通过怎样的思维过程得到这个结论的，多思考如果教材没有给出对应的方法与结论，自己又该如何去得出解决方法和结论。正如我们主动对变量变换的构造过程进行探索一样，只要一直怀着这样的思考方式去主动探究学习，那我们自身的数学水平和素养的提高就是必然的了。